線性代數的本質09 基變換

作者：由三少爺的鍵發表于攝影時間：2020-03-05

09 基變換

二維空間中的向量有它的座標，例如向量的座標是

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right]$

，它代表著從起點到向量的末端，需要向右移動三個單位，並向上移動兩個單位。或者代表縮放三倍的向量

，和兩倍的向量

，而它們的和就是座標所描述的向量。

可以把這兩個向量看做這個座標的隱含假設，它們是標量縮放的物件，是標準座標系的基向量。現在我們要討論的是選取另一組基向量，比如Jennifer選擇另一組向量

1和

2，則她得到的座標

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {5/3}\\ {1/3} \end{array}} \right]$

，就與標準座標系不同。

在我們的座標系中，Jennifer的基向量的座標分別是

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right]$

，

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -1\\ 1 \end{array}} \right]$

，但在她自己的座標系中，基向量的座標是

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right]$

，

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]$

。她座標軸的原點與我們相重合，但是網格的尺寸和方向，依賴於對基向量的選擇。那麼我們如何在不同的座標系中進行轉變呢？

例如，求Jennifer座標系下的向量

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right]$

，在我們的座標系（標準座標系）下的座標。這過程就是用某個向量的特定座標與他的基向量數乘，然後將結果相加

$- 1\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right] + 2\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 1 \end{array}} \right]$

，這就是矩陣向量乘法

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right]$

。矩陣的列向量就是在我們座標系下所表達的Jennifer的基向量。

作者在這裡一頓描述，最後歸結為這個矩陣，“把我們誤解Jennifer的向量，變成Jennifer真正所想的向量。”

我是這麼記的，

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - one}\\ {two} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 1 \end{array}} \right]$

，說英文的是Jennifer，數字都是我們座標系下的座標，列向量線性組合起來得到的也是我們座標系下的座標。輸入的是Jennifer的

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - one}\\ {two} \end{array}} \right]$

，輸出就是我們座標系下的

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ 1 \end{array}} \right]$

，Jennifer來我們的座標系說事，翻譯是我們出的，翻譯內容就是她的單詞在我們這邊是啥意思，即她的基向量在我們這裡是啥座標，

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right]$

。沒有誤解，只有交流。

那麼反過來如何操作呢，我們座標系下的

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right]$

如何能夠變成Jennifer座標系下的

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {5/3}\\ {1/3} \end{array}} \right]$

？答案是取逆矩陣

${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right]^{ - 1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1/3}&{1/3}\\ { - 1/3}&{2/3} \end{array}} \right]$

，它意味著一個反向變換。我們座標系下的

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right]$

，即為Jennifer座標系下的

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1/3}&{1/3}\\ { - 1/3}&{2/3} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {5/3}\\ {1/3} \end{array}} \right]$

。

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1/3}&{1/3}\\ { - 1/3}&{2/3} \end{array}} \right]$

就是我們的基向量在Jennifer座標系下的座標，即我們的單詞在她那啥意思。

線上性變換過程中，例如90度逆時針旋轉，我們追蹤基向量

和

線上性變換之後的座標，得到矩陣

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 1&0 \end{array}} \right]$

，這是用我們的座標系記錄的結果。Jennifer如果要描述90度逆時針旋轉，她會追蹤她的基向量經過線性變化後的座標，並且這個座標是在她的座標系中記錄的。

例如，對於Jennifer座標系下的向量

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right]$

，首先翻譯成我們座標系下的座標

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right]$

，然後對這個向量施加逆時針旋轉

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right]$

，最後再翻譯回到Jennifer的語言中，

${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right]^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 2 \end{array}} \right]$

。

則三個矩陣的複合就是Jennifer座標體系下的線性變換矩陣：

${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right]^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1}\\ 1&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 1}\\ 1&1 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {1/3}&{ - 2/3}\\ {5/3}&{ - 1/3} \end{array}} \right]$