相似系統（1）--力學和電學

作者：由 WaveView 發表于攝影時間：2020-11-29

概述：相似系統

變化規律

：整個自然界處在始終不停地運動和變化中，每一門自然科學研究的物件，歸根結底就是對於運動和變化規律進行定量描述的方法，而工程問題只不過是把這種方法進一步細化到特定的應用領域中。

函式

：各物理量與其它物理量的依賴關係在數學上表示為函式，人類經過多年的積累已經將大量自然界中的變化規律歸結成了不同型別的函式，工程上的大部分問題其實就是找到合適的函式及其組合來定量描述所關心的物理量的變化規律。因此熟悉常用的函式性質既是下一步進行數學分析的重要基礎也有利於在工程設計中對關心的物理量變化規律的把握。

微積分

：由於研究自然規律時發現很多物理量的變化依賴於另一些物理量的變化率（比如上彈簧振子的受力和振子的加速度成正比等），需要相應的數學工具才能對每一個瞬間的變化率進行精確的定量描述；人們經過幾個世紀的摸索建立了微積分這門學科，自此人類的科學發展進入定量化的新紀元。極限的概念使很多已知函式的微分成為可能，透過求原函式又使積分成為可能，這樣物理量之間的瞬時變化關係就可以得到精確的定量描述了。

微分方程

：物理量之間的基本聯絡和關係被表示成物理定律，物理定律可以用數學的語言寫成微分方程的形式（有時也寫成積分方程），這些方程就是

未知函式之間的聯絡

，解決大部分工程技術問題的理論部分通常就劃歸為建立微分方程並求解，求出未知的函式。由於微分方程已經被證明是表達和發展科學及其思想的最有效工具，甚至有一些科學家認為微分方程是大自然和上帝的語言。

所以，微分方程是抽象出來的

變化規律

的描述，數學上同樣的微分方程，描述的是同一個函式，對應著同一個變化規律。如果不同的學科有同樣的微分方程，那他們一定具有類似的物理過程或規律，只是不同領域、表現出來的形式不同罷了。

在我工程實踐過程中，發現“振子方程”出現在非常多的領域，我也用彈簧振子變化的物理過程、解釋清楚了很多表面上看完全不同領域的問題，比如慢波天線原理、材料中電磁特性的物理意義、噪聲和熱是怎麼回事、左手材料異常折射等。所以我前面花了很多時間介紹彈簧振子，並且這個專欄也被命名為“振子看世界”。這一部分我從振子的角度，粗略觀察下電學系統的問題。

電學體系：

我們研究每個問題的時候，最好首先退回到最根上，從最基本的問題入手，容易看清楚最本質的櫃裡。我認為力學研究的最基本物理量是質點之間的相對位置x，其他量都是中間過渡量或者由基本量得到的結果或現象。

電學研究什麼？當然是

電荷

，就像力學中的質點相對位置一樣；但電荷是個相對量，電荷變化了我們可以說等量的電荷在運動、也可以說是電荷位置沒有變化而數量發生了變化。目前電學體系的數學描述是採用後者，也就說電學描述的全部是電荷量的變化，這樣在數學上顯然更容易描述。

在力學中我說過，彈簧振子模型，是力學中最小的完備系統，並做了解釋。這兒我認為LC諧振電路，同樣是電學的基本完備系統；這兒先說結論，後面解釋原因。我們為什麼要介紹最小系統呢？因為它最簡單；為什麼要完備系統呢？因為它包含了全部規律，這樣根據最小系統，可以比較容易的看清楚底層的物理規律。

LC諧振電路

這兒先看最基本LC諧振電路滿足的微分方程。稍微說一句，我最初學物理的時候，也是很喜歡考慮定性的物理分析，不喜歡定量的微分方程。後來發現，有時候想象起來很複雜的過程，透過抽象出來的函式，一下子變得很直觀；另外，有時候在思維裡不容易連線起來的物理過程，透過數學做為過渡，變得容易了很多。況且，物理上真正用到的基本微分方程並不多。所以大家不要排斥它，只要真正明白少數的一些微分方程並且熟悉它，很多問題會變得豁然開朗。

電容

：兩金屬板上分別有電荷

和-q，它們之間就有一定的電位差

$V=\frac{qd}{\varepsilon_{0}A}$

。電位差和電荷成正比，比例係數的倒數定義為電容

$C=\frac{\varepsilon_{0}A}{d}$

，有

$V=\frac{q}{C}$

。

電阻

：電位差和電流成正比

$V=IR=R\frac{dq}{dt}$

；比例係數定義為電阻。

電感

：阻礙電流變化的器件，兩端感應出和電流變化率成正比的電位差

$V=L\frac{dI}{dt}=L\frac{d^2q}{dt^2}$

：

對如圖的諧振電路，1、2兩點的電位差為：

$L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V(t)$

；

其中

是外加激勵。

我們再把彈簧振子的方程寫出來（受迫全振子方程）：

$m\frac{d^2x}{dt^2}+mr\frac{dx}{dt}+kx=F(t)$

可見，只要把自感Ｌ對應振子的質量m、把ｑ對應振子的位移x、Ｒ對應阻尼係數，則諧振電路和前面的振子完全一致；電感之所以可以對應質量，是因為它們都是維持慣性的。在電學和力學系統中，透過引數互換，電學的問題可以用牛頓定律求解、同樣力學的問題有時也可以用電學求解，部分力學的模擬軟體，底層就是用電路等效的；這兩個系統中所有的方程推導都相同。

但是，在本質上相同的兩個系統，在定義的具體描述參量上還是有些不同，讓我們仔細看看這種不同和相同的東西：

力學中對質點施加作用力是透過F（t），電學中對電荷施加作用力是透過電勢差V（t）；力學中度量質點慣性大小用慣性質量m，電學中定義了一個元件電感L來度量電荷變化的慣性大小；然後電學中定義了另兩個基本量電阻和電容，力學中卻沒有再定義這樣的基本量，我們看看它們是什麼？

我們說過，電荷是個相對量，相對什麼呢？當然是相對另一個電荷，兩個電荷發生相互作用的最基本的方式是：其中一個電荷量相對發生變化，導致兩個電荷間的電勢差發生變化，從而給電荷施加作用；我們瞭解電學後回來看看，是不是理想的電容就正好體現了這種最基本的現象，

電荷變化――電勢差變――作用力變

；就是說電容相當於力學系統中的彈簧。所以，電容的定義其實是把電學中兩個電荷相互作用的最基本的方式、定義為一個元件了，這樣使得描述變得方便。

同時，力學中損耗項的係數是質量乘以阻尼係數，在電學中用一個電阻R代替了。可見，電學中採用電容、電感和電阻的描述，其實是個等效，把一些作用的特性用一個等效的元件概括了；這也是為什麼用力學系統分析更能反應物理本質的原因。

問題是，力學中為什麼不定義類似的單個元件，這樣使得力學系統的工程搭建，類似電路中組合L、R、C一樣簡單？因為力學系統中對應的這三個元件都是分佈引數，比如一段實際的彈簧，不論質量、彈性形變和損耗都是分佈在整個長度上的；這樣的設定反而使問題複雜化。每門學科透過長期研究沉澱下來的引數定義，是用它最適合人們認識的方式呈現出來的。

為什麼LC諧振電路可以作為電學的基本單元

上面我們看到了LC寫真電路和彈簧振子具有同樣的微分方程，下面我們分析為什麼LC諧振電路，可以做為電學的基本單元。因為我是從事射頻方面的工作，我就解釋為啥它可以做為射頻電路的基礎吧；也許擴充套件到電學其它方面有不全面的地方，如果有其他朋友感興趣歡迎一起討論。

前面分析了基本的LC電路，如果是級聯的LC電路回事啥樣呢？