p=2acosθ為什麼只能用極座標求法?

匿名使用者2021-12-21 13:45:48

不嚴謹的說，用∫ydx這種方法來求面積實際上是在把x，y平面上的小方格面積疊加在一起，每個小方格就是被定義出的被稱為微分的一種結構。比如dxdy，直觀上可以認為是xoy平面上的一個小方塊。

而極座標是另外一種描述平面上點位置的方式，drdθ並不代表xoy平面的小方格，把drdθ積分起來也並不是這個平面的面積，所以∫rdθ≠∫ydx

但我們只定義了平面直角座標系的積分方式，面對這種奇怪的座標，我們希望把原來的x，y座標平面透過某種變換拉伸成r和θ互為直角的座標軸方便我們積分，這時候，原來的微元dxdy被拉伸成了Jdrdθ，也就是多了一個比例係數J，這樣這個微元才是r和θ構成的直角座標軸裡，xoy座標系的面積微元。

對極座標系，J=r，所以有dxdy=rdrdθ，

把（0，2acosθ）作為對r積分的上下限，積分

∫∫rdrdθ，就會得到你寫出的第二個公式。

楊楊2021-12-21 18:25:48

本就是極座標下的曲線方程，

（不是

）是

方向的極徑。該曲線畫出來是這樣的（ 取

）：

容易看出，這是一個半徑為

的圓，面積自然就是

了。關於極角，也容易看出，

，這個範圍內

，而且曲線閉合。

puppy2021-12-21 19:30:12

我只能幫到這裡了

不知道你問的是什麼問題！

Iqnaw Ux2021-12-23 15:22:42

看到你畫的極座標我人傻了 數學是要理解的 不是死背公式的 就按你直角座標系下面積微元是dA=y·dx所以能那麼積分 你那極座標的概念就弄錯了 人家ρ θ是極軸和極角根本不垂直 面積微元可以當成小扇形算 dA=1/2ρds（弧長）=1/2ρ•ρdθ