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數學分析 · 函式極限 (2)

作者：由楊樹森發表于動漫時間：2020-08-26

上次介紹了函式極限的定義和一些基本性質，這次進一步說明函式極限的意義，再引入一些有用的概念，它們為正式的微積分內容打下基礎。

Heine 定理

設函式

定義在數集

上，點

$x_0\in D,$

取

上

的空心鄰域

另取

$y_0\in\mathbb R,$

則

$\lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=y_0,$

當且僅當對於任意

上的數列

$\left\{x_n\right\},$

當

$x_n\to x_0$

時

$f\left(x_n\right)\to y_0.$

這個定理說明函式極限問題可以看作是數列極限問題。並且可以對它做很多推廣，包括將

換成單側鄰域，將

換成

$\infty,+\infty,-\infty,$

對應改變

將

換成

$\infty,+\infty,-\infty.$

Cauchy

收斂原理

設函式

定義在數集

上，點

$x_0\in D,$

則存在

$y_0\in\mathbb R,$

使得

$\lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=y_0,$

當且僅當對於任意正數

$\varepsilon,$

存在正數

$\delta,$

使得對於任意

$x_1,x_2\in U^\circ\left(x,\delta\right),$

成立

$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|<\varepsilon.$

形式上這和數列極限的 Cauchy 收斂原理相似，並且它們的意義也相似，就是繞過求出具體的極限值，找到一個對於收斂性的直接描述。可以像推廣 Heine 定理一樣推廣函式極限的 Cauchy 收斂原理。

無窮小量和無窮大量

稱函式

在點

$x_0\in\mathbb R$

處是無窮小量，是指

$\lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=0.$

稱函式

在點

$x_0\in\mathbb R$

處是無窮大量，是指

$\lim_{x\to x_0}f\left(x\right)=\infty.$

類似可以定義正無窮大量和負無窮大量。

無窮小量和無窮大量也可以進行加法和乘法運算。

當函式

在點

$x_0\in\mathbb R$

處是無窮大量時，函式

$g\left(x\right)=1/f\left(x\right)$

在點

處是無窮小量。

因此無窮大量的問題可以轉化為無窮小量的問題。

設

在

$x_0\in\mathbb R$

處是無窮小量，則稱

是

的同階無窮小量，是指存在非零實數

使得

$\lim_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=c,$

特別地，此時稱

是

的等價無窮小量，是指

同設，則稱

是

的高階無窮小量或者

是

的低階無窮小量是指

$\lim_{x\to x_0}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=0.$

標簽：無窮小函式無窮極限 Cauchy

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