虛數的由來及其現實意義
要追溯虛數出現的軌跡，就要聯絡與它相對實數的出現過程。我們知道，實數是與虛數相對應的，它包括有理數和無理數，也就是說它是實實在在存在的數。
“虛數”這個名詞是17世紀著名數學家、哲學家笛卡爾創制，因為當時的觀念認為這是真實不存在的數字。後來發現虛數可對應平面上的縱軸，與對應平面上橫軸的實數同樣真實。
人們發現即使使用全部的有理數和無理數，也不能解決代數方程的求解問題。像x²+1=0這樣最簡單的二次方程，在實數範圍內沒有解。12世紀的印度大數學家婆什伽羅都認為這個方程是沒有解的。他認為正數的平方是正數，負數的平方也是正數，因此，一個正數的平方根是兩重的；一個正數和一個負數，負數沒有平方根，因此負數不是平方數。這等於不承認方程的負數平方根的存在。
直到19世紀初，高斯系統地使用了j這個符號，並主張用數偶（a、b）來表示a+bj，稱為複數，虛數才逐步得以通行。
虛數闖進數的領域時，人們對它的實際用處一無所知，在實際生活中似乎沒有用複數來表達的量，因此在很長一段時間裡，人們對它產生過種種懷疑和誤解。笛卡爾稱“虛數”的本意就是指它是虛假的；萊布尼茲則認為：“虛數是美妙而奇異的神靈隱蔽所，它幾乎是既存在又不存在的兩棲物。”尤拉儘管在許多地方用了虛數，但又說：“一切形如，√-1，√-2的數學式子都是不可能有的，想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數，我們只能斷言，它們既不是什麼都不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼，它們純屬虛幻。”
繼尤拉之後，挪威測量學家維塞爾提出把複數（a+bj）用平面上的點來表示。後來高斯又提出了複平面的概念，終於使複數有了立足之地，也為複數的應用開闢了道路。現 在，複數一般用來表示向量（有方向的量），這在水利學、地圖學、航空學中的應用十分廣泛，虛數越來越顯示出其豐富的內容。
尤拉公式是什麼？為什麼尤拉公式被稱為世界上最完美的公式？下面我們就一起來了解一下吧。
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尤拉公式
尤拉公式又稱為尤拉定理，也稱為尤拉公式，是用在複分析領域的公式，尤拉公式將三角函式與複數指數函式相關聯，之所以叫作尤拉公式，那是因為尤拉公式是由萊昂哈德·尤拉提出來的，所以用他的名字進行了命名。圖中有一根長度為1 的軸繞著圓圈逆時針旋轉，這個圖就在複平面內透過尤拉公式把實數1和虛數j完美地結合起來了。
那麼，虛數除了這種理論上的意義，實際中有它的應用嗎？有，不但有，而且非常多，也非常重要。
下面舉個例子。
我們知道，對於普通的電阻，
電阻
存在最簡單的伏安關係：
但還有一種電子元件，叫電容：
電容
對於電容，同樣有伏安關係
電容的伏安關係
其中的
就相當於電阻的R。但
其中的j就是虛數，
就是如圖所示
載入在電容元件兩端正弦波電壓u的頻率，C就是電容的大小。
假設
則按照電容的伏安關係可以計算出透過電容的電流為
把電容的電流與電壓對比，可以看出，電容的電流在相位上超前電壓90度。導致這一結果的原因正是因為電容的容抗裡面存在一個虛數j。
因為尤拉公式中
將角度pi/2代入就等於虛數i（j）。再由電容伏安關係的相量形式
由上圖可以看出，虛數 j 的存在，就表示了電容的相位超前電壓90度。
下圖是用示波器實際觀察的電容的電流與電壓的波形圖。圖中明確顯示了電流在相位上超前電壓90度這個事實。
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電容的電流與電壓的波形圖
這個事實說明，虛數 j 雖然無法找到現實中的實際意義，但它卻可以表示相位關係，也確實能解決現實中的問題。
