如何理解實數的連續性？
堂吉訶德2018-07-01 04:44:08看了下大家的回覆，其實叫連續性也沒什麼錯。解決這個問題最完美的戴德金是從幾何原本裡找到的啟示：一條直線，如果把它切斷，注意它化為一根射線和一根直線。而不是兩根直線，這就很能說明分割的原理了。
說愁客2018-07-29 19:37:26實數理論確實是初學微積分的時候比較難的一部分，但是你困惑的這個點比較奇怪，我想你的問題其實是在於把數學語言和日常語言搞混了。
拿這個連續性來說，在日常語言裡可以表示一個接一個接連不斷的意思，也可以表示像水流一樣連綿不斷的意思，具體表達什麼需要看語境。
在數學中，實數在極限運算下是封閉的。這件事情有幾種等價的論述，比如確界原理，區間套定理，有限覆蓋定理等等。具體使用的時候採取哪一個論述取決於要解決的具體問題。因為說法很多，這個概念應用又如此的廣泛，所以就產生了一些通俗的但是不嚴格的說法，比如：實數是連續的。
採取這個說法的時候是運用了自然語言中連續這個詞連綿不斷的那個意思，而不是接連不斷的那個意思。這種俗稱只是為了方便，不能直接從語言意上去理解。所以只要你明白了這個道理應該就不會有這種困惑了。
予一人2020-07-07 17:12:23實數的稠密性，是說任意兩個實數之間總存在第三個實數；實數的完備性，也就是實數的連續性，是說實數是一個連續統，它具有滿足單調有界原理、確界原理、柯西收斂原理等幾個實數基本定理（這些定理是彼此等價的）的那種性質。
為了理解稠密性與完備性的不同，可以比較一下有理數和實數的性質。有理數和實數都具有稠密性，但實數還特別地具有完備性，此外，完備性邏輯上蘊含了稠密性，因此，完備性是比稠密性更強的性質。
形象來講，基於直線上點的連續性公理，實數集可以與直線上的點集建立雙射，即實數與直線上的點一一對應，這就是建立「數軸」的依據。但如果只考慮有理數，那麼有理數（雖然它已經稠密了）仍然填不滿數軸，換言之，這數軸上還存在有待填充的「空隙」，而我們已經知道，那是無理數的位置。
懂億點數學2020-07-07 18:00:18連續性也就是完備性。
以確界存在原理為例，非空有上界的數集必有上確界，如果沒有的話就說明數軸上有一點空出來了，因此，從直觀上看，完備性就是講了實數與數軸可以是一一對應的
實數系的連續性定理可參考下文：
懂億點數學：實數系的連續性定理
2332020-07-08 00:31:58任意兩個實數“中間”的數都是實數
請注意這和
任意兩個有理數“中間”存在一個數是有理數
的區別。
