[現代控制理論6] 輸出反饋控制

作者：由 Zhu Xuxx 發表于攝影時間：2022-01-28

6。輸出反饋綜合

Synthese von Ausgangsrückführung

6。1 輸出反饋的結果和方程

在此之前我們一直設計的是

全狀態反饋控制器

（通常使用狀態觀測器），它有的缺點是

hoher Realisierungsaufwand

Dynamikverschlechterung （in besondere bei ungenauen Streckenmodellen）

現在我們探索一種新的：輸出反饋控制方法： alleinige Rückführung der Messgrößen 採用

輸出可測量向量

構成的線性反饋

輸出反饋控制律 - ARF（Ausgangsrückführung）

一般性輸出反饋結構如下：

輸出反饋控制律（ARF）為：

$\underline u = -\underline {Ky} + \underline V\underline w$

ARF： Ausgangsrückführung 輸出反饋，亦稱 Messvektor-

Teilzustand

srückführung

為什麼叫做 Teilzustandsrückführung？因為輸出一般來說能反映一部分的內部狀態

其中

$\underline y$

代表 Messvektor

其中

$\underset{(p,q)}{\underline K}$

是 konstante Matrix

1。求 Vorfilter

我們先把矩陣

$\underline K$

擱在一邊，首先來看一下 Vorfilter ，也就是實現這個輸出反饋系統的

stationäre Genauigkeit

在 3。2。1節研究狀態反饋的 Vorfilter 時得到的結論是，對於完全可控的系統，這是時間連續控制的Vorfilter： V

即：

$\pmb{\underline V = [\underline C(\underline{BR}-\underline A)^{-1}\underline B]^{-1}}$

2。在 5。3 節 PI-狀態控制中，把比例環節

$\underline R_P$

作為 Vorsteuerung = Vorfilter，推導略得到：

即：動態系統的 Vorfilter 環節：

$\underline V=\underline K-(\underline C\underline A^{-1}\underline B)^{-1}$

注：這裡的

$(\underline {CA}^{-1}\underline B)^{-1}$

就是 PI-Zustandregler 裡的

$\underline R_P$

比例環節：Vorsteuerung

我們

假設

採用第二個解，得到詳細的系統的控制結構如下：

2。求 Ausgangsrückführung

$\underline K$

現在我們看一看輸出反饋增益矩陣

$\underline K$

Ausgangsrückführung。

Bei der Ausgangsrückführung wird der messbare Ausgangsvektor y auf die Stellgröße zurückgeführt

我們把

輸出反饋

當作

完全狀態反饋的一種特別情況

，因為輸出可以一定程度上反映內在狀態，但是所謂特殊情況即使：對於系統所有的狀態變數，

只有一部分可測量的（messbar）

，那麼可以定義 Ausgangsrückführung 只反饋可測的輸出量：

$\underline u = -\underline K\underline y =: - \begin{bmatrix}\underline r_1 &\cdots & \underline r_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\\vdots\\x_n \end{bmatrix}$

其中如果這個狀態是

不可測量

的，則其對應狀態對應的反饋增益

$\underline r_k$

是 0，

（indem

$\underline r_k = \underline 0$

gewählt wird， falls

keine Messgröße ist。）

特別的：如果只有1個輸出 y 則 u=-Ky ，系統就是一個 P-Regler

這樣就是可測量的進行了反饋 >>> 輸出反饋

因此說輸出反饋是：

不完全的控制（strukturbeschränkte Regelung）

求 K？

有了控制律就有了受控的系統，那麼就可以進行極點配置了！

非中心控制 Dezentrale Steuerung F21

注意：一種特殊的輸出反饋情況是

dezentrale Steuerung

非中心控制

限制這種控制器只能將屬於第

個子系統的狀態向量

反饋到同一子系統的輸入。

對於由多個子系統組成的大的系統，不想要控制器將所有輸出變數反饋給所有輸入變數（dass der Regler

sämtliche Ausgangsgrößen

auf

sämtliche Eingangsgrößen

zurückführt。）而是希望使用 Dezentrale Regelung ——- 多個子控制部分組成。

每一個都只把屬於一個子系統的輸出變數與作用於同一子系統的被操縱變數聯絡起來。

von denen jeder nur die zu einem Teilsystem gehöhrigen Ausgangsgrößen mit den am selben Teilsystem angreifenden Stellgrößen verkoppelt。

下圖顯示了 die dezentrale Regelung der Regelstrecke， die aus zwei Teilsysystemen besteht。

Regelstrecke 的子系統之間是耦合的

對於每個子系統：它的

輸出

只與它

本身的輸入相關

要描述這個閉環控制系統，必須實事求是（auf die Tatsache Rücksicht nehmen），把系統的輸入向量

$\underline u$

和輸出向量

$\underline y$

分解為 N 個子系統，如下：

$\underline u(t) = \begin{pmatrix} \underline u_1(t)\\ \underline u_2(t)\\\vdots\\\underline u_N(t) \end{pmatrix},\quad \underline y(t) = \begin{pmatrix} \underline y_1(t)\\ \underline y_2(t)\\\vdots\\\underline y_N(t) \end{pmatrix}$

例如對於1個子系統 eine dezentrale Regelung führt

$\underline y_i(t)$

auf

$\underline u_i(t)$

zurück。那麼，被反饋的

狀態

（die dezentralen Zustandsrückführung）也是按照子系統的順序分解的狀態變數。如下

$\underline x(t) = \begin{pmatrix} \underline x_1(t)\\ \underline x_2(t)\\\vdots\\\underline x_N(t) \end{pmatrix}$

則對於 Dezentrale 狀態反饋，控制律表示為

$\underline u_i(t) = -\underline K_i \underline x_i(t),\quad i=1,...N$

則對於整個 Dezentrale 狀態反饋控制系統

$\sum R:\quad\underline u(t) = \begin{pmatrix} \underline u_1(t)\\ \underline u_2(t)\\\vdots\\\underline u_N(t) \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} \underline K_1 & \underline 0 & \cdots & \underline 0\\ \underline 0 & \underline K_2 & \cdots & \underline 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \underline 0 & \underline 0 & \cdots & \underline K_N \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \underline x_1(t)\\ \underline x_2(t)\\\vdots\\\underline x_N(t) \end{pmatrix}$

$\sum_R$

表示整個 Regler。 Regler 的 dezentrale 結構的 Reglermatrix 控制矩陣實際上是一個塊對角矩陣（Blockdiagonalmatrix）。

限制: 這種控制器只能將屬於第

個子系統的狀態向量

反饋到同一子系統的輸入。

因此，分散的控制是一種

結構上受限制

的控制。

Die Beschräkung， dass der Regler den zum i-ten Teilsystem gehörenden Zustandsvektor $x_i$ nur auf den Eingang desselben Teilsystems zurückführen darf。 Die dezentrale Regelung ist deshalb eine strukturbeschräkte Regelung。

而對於分解過的系統

dezentrale 輸出反饋

的控制律寫為： $

$\underline u_i(t) = -\underline K_{yi} \underline y_i(t),\quad i=1,...N$

則可得相應的 dezentrale 控制。Dynamische dezentralle Regler werden zweckmäßigweise im Frequenzbereich beschrieben。則頻域上控制律為：

$\underline U(s) = -\begin{pmatrix} \underline K_1(s) & \underline 0 & \cdots & \underline 0\\ \underline 0 & \underline K_2(s) & \cdots & \underline 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \underline 0 & \underline 0 & \cdots & \underline K_N(s) \end{pmatrix} \underline Y(s)$

各個子系統得控制律（頻域）為：

$\underline U_i(s) = -\underline K_i(s)\underline Y_i(s),\quad i=1,...N$

當然最後所有的控制律在考慮 Vorsteuerung 時都要加上

$\underline V_i\underline w_i(t)$

Rx 不存在

小結

俞立：

狀態反饋和輸出反饋都沒有增加新的狀態變數——沒有改變系統的階數

狀態反饋和輸出反饋都能保持系統能控性 ——

狀態反饋未必能保持能觀性，輸出反饋可同時保持能觀性

狀態反饋：要麼所有狀態都是 messbar 的，要麼所有不可 messbar 的狀態必須被重構（rekonstruiert bei 狀態觀測器估計）

當需要使用狀態觀測器時（原系統必須是完全可觀的——reduzierte是可觀的？）實際上使用的是系統的輸出資訊，這種

$\underline x$

nicht messbar >>>

$\underline{\hat x}$

aus Beobachter aus

$\underline y$

>>> 狀態反饋本質上是輸出反饋

缺點

這種方法的

缺點

是：

只有極少的自由控制引數可以使用（

$p\cdot q$

）個（與輸入輸出數量有關），這就意味著，在進行極點配置時（Polvorgabe），假設有

個 Synthesegleichungen：

如果是

，是

全狀態反饋（vollständiger Zustandsrückführung）

（所有狀態都能被輸出反映其資訊？），那麼意味著控制引數 Reglerparameter

$p\cdot q=p\cdot n\ge n$

，引數大於方程數——欠定方程組，解存在

但在 Ausgangsrückführungen 輸出反饋中中

更常見的是

控制引數

$p\cdot q$

，即是超定方程組（überbestimmtes Gleichungssystem），這意味著

是無解的

2。另一方面，這種輸出反饋只能 Beseitigung von Anfangsstörungen 解決輸入的干擾，對控制過程中的干擾

$\underline z(t)$

無能為力

上面兩個都是

結構受限控制器

下一節動態控制器

6。2 藉助 vollständigen modalen Synthese 來設計輸出狀態反饋結構 F14

透過引數向量在 VMS 設計中使用自由度，以保持 R 中屬於不可測量狀態的列很小

除了上面的直接方法，我們還可以 Entwurf von Ausgangsrückführungen mittels der vollständigen modalen Synthese。

注意，在上一節最後說了，

輸出反饋是 Strukturbeschränkung的，輸出部分只能反映於部分狀態

，

不可測的狀態的反饋係數令為零

但是這不是一種好得方法，因為這會導致給定的特徵值

$\lambda_{R1},...,\lambda_{Rn}$

以不受控制的方式移動

schlechte Vorgehensweise， da hierdurch die Eigenwerte

$\lambda_{R1},...,\lambda_{Rn}$

unkontrolliert verschoben

werden

這就是為什麼要研究基於 VMS 的輸出反饋。

首先我們複習在

vollständigen modalen Synthese(3-2(4))

中對於狀態反饋

$\underline u = -\underline{Rx}$

我們得到

狀態反饋控制器

的一般性表達：

我們把這個在

全狀態反饋中

得到的結論移植到

輸出反饋

結構中。

改進的方法

：藉助額外的 VMS 設計引數

$\underline p_1,...,\underline p_n$

，來選擇這些不可測的狀態的反饋係數

$\underline r_k$

，使得其特徵值不發生大的改變。

nur durch zusätzliche Enterwurfsparameter

$\underline p_1,...,\underline p_n$

der VMS 實現

選擇 VMS 設計引數

$\underline p_1,...,\underline p_n$

，實現那些不可測的狀態前的反饋係數（絕對值）

$|\underline r_k|$

很小。（這樣

$\lambda_{Ri}$

幾乎保持不動，幾乎不影響其它的極點配置）

然後再把不可測的狀態前的反饋係數）令為0。

$\underline r_k = 0$

由連續性性質，這幾乎不影響極點位置。

Idee-為什麼使用

Freiheitsgrade beim VMS-Entwurf durch Parametervektoren nutzen， um Spalten in R klein zu halten， die zu nicht messbaren Zuständen gehören

透過引數向量在 VMS 設計中使用自由度，以保持 R 中的列較小，屬於不可測量狀態

這變成了一個關於

引數向量的

最最佳化問題，找到這一組引數向量

$\underline p_i$

使得一個損失函式最小。然後再使用這個引數向量進行VMS的反饋控制器計算。

藉助使用VMS中的引數向量的自由度，使得

$\underline R$

中不可測的狀態的對應的

$\underline r_k$

小。

實現過程

0。選擇目標極點

$\lambda_{Ri}$

$\underline R$

als Funktion der Parametervektoren aufstellen —— VMS

對

$\underline R$

的每一列/Spalten引入一個權重 Gewichtung。

對於可以測的狀態其

$\underline r_v$

的權重= 0

對於不可測的狀態：dabei Spalten zu nicht messbaren Zustanden durch

bestrafen。

用

懲罰對應不可測量狀態的

$\underline R$

的列（例如1）

$\underline G = \begin{bmatrix} g_1 & & \underline 0\\ & \ddots & \\ \underline 0 & & g_n \end{bmatrix}$

使用［此權重乘以對應的狀態控制器

$g_v|\underline r_v|^2$

］來定義損失函式$J$，

Gütemaß

mit dieser Gewichtung definieren und bezüglich der Parametervektoren minimieren

$J = \frac{1}{2}\sum_{v=1}^n g_v|\underline r_v| ^2$

寫成矩陣形式

就是，

$J =\frac12sp(\underline {RGR}^T)$

顯然這個損失函式中只有

$\underline R$

中引數向量是自由的，

根據引數向量將其最小化

這個函式最小化結果是一組引數向量

，這些引數向量是使得不可則的狀態的反饋控制器設為0時候發生的影響最小的。

4。則根據給定的目標極點

$\lambda_{Ri}$

和得到的引數向量

$\underline p_i$

設計得到狀態反饋控制器

$\underline R$

（VMS）

$\underline R = [\underline r_1,\underline r_2,...,\underline r_n]$

5。把

$\underline R$

中對應不可測狀態的列（對應狀態的反饋控制器）設為0

Spalten in

$\underline R$

streichen， die nicht zu messbaren Zuständ gehören >>>

$\underline K$

例題

H18

i）Freiheitsgrade beim VMS-Entwurf durch Parametervektoren nutzen， um Spalten in R klein zu halten， die zu nicht messbaren Zuständen gehören

透過引數向量在 VMS 設計中使用自由度，以保持 R 中的列較小，屬於不可測量狀態

例子

6-1 6-4

標簽：反饋狀態輸出 ckf VMS

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