如何形象地理解同構？為什麼？同構與等價是什麼關係？

望天衝2022-02-26 01:44:46

嘿嘿，我剛好思考了這個問題。f（xy）=f（x）f（y）的一一對映就是同構啊。這是教材說的。

之所以不好懂，是教材沒有從已知到未知，從熟悉到陌生的引導。直接丟擲個結論了。

一、人和豬的故事

“人”和“豬”，抽象出他們的共同點，推廣定義一種新的包含人和豬的更廣泛意義的物種，就是“動物”。

再抽象推廣一次，加上“樹”，那就是“生物”。

二、四大分配律

a•（x+y）=a•x+a•y，乘法分配律。

現在，函式f（x）=a•x

不考慮具體的函式，抽象出來一般的函式，上面的表示式可以寫成

f（x+y）=f（x）+f（y）

從一般的抽象的函式來推導，會有什麼結論？

❶設z=x+y，消去y可得

f（z）=f（x）+f（z-x）

即

f（y-x）=f（y）-f（x）

❷代數運算，區別於算術運算，它是“類的運算”。

設x=y=0

得f（0）=0

這個函式圖過原點。

❸設x=y，

f（2x）=2f（x）

歸納法得

f（n•x）=n•f（x）

f（n）=n•f（1）

f（x）=f（1）•x

可見，正比例函式f（x）=k•x，始終滿足這個等式

f（x+y）=f（x）+f（y）

即

a•（x+y）=a•x+a•y，這個應該也可以從乘法的定義“加法的打包”來證明。

還有求導數，積分，也滿足這個對於加法的分配律。它們本身就是除法乘法的一般情況。

可見，f（x+y）=f（x）+f（y）這個性質，範圍比正比函式大，是正比函式的推廣，可以退化成正比函式。

冪函式，指數運算，和對數運算，可以抽象出：

f（x•y）=f（x）•f（y），這個是乘方基於乘法的分配律？

f（x+y）=f（x）•f（y）和差化積→f（x•y）=f（x）^y）積化乘方，指數數函式基於乘法的分配律？

f（x•y）=f（x）+f（y）積化和差→f（x^y）=y•f（x）（這個應該要限制取值範圍才成立哦）乘方化積，對數函式基於乘法的分配律？

三、四大分配律，再抽象，把運算子（＋，＊）抽象出來，作為空格，就得到了同構的公式了。

參見我的新書《低階群論（the primary mathematical group）》不過，要在美國亞馬遜才可以搜尋到。中國亞馬遜不可以。