怎麼理解矩陣代表線性變換?

Aetherus2022-04-08 11:52:35

吐血推薦 @3Blue1Brown 的系列影片《Essense of Linear Algebra》

Essence of linear algebra

如果感覺英語有難度，B站上有加了中文字幕的版本：

【官方雙語/合集】線性代數的本質 - 系列合集_嗶哩嗶哩_bilibili

忄丫2022-04-20 18:48:06

對於Ax來說，這個過程就是將x變換到以矩陣A列向量為基向量的空間當中了。具體你可以搜一下矩陣乘法的本質。

天下無難課2022-04-29 19:24:42

線性變換有一個比較一般化的名字叫線性組合。啥叫線性組合呢？就是有幾個向量，a₁，a₂，…aₙ，要用它們組合出一個新的向量來。這個“組合”其實就是“加法”，就是把這幾個向量家起來得到一個新向量。與單純的加法不同的，在組合是會多一個計算步驟，就是給每一個向量乘上一個係數，算算是給每個向量在參與加法前安排一個權重吧。這樣，這個組合的表示式就是：y=a₁x₁+a₂x₂+…aₙxₓ （1）。這裡，x（x₁，x₂，…xₙ）就是這組係數。

如果我們把這個表示式簡化一下，就有y=Ax （2）。這裡，我們用A來代表這一組向量，用x來代表這一組係數。當你看到y=Ax這個乘法表達式時，請你馬上自行腦補出表示式（1）。

對於表示式（1），可以比較直觀的地看出一組向量A，按一組係數x，組合（數乘後加總）出了向量y。

對於表示式（2），我們給了向量組A另外一個名字，就叫矩陣A。你現在看到了，矩陣就是一組要被拿來做組合的向量。由於這個乘法表達太簡潔了，我們會習慣地稱它為A乘以x等於y。但這個講法是一個在一般函式關係裡表達數字運算關係的說法，不足以表達向量（陣列）運算的特色。所以，我們不這麼說，而是說：矩陣A把向量x變換成了向量y。這個變換髮生在一個線性空間中，我們就叫它線性變換了。

不是矩陣代表線性變換，而是線性變換是線性組合的另外一種說法，而矩陣是線性組合中對向量組的一個簡約表示的說法和符號。