多感測器最優資訊融合卡爾曼濾波器

作者：由登高望遠發表于遊戲時間：2019-12-24

摘要：

本文提出了一種新的基於線性最小方差意義的矩陣加權的多感測器最優資訊融合準則，它等效於正態分佈假設下的最大似然融合準則。基於該最優融合準則，針對具有多個感測器和相關噪聲的離散時間線性隨機控制系統，給出了一種具有兩層融合結構的通用多感測器最優資訊融合分散卡爾曼濾波器。第一融合層具有網狀平行結構，以在每個時間步長確定每對無故障感測器之間的交叉協方差。第二融合層是確定最佳融合矩陣權重並獲得最佳融合濾波器的融合中心。與集中濾波器進行比較，結果表明，在所有感測器均無故障的情況下，融合濾波器的計算量減輕了，融合濾波器的精度也比集中濾波器的精度低；但是當某些感測器出現故障時，融合濾波器具有容錯性和魯棒性。此外，融合濾波器的精度高於每個區域性濾波器的精度。將其應用於具有三個感測器的雷達跟蹤系統證明了其有效性。

關鍵詞：多感測器資訊融合；線性最小方差；最大似然;最優資訊融合卡爾曼濾波器；容錯能力；雷達追蹤系統

Multi-sensor optimal information fusion Kalman filter

Shu-LiSun∗，Zi-LiDeng 2004

Department of Automation， Heilongjiang University

黑龍江大學自動化系

1.簡介

資訊融合卡爾曼濾波理論已經被研究並廣泛應用於飛機，輪船，汽車和機器人等機動目標的整合導航系統中。當多個感測器測量同一隨機系統的狀態時，通常我們有兩種不同型別的方法處理測量的感測器資料。第一種方法是集中式過濾器（Willner，Chang，＆Dunn，1976），在該過濾器中，所有測得的感測器資料都被傳送到中央站點進行處理。此方法的優點是它所涉及的資訊丟失最少。但是，由於過濾器過載而導致的資料超出其處理能力，可能導致嚴重的計算開銷。因此，當出現嚴重的資料故障時，整個集中式過濾器可能不可靠或準確性和穩定性較差。第二種方法是分散濾波器，其中來自區域性估計器的資訊可以根據某些資訊融合準則產生全域性最優或次優狀態估計。該方法的優點在於，融合中心的通訊和儲存空間的要求得到了拓寬，並且並行結構將導致輸入資料速率的提高。此外，分散可輕鬆實現故障檢測和隔離。然而，當沒有資料故障時，分散濾波器的精度通常低於集中濾波器的精度。卡爾曼濾波器的各種分散和並行版本及其應用已有報道（Kerr，1987；Hashhmipour，Roy，＆Laub，1988），包括卡爾森的聯合平方根濾波器（1990）。但是在某種程度上，他的濾波器具有保守性，因為它使用過程噪聲方差矩陣的上限而不是過程噪聲方差矩陣本身，並且假定初始估計誤差是不相關的。Roy and Iltis（1991）給出了線性線性系統的分散靜態濾波器，具有相關的測量噪聲。Kim（1994）在正態分佈的假設下，基於具有多個感測器的系統的最大似然意義，給出了一個最佳融合濾波器，並假設過程噪聲與測量噪聲無關。 Saha（1996，1998）討論了穩態融合問題。 Deng和Qi（2000）給出了一個多感測器融合標準，由標量加權。但是，區域性子系統之間的估計誤差不相關的假設與一般情況不符。 Qiang和Harris（2001）討論了兩種測量融合方法的功能等效性，其中第二種方法要求測量矩陣的大小相同。

在本文中，由Kim（1994）提出的在正常密度函式下的最大似然融合準則的結果被重新推導為線上性最小方差意義上由矩陣加權的最優資訊融合準則。基於融合準則，具有容錯性和魯棒性的最優資訊融合分散濾波器可提供具有多個感測器和相關噪聲的離散時變線性隨機控制系統。它具有兩層融合結構。第一融合層具有網狀平行結構，以在每個時間步長確定每對無故障感測器之間的交叉協方差。第二融合層是融合中心，其融合所有區域性子系統的估計和方差，以及來自第一融合層的區域性子系統之間的交叉協方差，以確定最佳矩陣權重併產生最佳融合濾波器。

2.問題公式化

考慮帶有l個感測器的離散時變線性隨機控制系統

其中

$x(t)\in{R^{n}}$

是狀態，

$y_{i}(t)\in{R^{m_i}}$

是測量值，

$u(t)\in{R^{p}}$

是已知的控制輸入，

$w(t)\in{R^{r}},v_{i}(t)\in{R^{m_i}}$

是白噪聲，並且

$\Phi(t),B(t),\Gamma(t),H_i(t)$

是時變矩陣，且維數相容。

在下文中，

表示n×n單位矩陣，0表示具有相容尺寸的零矩陣。

假設1.

和

$v_{i}(t),i=1,2,...,l$

是相關的白噪聲，均值為零，且

其中符號E表示數學期望，上標T表示轉置，

$\delta_{tk}$

是克羅內克脈衝函式。

假設2.

初始狀態

與

和

$v_{i}(t),i=1,2,...,l$

無關，且有

我們的目標是基於測量

來找到狀態

的最優（即線性最小方差）資訊融合卡爾曼濾波

$\hat{x_o}(t|t)$

，它將滿足以下效能：

（a）無偏，即

$E\hat{x_o}(t|t)=E{x}(t)$

；

（b）最優性，即找到最優矩陣權重

$\bar{A_i}(t),i=1,2,...,l$

以最小化融合濾波誤差方差的跡，即tr［Po（t|t）］=min{tr ［P（t|t）］}，其中符號tr表示矩陣的跡，［Po（t|t）］表示具有矩陣權重的最優融合濾波器的方差，P（t|t）表示具有矩陣權重的任意融合濾波器的方差。

3.線性最小方差意義上的最優資訊融合準則

1994年，Kim在標準正態分佈的假設下提供了最大似然融合準則。在這裡，我們將線上性最小方差意義上得出相同的結果，其中避免了正態分佈的限制性假設。為簡單起見，在以下推導中將時間t刪除。

定理1.

令

$\hat{x}_i,i=1,2,...,l$

為n維隨機向量x的無偏估計量。假設估計誤差為

$\tilde{x}_i=x-\hat{x}_i,i=1,2,...,l$

。假設

$\tilde{x}_i$

和

$\tilde{x}_j,(i\ne{j})$

相關，並且方差和交叉協方差矩陣分別由Pii（即Pi）和Pij表示。然後給出具有矩陣權重的最優融合（即線性最小方差）估計

這裡的最優矩陣權重

$\bar{A_i}(t),i=1,2,...,l$

計算為

其中

$\Sigma=(P_{ij}),i,j=1,2,...,l$

是nl×nl對稱正定矩陣，

$\bar{A}=[\bar{A_1},\bar{A_2},...,\bar{A_l}]^{T}$

和

$e=[I_{n},...,I_{n}]^{T}$

都是nl×n矩陣。最優資訊融合估計量的相應方差由下式計算：

我們有結論：

$P_o\leq{P_i},i=1,2,...,l.$

證明：

引入綜合無偏估計量

。。。

推導結論。

4.具有兩層融合結構的最優資訊融合分散卡爾曼濾波器

在假設1和2下，具有多個感測器的系統（1）-（2）的第i個區域性感測器子系統具有區域性最優卡爾曼濾波器（Anderson＆Moore，1979）

這裡

$\begin{equation} \bar{\Phi}_{i}(t)=\Phi(t)-J_{i}(t) H_{i}(t), J_{i}(t)=\Gamma(t) S_{i}(t) R_{i}^{-1}(t) \end{equation}$

。對於第i個感測器子系統，

，

和

分別是濾波和第一步預測誤差方差矩陣，

是濾波增益矩陣，

$\varepsilon_i(t)$

是新息過程。

由於第i個子系統和第j個子系統的濾波誤差是相關的，因此我們有以下定理2。

定理2.

在假設1和2下，第i個感測器子系統和第j個感測器子系統之間的區域性卡爾曼濾波誤差交叉協方差具有以下遞迴形式：

$\begin{equation} \begin{aligned} P_{i j}(t+1 | t+1)=&\left[I_{n}-K_{i}(t+1) H_{i}(t+1)\right] \\ & \times\left\{\bar{\Phi}_{i}(t) P_{i j}(t | t) \bar{\Phi}_{j}^{\mathrm{T}}(t)\right.\\ &+\Gamma(t) Q(t) \Gamma^{\mathrm{T}}(t)-J_{j}(t) R_{j}(t) J_{j}^{\mathrm{T}}(t) \\ &-J_{i}(t) R_{i}(t) J_{i}^{\mathrm{T}}(t)+J_{i}(t) S_{i j}(t) J_{j}^{\mathrm{T}}(t) \\ &+\bar{\Phi}_{i}(t) K_{i}(t)\left[S_{i j}(t) J_{j}^{\mathrm{T}}(t)\right.\\ &\left.-S_{i}^{\mathrm{T}}(t) \Gamma^{\mathrm{T}}(t)\right]+\left[J_{i}(t) S_{i j}(t)\right.\\ &\left.\left.-\Gamma(t) S_{j}(t)\right] K_{j}^{\mathrm{T}}(t) \bar{\Phi}_{j}^{\mathrm{T}}(t)\right\}\\ &\times\left[I_{n}-K_{j}(t+1) H_{j}(t+1)\right]^{\mathrm{T}}\\ &+K_{i}(t+1) S_{i j}(t+1) K_{j}^{\mathrm{T}}(t+1) \end{aligned} \end{equation}（24）$

其中，

$P_{i j}(t| t)，i,j=1,2,...,l(i\ne{j})$

是第i個和第j個感測器子系統之間的卡爾曼濾波誤差交叉協方差矩陣，以及初始值Pij（0 |0）= P0。

證明：

。。。

推論1：

在定理2中，如果Si（t）= 0，Sij（t）= 0，則交叉協方差Pij（t +1 | t +1）可以簡單地由

證明：

。。。

基於定理1和定理2，可以容易得到下面的推論。

推論2：

對於假設1和2下的系統（1）-（2），我們得到最優資訊融合分散式卡爾曼濾波器為

其中，

$\hat{x}_i(t|t),i=1,2,...,l$

由式（17）-（23）計算得到；

$\bar{A_i}(t),i=1,2,...,l$

由式（6）計算得到；

由式（7）計算得到。區域性子系統的濾波誤差方差

和交叉協方差

$P_{ij}(t|t),(i\ne{j})$

分別由式（22）和（24）計算。

證明：

。。。

5.模擬示例—最優融合分散卡爾曼跟蹤濾波器

考慮具有三個感測器的雷達跟蹤系統

其中，T是取樣週期。狀態為

$\begin{equation} x(t)=\left[\begin{array}{ll} {s(t)} , {\dot{s}(t)} , {\ddot{s}(t)]^{T}} \end{array}\right. \end{equation}$

，其中

${s(t)} , {\dot{s}(t)} , {\ddot{s}(t)^{T}}$

分別是目標在時間t的位置，速度和加速度。

$y_{i}(t),i=1,2,3$

是三個感測器的測量訊號，

$v_{i}(t),i=1,2,3$

分別是三個感測器的測量噪聲，它們與均值為零且方差為

$\sigma^2_w$

的高斯白噪聲w（t）相關。係數

$\alpha_i$

是常數標量，而

$\xi_{i}(t),i=1,2,3$

是具有均值為零和方差矩陣

$\sigma^2_{\xi_{i}}$

的高斯白噪聲，並且與w（t）無關。我們的目的是找到最優的資訊融合分散卡爾曼濾波器。

在模擬中，設定

$\begin{equation} T=0.01 ; \sigma_{w}^{2}=1, \sigma_{\xi_{1}}^{2}=5, \sigma_{\xi_{2}}^{2}=8 \end{equation},\sigma_{\xi_{3}}^{2}=10 ;$

$\begin{equation} \alpha_{1}=0.5, \alpha_{2}=0.8, \alpha_{3}=0.4 ; H_{1}=[1,0,0], H_{2}=[0,1,0],H_{3}=[0,0,1], \end{equation}$

初始值

，我們使用300個樣例。

對於每個感測器子系統，分別應用（17）-（23），我們可以獲得區域性最優卡爾曼濾波器

$\hat{x}_i(t|t)$

和相應的方差

$P_{i}(t|t),i=1,2,3$

。在第4節應用兩級融合結構，我們有最優的資訊融合

$\hat{x}_o(t|t)$

和相應的方差

$P_{o}(t|t)$

。為了與集中濾波器進行比較，還計算了集中濾波器的方差

$P_{c}(t|t)$

。我們選擇適當的座標以清楚地顯示它們的差異。從圖2中我們可以看到，最佳融合分散濾波器的精度高於每個區域性濾波器的精度，但是當所有感測器都完好無損時，其精度低於集中濾波器的精度。儘管區域性濾波器1和2的精度較低，但分散式過濾器的精度更高，並且接近集中式過濾器。

為了計算融合濾波器的容錯性和魯棒性，我們假設第一個感測器有故障，以使測量方程式為y1（t）= H1x（t）+ v1（t）+ f（t），其中f（t）滿足

$f(t)= 0.15t (100\leq{t}<200)$

；

$f(t)= 0(t\geq{200})$

。f（t）的值表明，第一個感測器出現故障故障值t=100，並在t = 200時恢復。

應用第4節中的兩層融合結構和WSSR（Willsky，1976）驗證，在圖3中，融合點用虛線表示，集中點用虛線表示，而實際值則用實線表示。從模擬資料可以看出，由於第一個感測器在

$100\leq{t}<200$

時出現故障，因此集中式濾清器會發散。但是分散的過濾器仍然可以跟蹤目標。結果表明，當感測器出現故障時，具有兩層融合結構的資訊融合分散濾波器具有更好的容錯性和魯棒性。

6.結論

對於Kim（1994）提出的標準正態分佈假設下的最大似然融合準則，本文使用拉格朗日乘數法和線性最小方差意義上的新解釋給出了新的推導。基於該融合準則，針對具有多個感測器和相關噪聲的離散時變線性隨機控制系統，給出了具有兩層融合結構的多感測器最優資訊融合分散卡爾曼濾波器。它具有以下屬性：

（i）線性最小方差意義上最優融合準則的新推導避免了正態分佈的假設（Kim，1994）。

（ii）它可以解決帶有多個感測器和相關噪聲的系統的最優融合問題。

（iii）對於具有相關噪聲的系統，給出了第i個感測器子系統和第j個感測器子系統之間的交叉協方差。

（iv）避免保守地使用過程噪聲方差的上限而不是過程噪聲方差本身（Carlson，1990）。

（v）當測量矩陣大小不同時，它可以處理融合問題，從而避免將測量矩陣大小限制為相同大小（Qiang＆Harris，2001）。

（vi）避免了來自融合中心的反饋資訊的交流。

（vii）給出了具有容錯性和魯棒性的兩層融合結構。提出了確定每對感測器之間的交叉協方差的網狀並行結構。

標簽：融合感測器濾波器方差矩陣

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