為什麼向量的數量積公式是 a·b＝|a|·|b|·cosθ？

作者：由科學探索者發表于娛樂時間：2019-07-02

吃月亮的人2019-07-02 19:48:14

高中畢業後寫的回答，有些細節很模糊，整篇也沒啥意義，大家就看個笑話

想深入瞭解的童鞋可以百度內積空間和賦範空間，或者學多元微積分前和泛函時都會學到

逃

向量的數量積是人們定義的，並非推匯出來的

就好像加減乘除，你說一加一為什麼等於二？一加一干嘛不能等於三？這個東西怎麼推導？

加法這個運算子號是人們定義的，人們定義這東西叫“＋”，並且發現它有交換律和結合律

向量的數量積同理，大家定義向量a·向量b=模a·模b·cos夾角（這玩意不是絕對值，是向量的模長）

你說為什麼要定義成cos？定義成其他三角符號甚至只要a·b不行嗎？

當然可以

如果你定義成sin，這個就是我們熟知的向量外積

如果你定義成tan，那我也不知道這是什麼東西。。

看起來你定義地確實很開心，不過，等等，你定義的數量積有什麼意義？

如果數量積是ab·cos，那麼它的直觀意義是a向量在b向量方向上的投影模長乘b向量的模長，乍一看沒什麼卵用，不過物理學家驚訝地發現這個公式可以用來描述做功（力在位移方向作投影）

如果數量積是ab·sin（就是外積啦），這用處可就更多了，它可以表示平面上三角形的面積，幫助你求空間幾何體的體積，物理上，電磁學的許多公式都是用向量外積來描述的

所以理解了嗎，任何量或者公式你大可以隨意定義，不過想讓這個定義有價值，你必須在某些領域找到對應的用途，否則這個定義就是空中樓閣

如果你學過複數，或許會更好理解一些

歷史上的大佬們把數的範圍延拓到二元數、四元數、八元數、十六元數……，後人完全可以照這個趨勢定義出1024元數，但實際上呢？十六元數在實際生產生活中的應用就已經比較雞肋了，更不用談後面，所以，某個概念或公式的定義必須要有其價值，否則哪怕你等定義出來終究也是在做無用功

（by the way 高中剛畢業，啥都不會，大佬輕噴，歡迎指正）

張同學2019-07-03 11:09:36

數量積是歐式空間

$\mathbf{R}^n$

中的標準內積。

首先確定一下，這裡我們討論的空間是歐氏空間

$\mathbf{R}^n$

，在上面我們自然可以定義範數

$\|x\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}$

，這個是不是看起來很自然，就是我們一般情況下討論的向量的長度，這種範數滿足平行四邊形公式：

$2(\|x\|^2 + \|y\|^2) = \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2$

，所以我們可以在這個賦範線性空間上利用極化恆等式定義內積：

$x\cdot y = \frac14 (\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2)\\$

所以最終定義的內積就是

$x\cdot y = \frac14(\sum\limits_{i=1}^n(x_i +y_i)^2 - \sum\limits_{i=1}^n(x_i -y_i)^2) = \sum\limits_{i=1}^n x_i y_i$

。

當然也可以推匯出另外一個公式：

$\begin{split} x\cdot y &= \frac14 (\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2)\\ &= \frac14 (2(\|x\|^2 + \|y\|^2)-\|x-y\|^2- \|x-y\|^2)\\ &= \frac12(\|x\|^2 + \|y\|^2 - \|x-y\|^2)\\ &= \|x\|\|y\|\cos<\!x,y\!> \end{split}\\$

最後一步是因為餘弦定理。可以這樣說：內積定義方式是由於我們向量長度定義方式決定的。

內積是不能隨便定義的，它必須滿足以下三條性質：

$x\cdot y = y\cdot x$

$(\alpha x+\beta y)\cdot z = \alpha (x\cdot z) + \beta (y\cdot z)$

$x\cdot x\geq 0$

並且

$x\cdot x\Leftrightarrow x=0$

所以像是

$x\cdot y = \|x\|\|y\|$

，

$x\cdot y=\|x\| \|y\| \sin\!<\!x, y\!>$

都不是內積。

tetradecane2019-07-03 23:02:43

三藍一棕這個解釋真是絕了！

https：//www。

bilibili。com/video/av67

31067

從頭開始看到P7哦~不然看不懂

我自己整了點PPT，結合著影片理解。

3。1

3。2

7。1

7。1_2

7。2

7。3

7。3_2

7。4

Hsin2020-03-17 13:25:28

在回答另一個問題的時候順便看到的這個問題，內容很契合，所以稍作修改搬運過來

向量的數量積：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta\\$

這個等式恰好只是隨便定義出來的規則嗎，還是另有意義？

這個答案希望用盡可能易理解的語言說明這裡的定義並不是隨便給出的，而是必須如此。

從幾何上來講，

$|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta$

的意義是比較明確的，就是將一條線段投影到另一條線段，然後再將兩個長度相乘，同向為正，異向為負。如果能夠證明向量的數量積

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$

是做了相同的事情，那麼它們之間的等號自然是成立的。現在我希望說明向量的數量積所表達的正是同樣的含義。

變換 Transformation

先忘掉課本上的公式，想像這麼一個場景：

有一條非零的向量

$\mathbf{a}$

，對於其它的任意向量

$\mathbf{b}$

，先將其投影到

$\mathbf{a}$

上，再沿

此時的方向

將其拉伸

$|\mathbf{a}|$

倍，取最後所得向量的長度（同樣地，根據兩者方向的異同來決定正負號）。

將這麼一套完整的動作流程定義為一個「變換」。容易發現，這個變換跟前面所說

$|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta$

的意義是等價的。那麼，我們現在要做的，就是證明這個變換可以用向量的點積來描述。

性質 Property

在說明這個變換就是向量點積之前，需要對它的幾個性質做一個說明。

可加性：

容易理解，對兩個向量的和去做一個這樣的變換，與兩個向量分別做該變換再求和，結果是一樣的。

數乘性：

對一個向量先乘一個數（也就是拉伸）再做變換，與做變換後再乘一個數，結果是一樣的。這一點其實是可加性的延伸，正如乘法是加法的延伸。

事實上，這些性質都是在說明，我們設計的這個變換是一個線性變換（linear transformation）。現在不理解這個詞是什麼意思沒關係，重要的是它的性質。

符號 Notation

向量點積（數量積）本身可以有多種符號表達（以二維為例）：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\left[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{l} c \\ d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} a & b \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} c \\ d \end{array}\right]=(a, b) \cdot(c, d)=a c+b d\\$

這裡取高中生最熟悉的圓括號寫法。

分解 Decomposition

一個向量本身就符合可加性，可以分解為一組基向量的和：

$\mathbf{b}=(c, d)=c(1, 0)+d(0, 1)=c\mathbf{i}+d\mathbf{j}\\$

這裡

$\mathbf{i}=(1, 0)$

，

$\mathbf{j}=(0, 1)$

。

現在我要說明，一個符號

不僅可以看作其對應向量

$\mathbf{a}$

的表示式，還可以看作兩個基向量

$\mathbf{i}$

和

$\mathbf{j}$

在進行變換之後的結果。

考慮一個基向量

$\mathbf{i}$

，對它進行前面所說的「投影再拉伸」變換後，它將會變成大小為

的標量，這恰好是向量

$\mathbf{a}$

的第一個分座標。

對基向量 i 進行所設計的變換操作。

同理，另一個基向量

$\mathbf{j}$

在變換後也會成為大小為

的標量。

如此一來，重新審視符號

，是否有了新的認知？

最後，我們來看向量的點積：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=(a, b) \cdot(c, d)=a c+b d\\$

聯絡之前的

$\mathbf{b}=(c, d)=c\mathbf{i}+d\mathbf{j}$

，發現點積僅僅是把

$\mathbf{i}$

和

$\mathbf{j}$

替換成了標量

和

，相當於我要找

$\mathbf{b}$

的變換結果，變成先

分別找

$\mathbf{i}$

和

$\mathbf{j}$

的變換結果（經過「投影再拉伸」的變換，

$\mathbf{i}$

變換為

，

$\mathbf{j}$

變換為

，則

$c\mathbf{i}$

變為

，

$d\mathbf{j}$

變為

），再將這兩個分量變換後的結果按照原先的方式相疊加（因為原先是

$c\mathbf{i}+d\mathbf{j}$

，所以變換後應該是

），從而最終得到

$\mathbf{b}$

在變換後的結果。這個過程本質上就是利用了線性變換的可加性和數乘性。

也就是說，向量的點積

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=(a, b) \cdot(c, d)=a c+b d$

所代表的，恰恰就是對一個向量進行「投影再拉伸」的變換，所以它和三角函式視角下的、對同一件事情的另一種數學描述也必然相等：

$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \theta\\$

事實上，線上性代數中，點積可以看作將高維向量壓縮為一維的一種特殊的線性變換（想想上面的兩個基向量在變換後都退化成了標量，任意兩個向量的點積也永遠是一個標量）。這個答案儘可能使用高中生能夠理解的語言來展開，也是希望能夠讓人更好地一窺線性代數的（幾何）本質。

推薦觀看：

【熟肉】線性代數的本質 - 07 - 點積與對偶性_嗶哩嗶哩（゜-゜）つロ乾杯~-bilibili

Reimu Hakurei2020-08-14 17:39:25

$\vec a=(a_1,\cdots,a_n)$

與

$\vec b=(b_1,\cdots,b_n)$

的點積定義為

$\vec a\cdot\vec b=\sum_{j=1}^{n}{a_jb_j}$

。

很容易推出以下性質。

$\vec a\cdot\vec b=\sum_{j=1}^{n}{a_jb_j}=\sum_{j=1}^{n}{b_ja_j}=\vec b\cdot\vec a$

$(\vec a+\vec b)\cdot\vec c=\sum_{j=1}^{n}{(a_j+b_j)c_j}=\sum_{j=1}^{n}{a_jc_j}+\sum_{j=1}^{n}{b_jc_j}=\vec a\cdot\vec c+\vec b\cdot\vec c$

當然，在代數上兩者夾角就定義為

$\arccos\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{\|\vec a\|\|\vec b\|}$

，所以代數上肯定不會以題中的式子為定義。題中的公式是幾何形式。

現在要從點積的定義推出點積的幾何形式。今考慮

$\mathbb{R}^3$

，

$\mathbb{R}^2$

同理可證。

不妨先證明餘弦定理。

這裡

與

為銳角，

為鈍角。不過，其餘情形也可以類似地證明。

顯然有

$AD=b\cos A$

與

$BD=a\cos(\pi-B)=-a\cos B$

。

那麼

$c=AD-BD=a\cos B+b\cos A$

。

兩邊同乘以

，就得到

$c^2=ac\cos B+bc\cos A$

。

同理可得

$a^2=ab\cos C+ac\cos B$

，

$b^2=ab\cos C+bc\cos A$

。

$\begin{align} &\kern{24 mu}a^2+b^2-2ab\cos C\cr &=ab\cos C+ac\cos B+ab\cos C+bc\cos A-2ab\cos C\cr &=ac\cos B+bc\cos A\cr &=c^2 \end{align}$

證畢。

對

$\vec v=(v_1,v_2,v_3)$

而言，對應的幾何向量的長度很容易求出。

運用勾股定理，立刻就能看出是

$\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}$

，記作

$|\vec v|$

。這與

$\vec v$

的範數

$\|\vec v\|$

相同。

顯然

$\vec v\cdot\vec v=v_1^2+v_2^2+v_3^2=|\vec v|^2$

。

構造封閉三角形，三個頂點分別為

，

。

令

$\vec c=\vec a-\vec b$

。此時

$\vec a=\overrightarrow{CB}$

，

$\vec b=\overrightarrow{CA}$

，

$\vec c=\overrightarrow{AB}$

。

$\vec a$

與

$\vec b$

的幾何夾角為

。

由余弦定理得

$|\vec c|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos C$

。這時就可用

$|\vec v|^2=\vec v\cdot\vec v$

替換。

$\vec c\cdot\vec c=\vec a\cdot\vec a+\vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b|\cos C$

根據點積的性質，

$\vec c\cdot\vec c=(\vec a-\vec b)\cdot(\vec a-\vec b)=\vec a\cdot\vec a-2\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec b$

，代入上式。

$\vec a\cdot\vec a-2\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec a+\vec b\cdot\vec b-2|\vec a||\vec b|\cos C$

整理得

$\vec a\cdot\vec b=|\vec a||\vec b|\cos C$

，即為所求。

標簽：向量定義變換點積內積

上一篇:微信表情包製作&上線全過程（詳細血淚史）

下一篇：減脂期應該攝入多少蛋白質？

為什麼向量的數量積公式是 a·b＝|a|·|b|·cosθ？

猜你喜歡

pdf用ps開啟後為什麼文字都不見了？或者變成了亂碼？或者只剩一部分？

第四題為什麼r（b）是二就要這樣設?

推薦系統中的深度匹配模型

在向量的向量積中i×j=k，j×k=i，k×i=j能解釋這幾個表示式嘛？

數字影象處理基礎知識點，複試，期末都可用