高為2h,半徑為R的豎直圓柱體關於它中間截面直徑的轉動慣量怎麼求?
知乎使用者2022-04-09 17:45:23本題設計高中物理競賽知識，我力求依據高中特點，多用結論少用微積分。
以下介紹基礎的知識內容，大佬請跳過。
轉動慣量（Momentum of Inertia），是剛體繞軸轉動時慣性（迴轉物體保持其勻速圓周運動或靜止的特性）的量度，用字母I或J表示。在經典力學中，轉動慣量（又稱質量慣性矩，簡稱慣矩）通常以I 或J表示，SI 單位為 kg·m²。對於一個質點，I = mr²，其中 m 是其質量，r 是質點和轉軸的垂直距離。”
平行軸定理（英語：parallel axis theorem）能夠很簡易地，從剛體對於一支透過質心的直軸（質心軸）的轉動慣量，計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。代表剛體對於質心軸的轉動慣量、M代表剛體的質量、d代表另外一支直軸 z‘-軸與質心軸的垂直距離。那麼，對於 z’-軸的轉動慣量是
垂直軸定理
（也叫
正交軸定理
）可以用來計算一片薄片的轉動慣量。思考一個直角座標系，其中兩個座標軸都包含與平行於此薄片；如果已知此薄片對於這兩個座標軸的轉動慣量，則垂直軸定則可以用來計算薄片對於第三個座標軸的轉動慣量。假設OXYZ座標系統的 X-軸與 Y-軸都包含與平行於此薄片，而 Z-軸垂直於薄片的面。
與
分別代表薄片對於 X-軸與 Y-軸的轉動慣量．那麼，薄片對於 Z-軸的轉動慣量為
以上都是競賽裡學到的基礎內容
首先，對於繞中間截面直徑的轉動慣量豎直圓柱體轉動慣量進行微元法，將圓柱沿著中間截面切成成兩部分，隨後選取其中的一部分等質量切片，這樣子將圓柱轉動慣量看成無數薄片繞軸的轉動慣量，即
x為圓盤x或y軸到直徑轉軸的距離（參照上圖）。
很容易，用一下垂直軸定理，
然後從0到h進行積分 ，
下面計算
，令
，則
，帶入，
，即得到
，又因為兩個部分每個部分都只有二分之一質量，所以相加後還是一樣的答案。
做了這麼多，我發現用結論用的好才是關鍵。
