Metamaterials and Plamonics - Part I (I)

作者：由慕澤發表于攝影時間：2020-08-25

PART I。 GENERAL ASPECTS OF METAMATERIALS AND PLASMONICS

1.1 Handedness in Plasmonics: Electrical Engineer's Perspective

Ari Sihvola and Saïd Zouhdi

摘要：

本節探討材料手性（handedness）與材料的負引數。超材料與電磁場中三種具體的手性將被討論：雙負材料（double-negative material）的左手手性（left-handedness）特徵，平面波的極化手性，以及材料中的偏光性（chirality）。由這三種手性出發，還將討論左手手性與右手手性之間的對稱性。負折射（negative refraction）與回波特性（backward-wave characteristic）將在媒質分解本徵波（eigenwaves）波數時被討論。最後，本節還將負折射與各向異性（anisotropic）以及雙各向異性（bi-anisotropic）材料聯絡起來。

1.引言

超材料領域的發展吸引了各領域的學者投入到相關研究中，但是相關的概念與物理意義在不同領域之間是混亂的。

本文將試圖釐清超材料領域的一些概念與理解，例如“左手性”與“右手性”意味著什麼？負折射與回波現象是如何聯絡在一起的？左手性與右手性之間的對稱性有多顯著？

手性，螺旋性（helicity），偏光性，階數（order），以及對稱性將以不同視角加以審視。研究中的超材料也將從雙各向異性的角度進行分析，這為媒質設計提供了更大的自由度。

2. 認真領會“手性”一詞

（Close-Reading of the Term “Handedness”）

“手性”是一個在超材料文獻中非常常用的術語。讓我們從電磁學中的討論開始。定義和分析這些含義是很重要的，因為即使在科學討論中，它們也經常被誤用，這可能是由於對這個術語的錯誤聯想造成的。

2.1 電磁手性的三個含義

（The three meanings of handedness in electromagnetics）

（1）超材料中的“左手”媒質；

（2）圓極化（或橢圓極化）波的極化方向；

（3）材料幾何結構的偏光性。

2.1.1 超材料中的“左手”媒質

（Metamaterials as left-handed media）

在超材料以及電磁領域中談論“手性”離不開三個物理量：

$(\bm{\rm{E}},\bm{\rm{H}},\bm{\rm{k}})$

，即電場、磁場、波矢。選取時諧因子

$e^{\rm{j} \omega t }$

，對正向傳播的平面波（

$e^{-\rm{j}\bm{\rm{k}} · \bm{\rm{r}}}$

），麥克斯韋旋度方程可寫為

$\bm{\rm{k}} \times \bm{\rm{E}} = \omega \bm{\rm{B}} = \omega \mu \bm{\rm{H}} \qquad \bm{\rm{H}} \times \bm{\rm{k}} = \omega \bm{\rm{D}} = \omega \varepsilon \bm{\rm{E}} \tag{1} \\$

上式要求均勻，各向同性，無源的背景媒質，材料引數為

$\varepsilon$

與

$\mu$

。在電磁引數均為正值的媒質中，

$(\bm{\rm{E}},\bm{\rm{H}},\bm{\rm{k}})$

三者之間是右手關係，坡印廷向量（Poynting vector）

$\bm{\rm{S}}$

與

$\bm{\rm{k}}$

同向；而在電磁引數均為負值（

$\varepsilon<0,\mu < 0$

）的媒質中，三者之間是左手關係，坡印廷向量

$\bm{\rm{S}}$

與

$\bm{\rm{k}}$

反向。

圖中只標註了相對磁導率，注意相對介電常數應當與之保持同號，這是波數表示式的要求。

除了“左手材料”之外，這一型別的超材料也很多其他名字：雙負材料（double-negative materials），負引數材料（negative-index materials），負相速材料（negative-phase velocity materials），回波材料（backward-wave media）等等，以及以其提出者的名字命名的，Veselago 材料。

2.1.2 線性極化波的手性

（Handedness of a circularly polarized wave）

在電氣工程，尤其是對天線工程師而言，“手性”往往與電磁波或無線電波的極化聯絡在一起。極化指的是線性極化（circular polarization）波或橢圓極化（elliptical polarization）波中電場向量的方向或行為，表現為一種偏光性，或手性。

電磁波在各向同性媒質中在一定方向上傳播，假設其為橫電波（

$\bm{\rm{k}} \ · \ \bm{\rm{E}} = 0$

）。沿著波傳播的方向看，場量的旋轉方向不過兩種情況：逆時針或順時針。根據聯邦標準 1037C （Federal Standard 1037C），當從傳輸源出發看向波傳播的方向，若電場隨時間的旋轉（temporal rotation）是順時針的，則定義為右手極化（right-handed polarization）。值得注意的是，右手極化的情況滿足的卻是左手螺旋（left-handed spira）法則，具體可參加下圖。

首先得說這個圖畫得不好。圖中電磁波傳播方向是穿入紙面的，由此判斷此時場量旋轉方向為順時針方向，因此是右手線性極化波。

注意這一規定並不是唯一的。天文學家總是朝著源看，也即是朝著波傳播的相反方向看，這樣得出的結論自然是相反的。但是由上圖可見，無論我們從哪個方向去下定義，場量的空間行為與傳播方向之間總是滿足

左手螺旋

的，這是一個不變的標準。

2.1.3 材料幾何結構的偏光性

（Chirality as geometrical structure of matter）

“手性”也是日常生活中的一個概念。右手的映象在細節上沒有改變，但卻變成了左手。在這個映象操作中，完全保持不變的物體具有“非手性”（non-handed）性質，因為這樣的物體在成像後，可以透過簡單的平移和旋轉與原物體保持一致。

“手性的”（chiral）與偏光性（chirality）是同源的。手性媒質（chiral media）即為可以影響電磁波偏振行為的媒質。這一現象與磁等離子體中的法拉第旋轉（Faraday rotation）類似，但由於偏置磁場（biased magnetic field）的存在，前者是互易（reciprocal）的，而後者是非互易（non-reciprocal）且各向異性的。

“手性”所涉及的景象變換也稱為宇稱變換（parity transformation）。當這一變換髮生時，所有的座標軸都要方向。在亞原子相互作用中宇稱被破壞是物理學的一個基本性質。與之相關的著名研究包括楊振寧與李振道對

宇稱不守恆

的研究，這一研究也獲得了諾貝爾物理學獎。

2.2 左右手性之間的關係

（Equal or discriminative treatment between left and right）

對稱性（symmetry）是分析手性的一個重要概念。對稱性又可看做相關聯的右手性與左手性之間的等價關係。

前一節介紹的三種手性，在這一點上有什麼不同呢？

在極化波的問題上，兩者是完全等價的，只是觀察視角的不同。

在超材料領域，兩者完全不同：正的介電常數與磁導率意味著“右手性”，這也是“自然”材料的一般性質；“左手性”只在全負引數的超材料中出現，這是人工材料才能展現的性質

那麼對於材料的偏光性呢？很有趣的一點是，映象反轉並不會改變物質的化學或物理性質及其他原始性質，其應用特性也沒有變化。如果整個宇宙都瞬間映象反轉了，那麼我們將觀察不到任何物理規律上的變化。

另一方面，當某一手性在某一物理現象中占主導地位時，兩種手性之間就不可以等量齊觀。當所有 DNA 分子都以右手螺旋形式存在，左手螺旋的分子就失去了存在的空間；與之對比，自然氨基酸分子中就全部為左手螺旋。

3 偏光性與負材料引數

（Chirality and Negative Material Parameters）

引數全負的各向同性的左手材料可以以有趣的方式調節電磁波的行為。但是，如果材料結構的手性也參與到了這些材料中，那麼材料的偏光性也會影響電磁波的行為。偏光性會導致電磁耦合與雙折射（birefringence）。如此前述的負折射現象再次就必須進一步推廣。

3.1 雙各向異性與本徵波

（Bi-isotropy and eigenwaves）

連續介質中的手性會導致電磁耦合。換句話說，電場激勵會引起介質中的磁極化，反之亦然。因此本構關係必須被重新定義。

3.1.1 雙各向異性本構關係

（Bi-isotropic constitutive relations）

就本構關係而言，電磁耦合現象意味著除了介電常數

$\varepsilon$

與磁導率

$\mu$

，還需要新增一個表徵手性或偏光性強度的引數

$\kappa$

$\bm{\rm{D}} = \varepsilon \bm{\rm{E}} + (\chi - {\rm{j}} \kappa) \bm{\rm{H}}, \qquad \bm{\rm{B}} = (\chi + {\rm{j}}\kappa)\bm{\rm{E}} + \mu \bm{\rm{H}} \tag{2} \\$

在各向同性介質中，材料引數為標量。在這裡，為了強調磁電耦合，這種關係被稱為雙各向同性，並且由於存在兩個激勵場和兩個響應，因此需要四個材料引數。

第四個引數

$\chi$

被稱為特勒根引數（Tellegen parameter），它能表徵非互易的電磁耦合關係，這種關係可以透過人工（或自然）耦合永久性電和磁力矩來實現。注意上式中虛部

$\rm{j}$

的出現。與由非互易的電磁耦合效應（特勒根效應）相比，它顯示了由於手性效應引起的 90° 相移（螺旋形分佈電荷分離產生的環狀電流與電荷密度的時間導數成正比）。

具有非零非互易引數

$\chi$

的媒質有時被稱為特勒根媒質（Tellegen media），而具有手性性質（非零引數

$\kappa$

）的媒質則被稱為巴斯德媒質（Pasteur media）。

3.1.2 電磁波傳播中的電磁耦合效應

（Effect of magnetoelectric coupling on wave propagation）

與尋常的各向同性材料以及雙負媒質不同，雙各向異性材料具有雙折射（briefringent）的性質：媒質存在兩種本徵波，波數不同：

$k_{\pm} = \omega \left ( \sqrt{\mu \varepsilon-\chi^2} \pm \kappa \right ) \tag{3} \\$

電磁耦合相關的引數

$\chi$

與

$\kappa$

均會影響電磁波的相位。

手性引數的影響在於其分割了折射率引數。這要求進一步審視發生在雙負材料中的回波行為。下圖中左側座標系顯示了各向同性介質分為四類，這取決於

$\varepsilon$

和/或

$\mu$

是正的還是負的，同時只有兩引數同號電磁波的傳播才能發生。雙負媒質中電磁波可以負向傳播。

但是，當非零手性引數存在的時候，具體可見上圖右側座標系（簡單起見特勒根引數

$\chi$

被設為0）。相對介電常數與相對磁導率被設為同號，其乘積的平方根之前的正負號被設為與其本身相同。隨著手性引數

$\kappa$

的變化，本徵波的傳播方向既可同為正，也可同為負，亦可一正一負。一個推論是，為了產生負折射率材料（後向波介質），雙負材料不是必要條件。手徵引數超過

$\mu$

與

$\varepsilon$

乘積的平方根的就足夠了。

因此絕對值足夠小的電磁引數

$\varepsilon$

與

$\mu$

跟手性結合就可以產生有趣的現象。這方面的極端情況是所謂的手徵虛無性（chiral nihility），其中

$\varepsilon,\mu = 0$

，但介質仍然具有非零的手徵引數。非零引數

$\kappa$

將本恆波分為賦值相等、方向相反的兩部分。

即便沒有手性引數的影響，在平面各向同性材料領域，相對介電常數和相對磁導率的較小值仍是研究的熱點。這樣的媒質也被稱為引數近零媒質（zero-index media，ZIM）。這種性質在在諸如光電路等新材料的高頻應用中非常有用。將機械電子學轉換到光學領域，並利用奈米世界中的電路理論的強大功能，這將創造一種新的研究正規化，即元電子學（metactronics）。

3.1.3 非互易性與波的傳播

（Non-reciprocity and wave propagation）

特勒根引數

$\chi$

對波的前向與後向傳播特性的影響不同於手性引數

$\kappa$

。當

$\chi$

的大小超過

$\varepsilon \mu$

的平方根時，波的性質發生了變化：波數里有了一個虛部，並開始衰減。（然而，在這種情況下，可能仍然存在相位變化：如式（3）中波數所示，波矢的實部由

$\kappa$

給出）。然而，同樣在介質的特勒根引數非零的情況下，反向波也是可能的。

反向波介質與雙各向同性材料的四個子類之間的相互關係如下圖所示。

負引數媒質（negative-index media，NIM；指允許平面本徵波反向傳播的介質，相速為負）在所有型別的雙各向同性材料中皆被允許存在，既包括手性與非手性材料，也包括互易與非互易材料。

3.2 光學行為與極化旋轉

（Optical activity and polarization rotation）

巴斯德（Pasteur）發現了微觀結構手性與宏觀極化旋轉之間的關係，這一關係式定性的。為了計算旋轉角度關於手性引數的函式，需要求解式（2）的本構關係下的麥克斯韋方程。本文的主題是手性（handednees or chirality），在給定的手性引數（正或負）下探究波的極化特性（左手波或右手波）是格外有趣的一項研究。

在均勻的手性媒質中的本徵波就是兩種線性極化波：左手波或右手波。假設電磁波沿

軸正方向傳播，則其傳播因子為

${\rm{exp}}(-{\rm{j}} k_{\pm}z)$

，其中

與

分別為右手波與左手波的傳播因子。

電場分量在

平面內旋轉（單位向量為

$\bm{\rm{u}_x}$

與

$\bm{\rm{u}_y}$

），這一物理行為可用復向量寫為

$\begin{cases} {\rm{RCP}}: \ \bm{\rm{u}_x} - {\rm{j}}\bm{\rm{u}_y}; \quad {\rm{exp(-j}} k_+z), \ k_+ = \omega(\sqrt{\mu\varepsilon} + \kappa)\\ \tag{4} {\rm{LCP}}: \ \bm{\rm{u}_x} + {\rm{j}}\bm{\rm{u}_y}; \quad {\rm{exp(-j}} k_-z), \ k_- = \omega(\sqrt{\mu\varepsilon} - \kappa)\\ \end{cases} \\$

如果電磁波在

平面上是

線極化的，那麼這是幅值相等的 RCP （right circularly polarized）波與 LCP （light circularly polarized）波的合成。對於正的手性引數

$\kappa$

，RCP 波的波數比 LCP 波的波數要大，因而其相位變化也更快。結果就是沿

軸正方向傳播一定距離後，電場向量的方向變為

$(\bm{\rm{u}_x} - {\rm{j}} \bm{\rm{u}_y} ){\rm{exp}} (-{\rm{j}} k_+z) + (\bm{\rm{u}_x} + {\rm{j}} \bm{\rm{u}_y} ){\rm{exp}} (-{\rm{j}} k_-z) = \\ 2 \left [ \bm{\rm{u}_x} {\rm{cos}} (\omega \kappa z) - \bm{\rm{u}_y} {\rm{sin}} (\omega \kappa z) \right ] {\rm{exp}}(- {\rm{j}} \omega \sqrt{\mu\varepsilon} z) \tag{5} \\$

可以看出，在

的位置上，場量如預期一樣是

極化的。

值得注意的是，式（5）說明在任意的

點處，電場都是線極化的（場量與相位指數的乘積是實數）。而在橫向

平面中，波的極化面與

的位置有關。隨著場進入手性介質，隨著

的增大，場極化產生出負

分量。這意味著，當一個人沿著傳播方向看去時，極化旋轉方向是逆時針的（手性引數

$\kappa$

為正值）。

這些分析可以用下圖說明，其中手性引數

$\kappa$

為正值，電磁波極化平面以逆時針旋轉。

線性極化波的極化平面在手性材料中的旋轉。此處手性引數是正的。向著電磁波傳播的方向看去，這一旋轉的方向是逆時針的。

電磁波在手性媒質的中傳播時，有有兩種“波長”需要被區分，這可以從式（5）中場的依賴性可以看出。上圖表明，極化平面隨著波的傳播而旋轉，因此經過一段距離（設為

$\lambda_{\rm{pol}}$

）的傳播後，場的極化就會回到初始方向。這段距離即被定義為“極化波長（polarization wavelength）”。由式（5）可知這種情況發生在

$\omega \kappa \lambda_{\rm{pol}} = 2 \pi$

時。

另一個波長是普通的空間波長

$\lambda_{\rm{ph}}$

，它與空間相位

$2\pi$

對應。式（5）給出了波長與相位的關係：

$\omega (\mu\varepsilon)^{1/2} \lambda_{\rm{ph}} = 2\pi$

。

這兩種波長的比值為

$\dfrac{\lambda_{\rm{ph}}}{\lambda_{\rm{pol}}} = \dfrac{\kappa}{\sqrt{\mu \varepsilon}} \tag{6} \\$

這一表達式解釋了手性引數中回波現象的有趣性質。如 3。1。2 節中圖片所示，當手性引數

$\kappa$

大於

$\sqrt{\mu\varepsilon}$

時，兩個本徵波中的一個是反向的。根據式（6），這一情形的臨界即為兩種波長

$\lambda_{\rm{pol}}$

與

$\lambda_{\rm{ph}}$

相等的時候。

3.3 特勒根媒質中反射的旋轉

（Rotation of reflection from Tellegen medium）

另一種電磁效應是非互易性質的特勒根耦合效應，它對電磁波的傳播有一種輔助效果。它並不會影響透射波的極化平面的旋轉方式，而是對反射施加影響。一般而言，反射係數（reflection coefficient ）是由波阻抗（wave impedance）決定的。特勒根媒質就是一種雙阻抗（bi-impedant）媒質，就像手性媒質是雙折射媒質一樣。

普通的各向同性媒質有兩個菲涅爾反射係數（Fresnel reflection coefficient），其一對應平行極化，其二對應垂直極化。然而，電磁耦合媒質相較各向同性媒質更為複雜，其特徵極化（eigenpolarizations）不再是簡單的線性解。其反射特性需要用反射矩陣來描述。

先來研究一個半空間特勒根材料的問題，其電磁引數為

$\varepsilon,\mu$

，非互易引數為

$\chi$

。簡單起見，假設入射波從自由空間（波阻抗為

$\eta_0$

）垂直入射到平面邊界上，如下圖所示。

當一個線性極化波入射到自由空間與特勒根媒質的平面邊界上時發生的反射場的極化平面旋轉。特勒根引數被設為正值，波阻抗被設為大於真空波阻抗。如圖所示，在這種情況下反射場被逆時針旋轉了。改變特勒根引數的正負或使兩個波阻抗之間的大小關係都能使這一旋轉變為順時針。

這一情形下共同極化（co-polarized）與交叉極化（cross-polarized）的反射係數可以寫為如下半空間材料特勒根引數的函式

$R_{\rm{co}} = \dfrac{\eta^2 - \eta_0^2}{\eta^2+\eta_0^2+2\eta\eta_0 {\rm{cos}} \theta}, \quad R_{\rm{cross}} = \dfrac{-2\eta\eta_0 {\rm{sin}} \theta}{\eta^2 + \eta_0^2+2\eta\eta_0 {\rm{cos}} \theta} \\ {\rm{with}} \quad {\rm{sin}} \theta = \dfrac{\chi}{\sqrt{\mu\varepsilon}}, \quad {\rm{cos}}\theta = \sqrt{1-\dfrac{\chi^2}{\mu\varepsilon}}, \quad \eta=\sqrt{\dfrac{\mu}{\varepsilon}} \tag{7} \\$

此時媒質的特勒根特性以一個稍微便利些的引數

$\theta$

描述。它與

$\chi$

有著直接的聯絡。反射問題最特殊的情形——各向同性、互易（對應特勒根引數

$\chi$

為 0：

${\rm{sin}} \theta = 0,{\rm{cos}} \theta = 1$

）的半空間媒質情形下的反射問題可以很容易地從式（7）中匯出：沒有交叉極化反射，同時共同極化反射係數簡化為常見的

$(\eta - \eta_0)/(\eta+\eta_0)$

。

式（7）中非常有趣的一點是交叉極化的方向。一個線性極化波被特勒根媒質反射後，其反射場依然是線性極化的，只是場量方向改變了。旋轉角度同時受媒質阻抗和真空阻抗的影響，尤其是受到特勒根引數的影響。對於高阻抗（high-impedance）（

$\eta > \eta_0$

）的表面，當特勒根引數

$\chi>0$

時，其上的反射波會被逆時針旋轉，反之則被順時針旋轉。由於共同極化的反射係數與

$\eta-\eta_0$

同號，因此低阻抗（low-impedance）（

$\eta < \eta_0$

）表面上的反射特性與高阻抗表面相反。在這種情形下，共同極化反射對應的旋轉就有了一個

$180^{\circ}$

的相位偏移，但是在特勒根引數

$\chi>0$

時，反射波的極化平面依然是順時針旋轉的。

3.4 雙各向異性的推廣

（Generalization to bi-anisotropy）

當各向同性，或雙各向同性（bi-isotropy）的假設被放寬，就需要用更多的維度去描述媒質性質。各向異性意味著作為激勵（excitation）的場或力的方向也會影響響應（response）的幅值（amplitude）。一般會當媒質微觀結構不具有球對稱（spherical symmetry）或立方對稱（cubic symmetry）的結構時才會出現這種情況。一個典型的例子就是由定向針狀結構元件（oriented needle-like elements）組成的材料。

對各項異性媒質，其本構關係中的介電常數與磁導率就不能用式（2）中的標量表示了，而必須用二階張量（dyadic or second-rank tensor）來表示。在三維空間中，一個二階張量可以拓展為

$3\times3$

的矩陣，因此一般情況下的各向異性介電常數就有 9 個自由度，各向異性磁導率也是一樣的。

當各向異性與電磁耦合兩種性質都存在時，所有的四個引數，

$\varepsilon,\mu,\chi,\kappa$

，都需要用張量

（下文均用下劃線來表示張量）

來表徵，如此完全描述材料的性質就需要

$4\times 9=36$

個引數。

雙各向異性媒質是一種非常普遍的線性媒質，四種材料的二階張量共包含36個決定磁電行為的引數。各向異性、雙各向同性和各向同性介質可看作是18、4和2個自由度的各向異性材料的子類。

在方程的層面上，本構關係可以表述為一種六向量形式（six-vector presentation），其中電場和磁場場量之間的關係可寫為如下形式：

$\dbinom{\bm{\rm{D}}}{\bm{\rm{B}}} =\dbinom{\quad \underline{\varepsilon} \qquad \underline{\chi}^{\rm{T}} - {\rm{j} \underline{\kappa}^{\rm{T}} }}{\underline{\chi} + {\rm{j} \underline{\kappa} \qquad \ \ \underline{\mu} }} · \dbinom{\bm{\rm{E}}}{\bm{\rm{H}}} = C · \dbinom{\bm{\rm{E}}}{\bm{\rm{H}}} \tag{8} \\$

上式即為標量表示的雙各向同性材料的本構關係在張量形式下的推廣，其中新定義了一個材料矩陣

。注意注意在材料矩陣

右上方位置的電磁耦合引數的轉置操作，由此互易（

$\kappa$

）和非互易（

$\chi$

）的電磁耦合效應就被分開了。

那麼，上一小節中關於媒質回波特性的討論如何適用於雙各向異性的環境呢？回答這個問題的一個有效工具是材料矩陣

。對於無損媒質（lossless media），矩陣

是厄米特矩陣（Hermitian）（矩陣的共軛轉置等於其自身）。

對於普通的引數為正值的雙各向同性介質，矩陣

的本徵值（eigenvalues）均為正；對於雙負介質，其本徵值均為負；對於一般的雙各向異性材料，矩陣

的確定性（definiteness）特徵決定了其前後向本徵波的特徵。

如果

是正定的（它的六個特徵值都是正數；注意厄米矩陣的特徵值是實數），所有在其中傳播的波都是正向波。在負定矩陣C的情況下，波都是反向的。然而，如果矩陣是不確定的，那麼有以下幾種可能：一些波可能是向前的，一些是向後的，甚至可能一些或所有的波都是倏逝波（evanescent wave），它們不會傳播。

4. 結論

在一個像超材料這樣多學科研究的領域，關於物理現象和物理量的術語和標籤的討論需要仔細加以分析。本文討論了奇偶性（宇稱）、對稱性和手性相關的一些問題。

在電磁學中，“手性”的幾個含義需要分開看待，總體可分為三類：負材料引數和等離激元媒質中的左手材料，線性/橢圓極化波的極化方向，以及材料結構的幾何宇稱破缺（geometrical parity-breaking）。這些分類有助於我們理解和區分超材料中各種物理效應的複雜影響。

左與右之間問題的處理（無論是平等看待，還是將左手現象作為異常）被證明是相當重要的。在雙各向異性媒質電磁學的一般框架中，可以清楚地看到手性的三個方面在表徵超材料的宏觀效應中佔據著不同的位置。

標簽：媒質引數材料極化特勒根

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Metamaterials and Plamonics - Part I (I)

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