線性代數的本質07 點積與對偶性

07 點積與對偶性

傳統教學中，“點積”是線性代數課程中很靠前的內容，只需要簡單的向量概念就可以引入。但是深入這個概念，需要從線性變換的角度才能完成。首先介紹點積的基本概念，如果有兩個維數相同的向量，或者說兩個長度相同的陣列，點積就是將向量中的對應元素相乘，然後相加。

例：

；

；

。

點積運算有其幾何解釋。向量

w

朝向量

v

所在的直線上投影，將投影的長度與向量

v

的長度相乘，就得到了二者的點積。

當兩個向量方向大致接近的時候，它的點積是正的，當兩個向量互相垂直時，它的點積為0，當它們的方向相反時，點積為負。

這種解釋是不對稱的，這兩個向量的處理方式完全不同。其實也可以將向量

v

投影到向量

w

的方向上，將

v

投影的長度與

w

的長度相乘，會得到相同的結果。

下面直觀的說一下，為什麼點積與順序無關？

如果向量

v

和

w

長度恰好相同。從

v

向著

w

投影，和從

w

向著

v

投影，所得是相同的。如果將其中一個向量縮放若干倍，比如將向量

v

變成兩倍，這樣對稱性就破壞了。我們求解的是向量2

v

和

w

的點積。從

w

向2

v

投影，或者從2

v

向

w

投影所得，都是

v

點乘

w

的二倍。

另一個關鍵點就是，為什麼座標相乘結果相加，會和投影有所聯絡？給出一個滿意的答案，並正視點積的重要性，需要挖掘更深層次的東西——對偶性。

首先要討論一下多維空間向的一維空間的線性變換。

線性變換需要滿足嚴格的線性性質：

在這裡我們聚焦於一種與之等價的，直觀的幾何屬性。如果空間中有一些等距分佈的點，當透過線性變換壓縮到一維空間——數軸上的時候，這些點仍保持等距分佈。如果等距分佈的點，變換後沒有保持等距分佈，那麼它就不是線性變化，例如：

之前的課程已經討論過線性變換完全由它對基向量的變換所決定。而這一次，這些基向量只落在一個數上。

假設有一個線性變換，將基向量

i

和

j

分別變換之1和-2。跟蹤向量［4，3］在變換之後的結果。

這是1x2矩陣和向量的乘法，但也可以看做是向量點乘。

重新認識一下這種運算，在二維空間中沿著某方向放置一條數軸，數軸的基向量設為

u

。我們將空間中的向量投影到這條直線上，可表明這個操作是線性的，因為它滿足等距分佈的點在投影之後仍是等距分佈。

根據這個投影，我們定義了一個從二維向量到數的線性變換（需要強調的是，儘管這條數軸放置在二維空間中，但是這個變換是一個從二維向量到數的函式，輸出的是一個數，而向量

u

是一個二維向量，只是恰好落在數軸的方向），下一步就是得到其對應的1x2矩陣（投影矩陣），矩陣的列向量應該是向量

i

和

j

經過線性變換後得到的數值。

注意向量

u

和向量

i

都是單位向量，從對稱性可知向量

i

向

u

投影的長度，等於向量

u

在向量

i

方向上的投影長度，而

u

向

i

方向的投影就是

u

的橫座標，也就等於向量

i

在數軸上投影得到的數。同樣的過程也可對

j

進行操作。以此得到投影矩陣的兩個元素就是向量

u

的兩個座標，為

。

空間中任意向量經過此投影變換的結果就是：

。

這就是為什麼單位向量的點積可以解讀為，向量投影到單位向量所在的直線上得到的投影長度。

如果不是單位向量，比如將

u

放大3倍，則座標值也擴大三倍，投影矩陣變為

。任意向量做這個投影變換的結果就是，投影到3u所在直線的投影長度再乘以3，也等於它與3

u

的點積。

任何將空間壓縮到一維空間的線性變換，必然和某個向量

v

相關，應用這個線性變換的結果與和向量

v

作點積是一樣的。

對偶性就是兩個數學事物之間自然而又出乎意料的對應關係，例如一個向量的對偶是由它定義的線性變換，多維空間到一維空間的線性變換對偶是多維空間中的某個特定向量。

點積是理解投影的有力幾何工具，並且方便檢驗兩個向量指向是否相同。

向量可以看作某個特殊的線性變換。