A-Level 物理專題：霍爾效應

作者：由烤羚羊發表于文化時間：2020-04-23

說起霍爾效應（Hall Effect），學A2物理的熊孩紙們幾乎是聞之色變。作為新大綱中加進電磁學的看似一小塊內容，其實裡面大有文章。今天我們就來談談霍爾效應是咋回事。（以為我會按照 A-Level 大綱講嗎？有氰提示：瞎扯蛋如果沒有超綱超到飛起來那我就不是烤羚羊。。。）

1. 概述

在一個磁場中放置一塊導體，在垂直於磁場的方向上施加一個電流時，載流的帶電粒子會在磁場力作用下發生偏轉，導體橫向兩側的電荷會重新分佈，從而產生一個內部的電場。這個現象便是霍爾效應，由此產生的導體兩端的電勢差通常稱為霍爾電壓（Hall voltage）。

這一現象於1879年由美國科學家

Edwin Hall

發現，由此得名。

2. 原理

下圖展示的是一個典型的霍爾效應示意。

為討論方便起見，我們記磁感應強度（magnetic flux density）恆定為

，方向豎直向上。與磁場垂直的電流大小為

，方向向右。根據左手法則，我們可以判斷出載流子（charge carrier）受到的磁場力會向外作用，於是載流子會偏轉聚集到靠近畫面的導體前側面來。

常見的導體中，參與導電的是自由電子（free electron），它們帶負電。於是導體的前側面會聚集起額外的負電荷，這樣導體內就會產生一個朝著畫面向外（out of plane of the diagram）的內部電場。如果我們在導體前後兩側間接一個電壓表，就可以測得霍爾電壓的讀數。

由於內部電場的產生，後續進入導體的載流子在原先的磁場力作用外，還受到了額外的電場力的作用。注意到同種電荷具有排斥作用，內部電場會阻止電荷源源不斷地聚集下去。

當載流子受到的磁場力和電場力相互抵消時，導體兩側的電荷分佈趨於平衡，內部電場趨於穩定，霍爾電壓將會達到一個恆定值

。

根據上述分析，

穩定的平衡條件即，載流子受到的電場力

與磁場力

大小相等

。

$qE = qvB \\$

式中

代表每個載流子的帶電量，即一個電子的電荷，

代表自由電子定向移動形成電流的遷移速度（drift velocity）。

導體內部電場

可以視作勻強電場，它與霍爾電壓

具有關係

$E = \frac{V_H}{d} \\$

其中

是這塊導體的深度。

由此，我們可以得到霍爾電壓的一個表示式

$V_H = Bvd \\$

在實際測量中，導體內的電荷遷移速度

不容易直接測量，但它和電流大小

密切相關。電流的微觀模型給出關係

$I = nAvq \\$

其中

代表載流子的數密度，即單位體積內自由電子的數量，

表示電流所透過的橫截面積。我們可以利用該式將電荷遷移速度

表示成電流

的形式，代回霍爾電壓的表示式後，我們得到：

$V_H = \frac{BId}{nAq} \\$

注意到橫截面積

，

、

分別代表導體的深度和厚度（見上圖），霍爾電壓最終可以寫成：

$\boxed{ \color{blue}{ V_H = \frac{BI}{ntq} } } \\$

3. 討論

3.1 測量磁場強度

從式中可以看出，給定一種導體，載流子數密度

就確定了。如果控制透過導體的電流

恆定，霍爾電壓

的大小正比於磁場強度

。因此霍爾效應可以用來間接地測量一個未知磁場的強度，這樣的磁場測量器件叫做

霍爾感測器（Hall probe）

。

3.2 最佳化霍爾電壓的測量

若想獲得一個可測的、即數值比較大的霍爾電壓，

在製作霍爾感測器時，核心導體器件的厚度

應當足夠小

，我們應當將其切割得很薄。

另一方面，應當選擇載流子數密度

比較小的材料，即導電性較弱的材料，所以

實際的霍爾感測器中，核心的器件通常會用半導體材料來製作

。

3.3 磁場與電流夾角關係

在先前的討論中，我們為了方便，將導體所處的磁場和施加的電流設定為相互垂直的關係。如果磁場和電流方向成任意夾角，使得載流子偏轉的磁場力取決於磁場的垂直於電流方向的分量。將電流與磁場之間的夾角記作

$\theta$

，則具體的公式可以寫作：

$V_H = \frac{BI}{ntq}\sin\theta \\$

在使用霍爾器件時，轉動感測器會導致霍爾電壓的讀數產生變化

。當電流與待測磁場垂直時，霍爾電壓有最大值；當兩者平行時，霍爾電壓為零。測量時，我們應該嘗試著調整感測器的角度，記錄最大讀數來推算磁場強度的大小。

3.4 霍爾電壓與載流子

同樣為了討論方便，先前我們簡單預設材料中參與導電的是自由移動的電子。但在不同的材料中，參與導電的載流子也可以是其他形式的粒子。金屬中自由電子參與導電，半導體中可以有空穴（hole）參與導電，鹽溶液中可以有離子（ion）參與導電。載流子可能帶正電荷，也可能帶負電荷。在一般的電路中，這對電流、電壓的測量沒有任何影響。但

在霍爾效應中，不同極性的載流子會導致霍爾電壓的不同極性。

因此霍爾效應也經常被用來判斷某種材料中的載流子的性質。

4. 拓展

討論開始前先作個兩個小小的宣告：

為了不引進太多稀奇古怪的新物理量，在這個板塊的討論中我會採取一些比較粗暴的處理，方式會跟主流的方式不太一樣（畢竟本文大多數讀者應該沒見過學術界中主流的玩法，我就不妨欺負下熊孩紙們讀的書少嘍），但是這並不影響接下來會提到的一些定性的結果。

由於樓主遠離學術界好多年，腦袋生鏽，接下來寫的內容是對著以前的筆記、講義，查著 Wikipedia 理出來的。以前就學的時候就一知半解，現在就更不用說。如有錯誤，請輕拍。

4.1 量子霍爾效應

我們可以將霍爾電壓與施加的電流的比值定義為所謂的霍爾電阻。利用之前的結論，對於確定的材料，霍爾電阻的數值應當與磁感應強度成正比。

$\displaystyle R_H \equiv \frac{V_H}{I} = \frac{B}{ntq} \\$

然而

德國科學家 Klaus von Klitzing 在1980年發現，在極端低溫和強磁場的環境中，材料的霍爾電阻會隨著磁場的增強呈現出階梯式上升的變化趨勢！

（如下圖所示）

這些平臺（plateau）對應的數值，可以精確地由下式給出

$\boxed{ R_H = \frac{1}{\nu}\frac{h}{e^2}} \\$

其中

是Planck常數，

是基本電荷單位，而

$\nu$

稱為填充數（filling factor），它的取值是一系列正整數1，2，3，……，對應於圖中的一個個平臺。也就是說，

霍爾電阻呈現出量子化（quantisation）的現象！這個現象叫做量子霍爾效應（Quantum Hall Effect）

。

從經典影象來看，在弱磁場中，電子流過材料時僅僅是發生偏轉。如果磁場足夠強，電子在磁場力作用下的偏轉會非常迅猛，從而團團轉地作圓周運動。**量子理論的框架下這些電子軌道將會是量子化的，即只能取一系列分立的數值（discrete values），每個能級（energy level）可容納的電子數跟磁場的強度有關。磁場很強時，每個能級可以容納大量電子態，材料中所有的自由電子只能填充少數幾個能級，這便是量子霍爾效應的起源。**這些特殊的整數也因此被叫做填充數。

要問量子霍爾效應這玩意有啥用？注意到

上式中出現的物理常數組合

，恰好和電阻具有相同的量綱，於是量子霍爾效應中提供了精確定義電阻標準單位的新方案

。

另一方面，

量子霍爾效應中出現的整數，數學上具有相當好的拓撲不變性。可以證明它們是跟量子態所對應的某種幾何貝里相（Berry phase）相關，這些整數在拓撲學（topology）中被稱作第一類陳省聲示性數（first Chern number）

。樓主當年讀相關的文獻時，就頗有一種『居然還能這樣玩！』的驚歎。

4.2 分數量子霍爾效應

在整數量子霍爾效應被觀測到後不久，分數量子霍爾效應（Fractional Quantum Hall Effect），即填充數取值為分數的平臺效應，也由美籍華裔的物理學家崔琦，德國物理學家 Horst Störmer 等人發現，並且很快就由美國理論物理學家 Robert B. Laughlin 提出了唯象的解釋

。Laughlin 憑藉準確的物理直覺寫下的描述多體相互作用的波函式（wave function），後人尊稱之為 Laughlin 波函式，堪稱是霍爾效應研究中的神來之筆。

儘管物理學家們尚未完全理解分數量子霍爾效應（FQHE）的微觀起源，但是這一現象的重要性已經引起了大批科學工作者的研究興趣。

物理學家們一直相信可以用對稱性（symmetry）來解釋各種物態的重要概念和本質，然而 FQHE 卻難以用對稱性破缺（symmetry breaking）理論來描述，FQHE 態代表了一種含有全新拓撲序（topological order）的新物態，這大大豐富了物理學家們對量子相（quantum phase）和相變的認知，為凝聚態物理的研究打開了一扇新的大門

。回顧2016年新鮮出爐的諾貝爾物理學獎，就頒給了在物質拓撲相變研究領域作出漂亮理論工作的

David J。 Thouless

，

Duncan Haldane

，

Michael Kosterlitz

。

4.3 自旋霍爾效應

霍爾效應的核心在於不同電荷的載流子在磁場的作用下被分離到了兩個相對的表面。在自旋霍爾效應（Spin Hall Effect）中，不同自旋態（spin）的電子會被分離到兩個相對的表面。

打個不恰當的比喻，技藝高超的足球運動員知道，腳內側和外腳背搓出的皮球的弧線是會拐往不同方向的，自旋相反的電子在材料中運動中也彷彿亦是如此。這個現象早在1971年就由俄羅斯物理學家

M。I。 Dyakonov

和

V。I。 Perel

預言，但要直到近30年後才有研究者做出相關的實驗結果。

自旋霍爾效應的神奇之處在於，它甚至不需要外界磁場的幫助。這給了科學家一個不需透過磁場、只通過電流就能控制電子自旋的新思路。

電子形成電流的過程中，很容易經歷隨機碰撞從而耗散能量。利用電子自旋和電流的規律，我們也許能夠指揮電子進行有序的運動，從而減低能耗。自旋霍爾效應有可能會在不久的將來應用到計算機的晶片製造中，設計出下一代的效能更優越的晶片。

近年來，華裔的物理學家

張首晟

和其他一些研究者又進一步提出量子自旋霍爾效應（Quantum Spin Hall Effect），前幾年在新聞報道中看到中科院的

薛其坤

團隊做出了一些非常牛掰的實驗結果。這些東西樓主自己也是屁都不懂，所以實在是編不下去了。。。

推薦閱讀

Hall Effect

https：//

en。wikipedia。org/wiki/H

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Quantum Hall Effect

https：//

en。wikipedia。org/wiki/Q

uantum_Hall_effect

Spin Hall Effect

https：//

en。wikipedia。org/wiki/S

pin_Hall_effect

David Tong‘s Lectures on the Quantum Hall Effect

http：//www。

damtp。cam。ac。uk/user/to

ng/qhe。html

學術文獻

K。 v。 Klitzing； G。 Dorda； M。 Pepper （1980）。 “New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance”， Phys。 Rev。 Lett。 45 （6）： 494–497

R。 B。 Laughlin （1981）。 “Quantized Hall conductivity in two dimensions”， Phys。 Rev。 B。 23 （10）： 5632–5633

R。B。 Laughlin （1983）。 “Anomalous Quantum Hall Effect： An Incompressible Quantum Fluid with Fractionally Charged Excitations”， Physical Review Letters。 50 （18）： 1395

D。 J。 Thouless， M。 Kohmoto， M。 P。 Nightingale， and M。 den Nijs （1982）， “Quantized Hall Conductance in a Two-Dimensional Periodic Potential”。 Physical Review Letters。 49 （6）： 405–408

M。 I。 Dyakonov and V。 I。 Perel，； Perel’ （1971）， “Possibility of orientating electron spins with current”。 Sov。 Phys。 JETP Lett。 13： 467

Y。 Kato； R。 C。 Myers； A。 C。 Gossard； D。 D。 Awschalom （2004）， “Observation of the Spin Hall Effect in Semiconductors”。 Science。 306 （5703）： 1910–1913

B。 Andrei Bernevig and Shou-Cheng Zhang （2006）， “Quantum Spin Hall Effect”， Phys。 Rev。 Lett。 96， 106802

B。 Andrei Bernevig， Taylor L。 Hughes and Shou-Cheng Zhang （2006）， “Quantum Spin Hall Effect and Topological Phase Transition in HgTe Quantum Wells”， Science， 314， 1757

標簽：霍爾 Hall 磁場載流子導體

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