無外力矩的定點運動

作者：由 P Bachelor 發表于舞蹈時間：2021-10-07

主要參考梁昆淼《力學》

在

https：//

zhuanlan。zhihu。com/p/40

2631822

中，我們得到了關於剛體定點轉動的一般方程，但我們並沒有就方程去嘗試給出一個一般解。它的求解在數學上是十分困難的，於是物理學家自然會去考慮其在某些特殊條件下解的特性。本篇介紹的

無外力矩的定點運動

就是其中一種。也被稱為

尤拉-潘索情況（Euler-poinsot）

。其物理模型為

自由陀螺

。

1.物理影象分析

當沒有外力矩時，我們自然會想到其角動量必然是不變的，那麼這是不是說明它的角速度與轉動軸線也是不變的？實際上只有當剛體繞慣量主軸轉動時，轉軸才是固定的。從數學上理解，僅當這種情況，

$L=I\omega$

，L與ω對應的各分量方向是一致的，ω也為定值，轉動軸不變。

2.對稱剛體\自由對稱陀螺（torque-free symmetrical top）

當剛體具有透過定點的對稱軸時，此處的對稱軸不一定只是幾何上的，

對於勻質剛體自然幾何對稱軸就是慣量主軸，但只要主轉動慣量中有兩個或以上相等，其就有動力學意義上的對稱軸。這裡是指動力學對稱

。此時沒有外力矩的定點運動很容易用尤拉動力學方程解出。

該對稱軸必定為慣量主軸，取作

$x_3^{$

軸，在其垂直的平面取兩互相正交的慣量主軸作另外兩軸。由於剛體的對稱性，

，尤拉動力學方程此時化為：

$\left\{ \begin{array}{c} I_{1}\dot \omega_1=(I_2-I_3)\omega_2\omega_3\\ I_{2}\dot \omega_2=(I_1-I_3)\omega_1\omega_3\\ I_{3}\dot \omega_3=0 \end{array} \right.\\$

不難看出

$\omega_3=const$

，這裡不妨記作

$\Omega$

，接著我們讓一式對t作微分，再與二式聯立消去

$\omega_2$

，並利用

可以整理為

$\left. I_1\ddot \omega_1+\frac{(I_3-I_1)^2}{I_1}\omega_1\omega_3^2=0 \right.\\$

為關於

$\omega_1$

的諧振動方程，解為

$\omega_1=A_1cos(\frac{I_3-I_1}{I_1}\omega_3t+\alpha_1)$

，其中

$A_1,\alpha_1$

為引入的積分常數。類似的步驟，我們可以消去

$\omega_1$

解得

$\omega_2=A_2cos(\frac{I_3-I_1}{I_1}\omega_3t+\alpha_2)$

回頭再去看尤拉動力學方程，兩個微分方程卻解出了四個積分常數，其中只有兩個是獨立的。

將兩個解代入到一、二中任意一式即可得

$A_1=A_2,\ \ \ \alpha_1=\alpha_2-\frac\pi {2}$

，

令

$\Omega_r=\frac{I_3-I_1}{I_1}\Omega$

於是方程的解可整理為

$\left\{ \begin{array}{c} \omega_1=Acos(\Omega_r t+\alpha)\\ \omega_2=Asin(\Omega_r t+\alpha)\\ \omega_3=\Omega \end{array} \right.\\$

3.本體極錐與空間極椎

$\omega$

在

$x_3^{$

軸上投影為常數，而在其垂直平面上的投影軌跡為圓軌道。這說明

$\omega$

的大小不改變，指向方向繞著對稱軸旋轉而繪出圓錐，我們稱為本體極錐，其旋轉角速度為

$\Omega_r$

。

那麼我們怎麼去得到剛體運動的實際情況呢，需要將上述解與尤拉運動學方程聯絡起來，用尤拉角來描述，這裡給出結果。

$\left\{ \begin{array}{c} \dot \theta=Acos(\Omega_rt+\psi+\alpha)\\ \dot \varphi=\frac 1 {sin\theta}Asin(\Omega_rt+\psi+\alpha)\\ \dot \psi=\Omega-cot\theta Asin(\Omega_rt+\psi+\alpha) \end{array} \right.\\$

一個非常糟心的結果，但我們可以透過選取座標系進行化簡。這裡我們以L的空間取向為空間座標系的z軸。那麼

$\dot \theta=0$

，這要求

$\psi=\Omega_rt,\ \ \ \alpha=\frac{\pi}{2}$

，於是尤拉角的描述簡化為

$\dot \theta=0,\ \ \ \dot\psi=\Omega_r,\ \ \ \dot\varphi=\frac{I_3\Omega}{I_1cos\theta}\\$

這時我們後知後覺地明白了為什麼要記作

$\Omega_r$

，r表明其正是自轉（rotation）的角速度。而且此時進動速度也為定值。我們把這種章動角不變、自轉和進動勻速的運動形式稱為

規則進動

。

（這種結論也可以直接從拉氏力學出發得到，日後填）

由

$\omega=\dot \psi k^{$

，知

$|\omega|=\sqrt{\dot\psi^2+2\dot\psi\dot\varphi cos\theta+\dot\varphi^2}$

，且

$\omega_z=\dot\psi cos\theta+\dot \varphi$

這樣我們就驗證了角速度的大小不變並且在z軸上投影為定值。

因此，角速度同時在空間中繞著角動量方向（即z軸）描出另一個圓錐，稱為

空間極錐

。

從影象上去繪製出這兩個圓錐，我們會發現有兩種不同的情形，而且

對稱軸、角動量、角速度三者共面。

兩者外切

兩者內切，圖源網路，上同

我們寫出角動量與角速度在慣量主軸系下的分量：

$L=I_1\omega_1i^{$

對三者作混合積有

$L\cdot (\omega\times k^{$

從而驗證了三者共面。

接著我們記

$\omega$

與對稱軸間夾角為

$\gamma$

，三者關係如下圖所示

且滿足以下式子：

$\gamma =\frac{\sqrt{\omega_1^2+\omega_2^2}}{\omega_3}=\frac A{\omega_3},\ \ \ \ tan\theta =\frac{\sqrt{L_1^2+L_2^2}}{L_3}=\frac{I_1A}{I_3\omega_3}\\$