岩石非線性聲彈理論

作者：由知乎使用者7QViRQ 發表于遊戲時間：2022-10-31

非線性理論背景

1937

Murnaghan【早期工作】

1951

Murnaghan【早期工作】

1953

Hearmon【早期工作】

Hughes and Kelly 【早期工作】

1956

Biot【基於線彈性理論匯出了考慮固液耦合的兩相波動方程】

1957

Biot and Willis【孔隙開放夾套試驗】

1961

Goldberg【早期工作】

Toupin and Bernstein【完善理論】

Truesdell 【使用了4個3oEC】

1963

Jones and Kobett 【完善理論】

1964

Brugger【提供了高階彈性常數的熱力學定義】

1972

Biot【對流體飽和多孔介質採用11常數彈性勢函式】

1973

Green【收集了各種晶體的3oEC測量值，並對不同作者定義的3oEC符號進行了識別】

Biot【建立了基於七個彈性常數的多孔介質的半線性力學描述。其中四個描述了線性行為，三個描述了非線性行為】

1979

Dutta and Ode 【Biot理論的擴充套件，包括流體非弛豫，基於區域性流體流動、動態滲透率和多尺度非均勻性】

1980

Drumheller and Bedford【利用尤拉參考系推導了波在多孔介質中傳播的非線性方程】

1984

Pao，Sachse and Fukuoka【推導了波速與圍壓應力之間的關係】

1985

Berryman and Thigpen【利用拉格朗日參考系推導了波在多孔介質中傳播的非線性方程】

1986

Johnson【孔隙開放夾套試驗】

1989

Johnson and Shankland【將非線性理論應用到岩石力學】

1993

Meegan et al。【將非線性理論應用到岩石力學】

1994

Norris， Sinha and Kostek【採用了Biot（1979）的理論，應用於固流複合材料】

1996

Grinfeld and Norris【將理論從單相物質推廣到多相物質】

Grinfeld and Norris【推導了孔隙封閉夾套試驗（CPJT）和孔隙開放夾套試驗（OPJT）的波速方程，求出了孔隙彈性介質的7個3oEC】

在孔隙封閉夾套試驗(CPJT)中，孔隙流體質量是恆定的，這意味著多孔介質被不透水的封閉變形護套所包圍，因此孔隙流體無法從巖體中流出。而在孔隙開放夾套試驗中，流體壓力是恆定的，因為有一個管道，流體可以在施加的圍壓下進出介質。但是，由於工作中沒有考慮固液有限應變，因此速度表示式中與圍壓相乘項中沒有出現2oEC。這意味著它們的孔隙聲彈性理論與經典的聲彈性理論不相容【Ba et al.,2013】

Winkler and Liu【根據經典的聲彈性理論，對各種乾燥岩石中的3oEC進行了測量，並對結果進行了解釋，他們發現這個理論成功地描述了波速和應力之間的關係】

1997

Donskoy， Khashanah and Mckee【推導了多孔介質的非線性聲波方程，建立了可測的有效非線性引數與多孔介質結構引數之間的關係。他們的理論是基於Biot的孔隙彈性理論的半線性近似】

半線性假設意味著固體基質的體積變化與有效應力之間存線上性關係。因此，採用修正應變（見Biot（1973）中的公式（7）和（54）），將有效應力考慮在內，使得非線性聲彈性方程可以簡化，只需要三個獨立的3oEC即可【Ba et al.,2013】

1999

Zaitsev，Kolpakov and Nazarov【分析了幹飽和和水飽和河砂中低頻訊號的傳播規律，發現鬆散顆粒介質的行為是非線性的】

2001

Johnson【Biot理論的擴充套件，包括流體非弛豫，基於區域性流體流動、動態滲透率和多尺度非均勻性】

Berryman and Wang【Biot理論的擴充套件，包括流體非弛豫，基於區域性流體流動、動態滲透率和多尺度非均勻性】

2004

Winkler and McGowan【

然而，在水飽和岩石上進行的類似實驗表明，經典的3oEC理論不能完全描述速度的應力依賴性

】

當圍壓增大時，必須考慮流體的變形【Ba et al.,2013】

Pride， Berryman and Harris【Biot理論的擴充套件，包括流體非弛豫，基於區域性流體流動、動態滲透率和多尺度非均勻性】

2006

Carcione and Picotti【Biot理論的擴充套件，包括流體非弛豫，基於區域性流體流動、動態滲透率和多尺度非均勻性】

2008

Ba et al。【Biot理論的擴充套件，包括流體非弛豫，基於區域性流體流動、動態滲透率和多尺度非均勻性】

2010

Dazel and Tournat【考慮一維情況，匯出了二次諧波Biot波的解。在半空間內對波速離散和耗散進行了分析】

2011

Ba et al。【Biot理論的擴充套件，包括流體非弛豫，基於區域性流體流動、動態滲透率和多尺度非均勻性】

近年來，線上性假設的基礎上，重點研究了斑片狀飽和度、孔隙分佈和岩石微觀結構引起的P波和S波速度的頻率依賴性及其衰減因子【Ba et al.,2013】

2013

Ba et al。【推廣Grinfeld和Norris（1996）的方法，包括固體和流體有限應變。然後將11項的應變能函式和畢奧的動能和耗散能代入拉格朗日方程，得到波的傳播方程。在靜水和單軸載入條件下，得到了P波和S波的速度和耗散因子作為2oEC和3oEC以及圍壓應力的函式。討論了該理論對經典聲彈性理論的侷限性。給出了OPJT和CPJT的波速和耗散例項。最後，在靜水荷載作用下，進行了相應的超聲波P波速度測量，並對理論和實驗結果進行了比較。

非線性理論：波動方程

一、經典聲彈性理論

非線性三階彈性常數理論被用來描述固體材料中的波傳播和力學變形。各向同性固體的應變能函式依賴於三個獨立的三階彈性常數（Ba et al。，2013）。波速與圍壓的關係由 Murnaghan

（1951）， Green （1973）， Hughes and Kelly （1953）， and Pao，Sachse and Fukuoka （1984）推導：

【1-1】

$\rho v_{Ph}^{2}=\lambda+2\mu-\bar{P}(7\lambda+10\mu+6l+4m)$

：三階彈性常數

$\rho$

：密度

：下角標，表示靜水載荷

：下角標，表示P波

【1-2】

$\rho v_{Sh}^{2}=\mu-\bar{P}(3\lambda+6\mu+3m-0.5n)$

：三階彈性常數

：下角標，表示S波

【1-3】

$\rho v_{Px}^{2}=\lambda+2\mu-\bar{T}[\frac{\lambda+\mu}{\mu}(4\lambda+10\mu+4m)+\lambda+2l]$

：下角標，表示單軸載入方向x

【1-4】

$\rho v_{Py}^{2}=\lambda+2\mu-\bar{T}[2l-\frac{2\lambda}{\mu}(\lambda+2\mu+m)]$

：下角標，表示垂直於單軸載入方向的一個方向y

【1-5】

$\rho v_{Sx}^{2}=\mu-\bar{T}(4\lambda+4\mu+m+\frac{\lambda n}{4\mu})$

【1-6】

$\rho v_{Sy}^{2}=\mu-\bar{T}(\lambda+2\mu+m+\frac{\lambda n}{4\mu})$

S波在y方向傳播時，質點沿載荷方向振動

【1-7】

$\rho v_{Sz}^{2}=\mu-\bar{T}(m-2\lambda+\frac{\lambda+\mu}{2\mu}n)$

：下角標，表示垂直於單軸載入方向的一個方向z

S波在z方向傳播時，質點沿垂直於載荷的方向振動

【2】

$\bar{P}=\frac{P}{3\lambda+2\mu},\bar{T}=\frac{T}{3\lambda+2\mu}$

：靜水（壓縮）應力

：沿三個軸之一的壓縮應力

$\lambda，\mu$

：二階彈性常數（拉梅常數）

二、孔隙彈性介質的應變能函式

在高圍壓條件下，流體飽和岩石的微應變不足以描述固體和流體的微尺度有限變形。在這種情況下，我們用拉格朗日應變張量

$\epsilon_{ij}$

：

【3】

$\epsilon_{ij}=\frac{1}{2}(u_{j,i}+u_{i,j}+u_{k,i}u_{k,j})，i,j,k=1,2,3$

$u_{i}$

：固體在

$x_{i}$

方向的位移，採用重複指標求和約定

$u_{i,j}$

：

$u_{i}$

對

$x_{j}$

的偏導

接下來將使用

$(x,y,z)=(x_{1},x_{2},x_{3})$

這個記號。

流體非線性聲學通常用尤拉描述來表述波的運動（Beyer，1960，1984）。Kostek， Sinha 和Norris（1993）為非粘性流體的拉格朗日和尤拉描述提供了顯式關係式。在涉及流體和固體的非線性問題中，採用拉格朗日變數的統一處理。如果忽略流體剪下變形，流體有限應變可以近似為：

【4】

$\theta_{i(i)}=U_{(i),i}+\frac{1}{2}U_{(i),i}^{2}$

$U_{i}$

：表示流體在

$x_{i}$

方向上的位移

這種近似可以應用於輕質流體，如水、石油和天然氣。對於非牛頓介質，如瀝青和重油，必須考慮剪下變形。

在各向同性介質中，應變能可以表示為：

【5】

$2W=M_{1}I_{1}^{2}+M_{2}I_{2}+M_{3}\theta^{2}+M_{4}\theta I_{1}+M_{5}I_{1}^{3}+M_{6}I_{3}$

$+M_{7}\theta^{3}+M_{8}I_{1}I_{2}+M_{9}\theta I_{2}+M_{10}I_{1}^{2}\theta+M_{11}I_{1}\theta^{2}$

$M_{l}，l=1,...,11$

：11個彈性常數

式（5）類似Biot（1972）方程（5。9），但是流體含量變化用

$\theta$

取代，因此，彈性常數不都是相同值。應變能取決於4個二階彈性常數

$(M_{1},...,M_{4})$

和7個三階彈性常數

$(M_{5},...,M_{11})$

。

【6】

$\epsilon=u_{i,i}，\theta=U_{i,i}$

不變數是：

【7-1】

$I_{1}=\epsilon=\epsilon_{11}+\epsilon_{22}+\epsilon_{33}$

【7-2】

$I_{2}=\begin{vmatrix} \epsilon_{11}&\epsilon_{12} \\ \epsilon_{12}&\epsilon_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \epsilon_{11}&\epsilon_{13} \\ \epsilon_{13}&\epsilon_{33} \end{vmatrix}+ \begin{vmatrix} \epsilon_{22}&\epsilon_{23} \\ \epsilon_{23}&\epsilon_{33} \end{vmatrix}$

【7-3】

$I_{2}=\begin{vmatrix} \epsilon_{11}&\epsilon_{12}&\epsilon_{13} \\ \epsilon_{12}&\epsilon_{22}&\epsilon_{23} \\ \epsilon_{13}&\epsilon_{23}&\epsilon_{33} \end{vmatrix}$

固體和流體應力分量由下式給出：

【8】

$\sigma_{ij}=\frac{\partial W}{\partial \epsilon_{ij}}，\tau_{ij}=\frac{\partial W}{\partial \theta_{ij}}，i,j=1,2,3$

二階彈性常數是由Biot和Willis（1957）透過“gedanken”實驗得到的（e。g。，Carcione 2007）：

【9-1】

$M_{1}=P=K_{m}+M(\gamma-\phi)^{2}+\frac{4}{3}\mu_{m}$

$K_{m}$

：乾燥基質體模量

$\phi$

：孔隙度

$\mu_{m}$

：乾燥/飽水基質剪下模量

：和Biot（1956）中一樣（不要把

和（2）式中靜水應力混淆）

【9-2】

$M_{2}=-4N=-4\mu_{m}$

【9-3】

$M_{3}=R=M\phi^{2}$

【9-4】

$M_{4}=2Q=2M\phi(\gamma-\phi)$

【10】

$M=\frac{K_{s}}{1-\phi-K_{m}/K_{s}+\phi K_{s}/K_{f}}$

$K_{s}$

：固體體模量

$K_{f}$

：流體體模量

【11】

$\gamma=1-\frac{K_{m}}{K_{s}}$

另一方面，在經典聲彈性理論的極限下，等效為：

【12-1】

$M_{1}+M_{3}+M_{4}=\lambda+2\mu$

【12-2】

$M_{2}=-4\mu$

【12-3】

$M_{6}=2n$

【12-4】

$M_{5}+M_{7}+M_{10}+M_{11}=\frac{2}{3}(l+2m)$

【12-5】

$M_{8}+M_{9}=-4m$

確定7個三階彈性常數需要額外的“gedanken”實驗，這將是未來工作的主題。

三、動能和耗散能

使用與Biot（1962）和Norris（1996）類似的理論方法，但是使用有限應變而不是無窮小應變。各向同性流固複合材料的耗散函式和單位體積動能分別由【13】【14】（Biot，1962）給出：

【13】

$2D=\frac{\phi^{2}\eta}{\kappa}[(\dot{u}_{1}-\dot{U}_{1})^{2}+(\dot{u}_{2}-\dot{U}_{2})^{2}+(\dot{u}_{3}-\dot{U}_{3})^{2}]$

【14】

$2T=\rho_{11}(\dot{u}_{1}^{2}+\dot{u}_{2}^{2}+\dot{u}_{3}^{2})+2\rho_{12}(\dot{u}_{1}\dot{U}_{1}+\dot{u}_{2}\dot{U}_{2}+\dot{u}_{3}\dot{U}_{3})+\rho_{22}(\dot{U}_{1}^{2}+\dot{U}_{2}^{2}+\dot{U}_{3}^{2})$

$\rho_{11}=(1-\phi)\rho_{s}-\rho_{12}$

$\rho_{22}=\phi\rho_{f}-\rho_{12}$

$\rho_{12}=-\phi\rho_{f}(T-1)$

$\rho_{s}$

：固體質量密度

$\rho_{f}$

：流體質量密度

$\Gamma$

：曲折度（Biot，1956；Carcione，2007）

$\eta$

：流體黏度

$\kappa$

：滲透率

變數上一點表示時間微分。

四、拉格朗日方程和波動方程

應用拉格朗日方程，並將

$u_{i}$

和

$U_{i}$

作為廣義座標，對應於固相和流相的廣義力可表示為：

【15-1】

$f_{i}=\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{u}_{i}})+\frac{\partial D}{\partial \dot{u}_{i}}$

【15-2】

$F_{i}=\frac{d}{dt}(\frac{\partial T}{\partial \dot{U}_{i}})+\frac{\partial D}{\partial \dot{U}_{i}}$

$f_{i}=\frac{d}{dx_{i}}\frac{\partial W}{\partial u_{i,j}}，F_{i}=\frac{d}{dx_{j}}\frac{\partial W}{\partial U_{i,j}}$

定義：

【16-1】

$J=\begin{pmatrix} 1+u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3} \\ u_{2,1}&1+u_{2,2}&u_{2,3} \\ u_{3,1}&u_{3,2}&1+u_{3,3} \end{pmatrix}$

【16-2】

$K=\begin{pmatrix} 1+U_{1,1}&0&0 \\ 0&1+U_{2,2}&0 \\ 0&0&1+U_{3,3} \end{pmatrix}$

使用方程（8）——（16），可以獲得雙相介質的非線性波動方程：

【17-1】

$\sigma_{ik,j}J_{kj}+\sigma_{ik}J_{kj,j}=\rho_{11}\ddot{u}_{i}+\rho_{12}\ddot{U}_{i}+b(\dot{u}_{i}-\dot{U}_{i})$

【17-2】

$\tau_{ik,j}K_{kj}+\tau_{ik}K_{kj,j}=\rho_{12}\ddot{u}_{i}+\rho_{22}\ddot{U}_{i}-b(\dot{u}_{i}-\dot{U}_{i})$

$b=\phi^{2}\eta/k$

非線性理論——頻散方程

給定波型的復速度為：

【18】

$v=\frac{\omega}{k}$

$\omega$

：角頻率

：複數、頻率依賴的波數

相速度和耗散因子分別為：

【19】

$v_{p}=[Re(\frac{1}{v})]^{-1}，\frac{1}{Q}=\frac{Im(v^{2})}{Re(v^{2})}$

：實部和虛部（e。g。，Carcione 2007）是品質因子

的倒數。

在下面，我們得到了流體靜力學和單軸載荷的頻散方程，它給出了作為載荷應力的函式的頻率依賴的的復波數和相應的復速度。

靜水圍壓應力

為了簡單起見，讓我們考慮一個沿x方向傳播的平面P波。波動方程（17）為：

【20-1】

$\sigma_{11,1}+\sigma_{11,1}u_{1,1}+\sigma_{11}u_{1,11}=\rho_{11}\ddot{u}_{1}+\rho_{12}\ddot{U}_{1}+b(\dot{u}_{1}-\dot{U}_{1})$

【20-2】

$\tau_{11,1}+\tau_{11,1}U_{1,1}+\tau_{11}U_{1,11}=\rho_{12}\ddot{u}_{1}+\rho_{22}\ddot{U}_{1}-b(\dot{u}_{1}-\dot{U}_{1})$

應用於固相和液相的總應變為：

$\epsilon=\epsilon_{1}+\epsilon_{2}，\theta=\theta_{1}+\theta_{2}$

下角標1、2表示分別由靜水靜載荷和波傳播引起的大應變貢獻。

對於靜水載荷，我們有：

【21】

$\epsilon_{1}=\begin{pmatrix} \alpha&0&0 \\ 0&\alpha&0 \\ 0&0&\alpha \end{pmatrix}，\theta_{1}=\begin{pmatrix} \beta&0&0 \\ 0&\beta&0 \\ 0&0&\beta \end{pmatrix}$

由P波引起的微小應變的貢獻為：

【22-1】

$\epsilon_{2}=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}\epsilon_{0}exp[\omega t-kx(1+\alpha)]$

【22-2】

$\theta_{2}=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}\theta_{0}exp[\omega t-kx(1+\beta)]$

$\epsilon_{0}，\theta_{0}$

：波振幅

將方程（21）、（22）代入方程（20），忽略冪大於1的項，消去

$\epsilon_{0}，\theta_{0}$

，得到如下頻散方程：

【23-1】

$\begin{vmatrix} \Upsilon_{1}k^{2}-\rho_{11}\omega^{2}+ib\omega&(\Upsilon_{2}+M_{4}\beta)k^{2}-\rho_{12}\omega^{2}-ib\omega \\ (\Upsilon_{2}+M_{4}\alpha)k^{2}-\rho_{12}\omega^{2}-ib\omega&\Upsilon_{3}k^{2}-\rho_{22}\omega^{2}+ib\omega \end{vmatrix}=0$

$i=\sqrt{-1}$

【23-2】

$\Upsilon_{1}=M_{1}+(7M_{1}+M_{2}+9M_{5}+2M_{8})\alpha+(\frac{3}{2}M_{4}+3M_{10})\beta$

【23-3】

$\Upsilon_{2}=\frac{1}{2}M_{4}+(\frac{1}{2}M_{4}+M_{9}+3M_{10})\alpha+(\frac{1}{2}M_{4}+3M_{11})\beta$

【23-4】

$\Upsilon_{3}=M_{3}+(\frac{3}{2}M_{4}+3M_{11})\alpha+(9M_{7}+7M_{3})\beta$

複頻率相關的快P波速度和慢P波速度對應於二次方程（23）的兩個解。

類似於Biot方程的低頻極限，得到Gassmann方程（Gassmann，1951），忽略了固相和液相之間的相對運動，式（23）給出：

【24】

$\rho v^{2}=\Upsilon_{1}+2\Upsilon_{2}+\Upsilon_{3}+M_{4}(\alpha+\beta)$

$\rho=\rho_{11}+2\rho_{12}+\rho_{22}$

：體密度（Biot，1962）

表示式（24）是Gassmann方程的非線性廣義式。若

$\alpha=\beta$

（固體和流體有限應變相同），我們得到：

【25】

$\rho v^{2}=M_{1}+M_{3}+M_{4}+[7(M_{1}+M_{3}+M_{4})+M_{2}$

$+9(M_{5}+M_{7}+M_{10}+M_{11})+2(M_{8}+M_{9})]\alpha$

如果

$\alpha=-\bar{P}$

，使用等價關係（12）、式（25）等同於（1）式。

對於平面S波沿y方向傳播、在x方向偏振，我們有：

【26-1】

$\sigma_{12,2}+\sigma_{12,2}u_{1,1}+\sigma_{22}u_{1,22}=\rho_{11}\ddot{u}_{1}+\rho_{12}\ddot{U}_{1}+b(\dot{u}_{i}-\dot{U}_{1})$

【26-2】

$0=\rho_{12}\ddot{u}_{i}+\rho_{22}\ddot{U}_{1}-b(\dot{u}_{1}-\dot{U}_{1})$

【參考文獻】

Ba， J。， Carcione， J。 M。， Cao， H。， Yao， F。 and Du， Q。（2013）， Poro‐acoustoelasticity of fluid‐saturated rocks。 Geophysical Prospecting， 61： 599-612。 doi：10。1111/j。1365-2478。2012。01091。x

標簽：流體 Biot 方程理論彈性

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