向量運算與應用

作者：由王江榮發表于攝影時間：2021-04-03

什麼是向量

向量指具有大小和方向的量

，一般記做：

，

$\vec{a}$

，

$\vec{AB}$

，同時也可以用數對的形式表示，例如：（x， y），（7，8，9）

向量的矩陣

表示：

$\vec{a} = \begin{bmatrix} x \\y\end{bmatrix}$

$\vec{a}=\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix}$

向量的大小

，也就是向量的長度（一般稱作為模），向量a的模記為：

$\left | \vec{a} \right |$

，若

$\vec{a} = \left ( x,y,z \right )$

，則

$\left | \vec{a} \right | = \sqrt{x^2 + y^2+ z^2}$

單位向量：

即模為1的向量，可以記作

$\hat{a}$

。一個向量的單位向量，可以透過除以它模得到，即

$\hat{a} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a}|}$

。

零向量：

即模為0的向量，零向量的方向是任意的

相反向量：

長度相等方向相反的向量，

$\vec{a}$

的相反向量為

$-\vec{a}$

平行（共線）向量：

方向相同或相反的非零向量，記作

$\vec{a} // \vec{b}$

向量運算

設

$\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)$

，

$\vec{b}=(x_2,y_2,z_2)$

加法

向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則，

$\vec{OA} + \vec{OB} = \vec{OC}$

可以將其想象成一個長方形求對角線。

運算過程：

$\vec{a} + \vec{b} = (x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \\z_1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2} \\z_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1} + x_{2}\\ y_{1} + y_{2} \\z_1+z_2\end{bmatrix}$

一些運算律：

$\vec{a} + 0 = 0 + \vec{a} = \vec{a}$

交換律：

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$

結合律：

$\left ( \vec{a} + \vec{b} \right) + \vec{c} = \vec{a} + \left ( \vec{b} + \vec{c} \right)$

減法

$\vec{OA} - \vec{OB} = \vec{BA}$

，如圖

運算過程：

$\vec{a} - \vec{b} = (x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$

$\vec{a} - \vec{b} = \begin{bmatrix} x_{1}\\ y_{1} \\z_1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} x_{2}\\ y_{2}\\z_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1} - x_{2}\\ y_{1} - y_{2} \\z_1-z_2\end{bmatrix}$

一些運算律：

$\vec{a}+(-\vec{b})=\vec{a}-\vec{b}$

實數和向量的積

設有實數 k，和向量

$\vec{a}$

的乘積還是一個向量，記做

$k\vec{a}$

，且

$| k \vec{a} | = | k| * | \vec{a} |$

，如果

$k\vec{a}=0$

，則 k = 0 或

$\vec{a}=0$

其幾何意義為：向量的有向線段的伸長或者壓縮。

一些運算律

：

結合律：

$( k\vec{a} )\cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b} ) = \vec{a} \cdot ( k\vec{b} )$

分配律：

$( j+ k) \vec{a} = j\vec{a} + k\vec{a}$

$k( \vec{a} + \vec{b} ) =k\vec{a} +k\vec{b}$

向量的點乘（點積，內積，數量積）（Dot Product）

兩個向量的數量積（點積，內積，點乘）是一個數量，沒有方向，記作

$\vec{a}\cdot \vec{b}$

代數定義：

$\vec{a}\cdot \vec{b} = x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_1z_2$

幾何定義：

我們將

$\vec{a}$

和

$\vec{b}$

的夾角記作

$\theta$

，且

$0\leqslant \theta \leqslant \pi$

若

$\vec{a}$

，

$\vec{b}$

不共線，則

$\vec{a}\cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |\cdot cos\theta$

若

$\vec{a}$

，

$\vec{b}$

共線，則

$\vec{a}\cdot \vec{b} = \pm \left | \vec{a} \right | \cdot \left | \vec{b} \right |$

，因為此時

$\theta=0$

則

$\cos\theta=1$

，若兩個向量方向相反，則認為

$\theta=\pi$

則

$\cos\theta=-1$

。

一些運算律：

交換律：

$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$

結合律：

$( k\vec{a} )\cdot \vec{b} = k( \vec{a}\cdot \vec{b} )$

分配率：

$( \vec{a} + \vec{b} )\cdot \vec{c} =\vec{a}\cdot \vec{c} + \vec{b}\cdot \vec{c}$

一些性質：

$\vec{a}\cdot \vec{a} = | \vec{a} | ^{2}$

若兩個向量互相垂直，則

$\cos\theta=0$

因此

$\vec{a}\perp \vec{b} \leftrightharpoons \vec{a}\cdot \vec{b} = 0$

點乘的實際使用場景

1。計算兩個向量的夾角，透過點乘我們可以得到：

$cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |} = \frac{x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}*\sqrt{x_2^2+y_2^2+z_2^2}}$

若

$\vec{a}$

和

$\vec{b}$

為單位向量，即模為1，那麼上面的式子分母即為1，得

$cos\theta = x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$

2。可以用來求一個向量在另一個向量上的

投影

，例如圖中

$\vec{b}$

在

$\vec{a}$

上的投影，我們記作

$\vec{b} _{\perp }$

因為

$\vec{b} _{\perp }$

是

$\vec{b}$

在

$\vec{a}$

上的投影，因此

$\vec{b} _{\perp }$

的方向和

$\vec{a}$

相同。因此

$\vec{b} _{\perp } = k \hat{a}$

，k為一個常量，

$\hat{a}$

為

$\vec{a}$

的單位向量。

$\hat{a}$

的值我們很好求得：

$\hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

接下來要看看 k 值的含義，因為

$\vec{b} _{\perp }$

和

$\vec{a}$

方向相同，因此

$\hat{a}$

不僅是

$\vec{a}$

的單位向量，同時也是

$\vec{b} _{\perp }$

的單位向量，因此 k 即為

$\vec{b} _{\perp }$

的模，即

$k=|\vec{b} _{\perp }|$

然後由於

$\vec{b}$

的結尾與

$\vec{b} _{\perp }$

的結尾的連線，垂直於

$\vec{a}$

（如圖，也是投影的性質），因此透過三角函式，我們可以得知

$|\vec{b} _{\perp }|=|\vec{b} |*\cos\theta$

$|\vec{b}|$

的值很好求得，

$\cos\theta$

我們可以透過點乘得到，因此即可求得k的值，然後求得

$\vec{b} _{\perp }$

如圖，透過向量的減法，我們可以得到

$\vec{b}-\vec{b} _{\perp }$

，這樣就把

$\vec{b}$

分解成了兩個互相垂直的向量。

若我們要把向量（x， y， z）投影到x，y，z的某個平面上，只需要把垂直於該平面的那個軸對應的值設定為0即可，例如：投影到xy平面，即為（x， y， 0），投影到yz平面上，即為（0， y， z）。若投影到某個軸上，則只保留該軸的值即可，例如：投影到x軸上，即為（x， 0， 0），投影到y軸上，即為（0， y， 0）。

3。判斷一個向量的朝向是否和另個向量相似，即兩個向量的

方向性

，如圖

圖中我們可以認為，

$\vec{b}$

和

$\vec{a}$

一樣，同時朝向前方，而

$\vec{c}$

朝向的是

$\vec{a}$

的後方。我們可以透過點積的值來判斷，

> 0 則為同方向（0 <= 夾角 < 90）， < 0 則為反方向（90 < 夾角 <= 180）, = 0 即為垂直（夾角 = 90）

。

因為

$\vec{a}\cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |\cdot cos\theta$

，若兩個都是非零向量，則

$| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |> 0$

，透過三角函式可知：當

$0 \leqslant \theta < \frac{\pi}{2}$

，

$cos\theta > 0$

，因此點積的值 > 0，當

$\theta=\frac{\pi}{2}$

，

$cos\theta = 0$

，因此點積的值 = 0，當

$\frac{\pi}{2} <\theta \leqslant \pi$

，

$\cos\theta<0$

，因此點積的值 < 0。

4。兩個向量是否

接近

，夾角越小，即兩個向量越接近。透過上面3提到的，我們只能透過點積的值來判斷夾角是鈍角還是銳角還是直角，那麼如何只透過點積的值來判斷夾角大小呢？那就是我們把

兩個向量的單位向量進行點積

。這樣就會使

$| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | = 1$

，因此

$\hat{a}\cdot \hat{b} = cos\theta$

，那麼當值為 1 時，代表兩向量方向正好相同，當值越來越小時，代表兩個向量離得越來越遠，當值為 -1 時，代表兩向量方向正好相反。因此

兩個向量的單位向量的點積越接近1，兩個向量越接近

。

這個性質可以應用在

高光

的顯示上，當

人眼看向目標的向量

和

光折射的向量

，它們越接近則高光效果越明顯。

向量的叉乘（叉積，向量積，外積）（Cross Product）

兩個向量的向量積（叉積，叉乘，外積）是一個向量，記作

$\vec{a}\times \vec{b}$

（或者

$\vec{a} \wedge \vec{b}$

）

我們將

$\vec{a}$

和

$\vec{b}$

的夾角記作

$\theta$

，且

$0\leqslant \theta \leqslant \pi$

，那麼叉乘得到的向量的模長為：

$| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |\cdot sin\theta$

方向：

與這兩個向量所在平面垂直，且遵守

右手螺旋定則

（四指方向代表旋轉的方向，右手四指從

$\vec{a}$

轉向

$\vec{b}$

時，大拇指的方向即向量積的方向）

用矩陣表示：

$\vec{a}\times \vec{b} = \begin{bmatrix} 0& -z_a& y_a\\ z_a& 0& -x_a \\ -y_a & x_a&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_b\\ y_b \\ z_b \end{bmatrix}= \left ( y_{a}z_{b}-z_{a}y_{b} ,z_{a}x_{b}-x_{a}z_{b} ,x_{a}y_{b}-y_{a}x_{b} \right )$