1.1.1質點運動學

作者：由 Twilight Sparkle 發表于體育時間：2020-10-20

1。1。1質點運動學

座標系問題

位置向量：在座標系

$O-\xi\eta\zeta$

中，

$\vec{OO’}$

記為O‘在該系下的位置向量，簡稱位矢，又稱矢徑。位置向量能表示O’在該系下的位置。

自由度：固定座標系中，完全確定一個物件的位置（即確定該物件內任何一個點的位置），共需要n個獨立數值，則稱該物件的自由度為n。

n緯空間：在n維空間中，最多有n個獨立的基底，用n個獨立的基底的線性組合才能完全覆蓋整個空間。

顯然，一個自由的質點，其自由度為3，無論座標系是什麼型別，我們都需要3個獨立數值確定質點的位置。（若限制在平面中，自由度則為2。）

座標系分類（特殊的，自然座標系，這裡暫且不講。）

直角座標系

選取的三個獨立的基底為：

$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$

確定質點位置所需三個獨立值為質點在三個座標軸上的投影點的座標值。位矢也直接用這三個值表示：

$\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$

柱座標系

選取的三個獨立的基底為：

$\mathbf{e_\rho},\mathbf{e_\theta},\mathbf{k}$

位矢

$\mathbf{r}$

在

$O\xi\eta$

平面上的分量記為

$\mathbf{\rho}$

，

$\rho$

與

$\xi$

軸的夾角記為

$\theta$

。

$\mathbf{r}在\zeta軸上的投影記為z$

確定質點位置所需三個獨立值分別為

$\rho ，\theta 和z$

位矢的表示：

$\mathbf{r}=\rho \mathbf{e_\rho}+z\mathbf{k}$

$=\rho\cos\theta\mathbf{i}+\rho\sin\theta\mathbf{j}+z\mathbf{k}$

若在二維空間，則捨棄

$\mathbf{k}$

，成為極座標系

球座標系

選取的三個獨立的基底為：

$\mathbf{e_r},\mathbf{e_\theta},\mathbf{e_\varphi}$

（定義它們的方向分別指向對應座標增加的方向）

$位矢\mathbf{r}的模為r，\mathbf{r}與\zeta軸的夾角記為\theta$

位矢

$\mathbf{r}$

在

$O\xi\eta$

平面上的分量記為

$\mathbf{\rho}$

，

$\rho$

與

$\xi$

軸的夾角記為

$\varphi$

$確定質點位置所需三個獨立參量分別為r,\theta,\varphi$

位矢的表示：

$\mathbf{r}=r\mathbf{e_r}$

$=r\sin\theta\cos\varphi\mathbf{i}+r\sin\theta\sin\varphi\mathbf{j}+r\cos\theta\mathbf{k}$

引入時間後，有速度和加速度的概念

某種座標系中三個確定位置的獨立值，在經典物理學的體系下都是對時間可導的。所以引入了時間這個變數後，就有了速度和加速度的概念

角速度的定義

引入了時間後，同樣有角速度的概念，角速度的大小定義為無限短時間內向量轉過的角度（微小角位移）與這段無限小時間的比值；角速度的方向由右手定則確定。四指指向向量的轉動方向，則大拇指的指向為角速度的方向。

可以證明，微小角位移和角速度都滿足平行四邊形法則，是向量。

用角速度，表示長度恆定向量轉動時的時間變化率

座標系的基底是長度恆定向量，這裡把某長度恆定向量記為

$\mathbf{A}$

，記

為

逆時針轉動90度得到的向量，記A的角位移為

$\varphi$

。那麼下面的公式很容易理解：

$\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{\omega} \times \mathbf{A}=\varphi\mathbf{B}\\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{B}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{\omega} \times \mathbf{B}=-\varphi\mathbf{A}$

透過對時間求導，寫出空間直角座標系，平面極座標系，柱座標系的速度和加速度

空間直角座標系

$\mathbf{v}=\dot{x}\mathbf{i}+\dot{y}\mathbf{j}+\dot{z}\mathbf{k}\\ \mathbf{a}=\ddot{x}\mathbf{i}+\ddot{y}\mathbf{j}+\ddot{z}\mathbf{k}\\$

平面極座標系

$\mathbf{v}=\dot{r}\mathbf{e_r}+r\dot\theta\mathbf{e_\theta}\\ \mathbf{a}=(\ddot r-r\dot\theta^2)\mathbf{e_r}+(r\ddot\theta+2\dot r\dot \theta)\mathbf{e_\theta}$

柱座標系

$\mathbf{v}=\dot{\rho}\mathbf{e_\rho}+\rho\dot\theta\mathbf{e_\theta}+\dot z\mathbf{k}\\ \mathbf{a}=(\ddot\rho-\rho\dot\theta^2)\mathbf{e_\rho}+(\rho\ddot\theta+2\dot \rho\dot \theta)\mathbf{e_\theta}+\ddot z\mathbf{k}$