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什麼數乘以自己等於i?

作者：由深空蠕蟲發表于舞蹈時間：2021-12-04

freeMaths2021-12-04 23:55:51

其實題主的問題實質是

複數範圍內求複數

的平方根

$z^2=\mathrm i=0+\mathrm i=1\cdot\left(\cos\frac {\pi}2+\mathrm i\sin\frac {\pi}2\right),$

由複數開平知

$\begin{align*} z&=\sqrt{1}\left(\cdot\cos\frac{\frac{\pi}2+2k\pi}{2}+\mathrm i\sin\frac{\frac{\pi}2+2k\pi}{2}\right)\\[1em] &=\cos\frac{\frac{\pi}2+2k\pi}{2}+\mathrm i\sin\frac{\frac{\pi}2+2k\pi}{2},\ k=0,\ 1. \end{align*}$

當

$z=\cos\frac{\pi}4+\mathrm i\sin\frac{\pi}4=\frac {\sqrt 2}2+\frac {\sqrt 2}2\mathrm i,$

當

$z=\cos\left(\frac{\pi}4+\pi\right)+\mathrm i\sin\left(\frac{\pi}4+\pi\right)=-\frac {\sqrt 2}2-\frac {\sqrt 2}2\mathrm i.$

有且只有這兩個數（就像實數範圍內

$x^2=9,x=\pm 3$

）

附註：複數開方是利用複數的三角形式定義的，複數

$z=r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$

的

次方根為：

$\sqrt[n]{r}\left(\cos\frac{\theta+2k\pi}{n}+\mathrm i\sin\frac {\theta+2k\pi}{n}\right),k=0,1,2,3,\cdots,n-1.$

當然，也能嘗試出來，

$(1+\mathrm i)^2=1+2\mathrm i-1=2\mathrm i,$

於是

$\mathrm i=\frac {(1+\mathrm i)^2}2=\left(\frac {1+\mathrm i}{\pm\sqrt 2}\right)^2.$

NaN2021-12-05 04:15:40

i是 exp （ pi / 2 + 2k pi ），所以是 exp （ pi / 4 + k pi ）

或者這樣，設a，b是實數，

（a+bi）^ 2 = 0+1i

a^2 - b^2 = 0 推出 a = b 或 a = - b

2ab = 1，因為a，b是實數所以排除a = - b

推出

a = b = sqrt（2）/ 2，

或，

a = b = - sqrt（2）/ 2

nameless2021-12-06 20:09:05

e^（pi*i/4）和e^（5*pi*i/4）

任何一個複數都可以寫成Ae^（Bi），A是長度，B是和x軸的夾角

複數的相乘就是幅度相乘，角度相加

學懂這個就能快速找到x^n=C的n個解

笑笑生2021-12-17 12:51:39

首先，什麼是i

眾所周知，i是一個虛數，是一個乘以自己能夠變成-1的一個數。

其次，什麼叫乘以自己

任何一個數，都可以看成是一個變換，自己乘以自己，就相當於連續進行兩次這種變換。上文提到，i乘以自己能夠得-1。意思就是i經過兩次變換能夠得到-1。

最後，什麼是-1

所有的實數都可以在數軸上表示。如果把-1看做一個變換，可以理解為，這種變換就是把自己逆時針旋轉了180°。比如說5，本來在數軸上好好待著，如果非要乘上一個-1的話，就只能逆時針旋轉180°，變成-5。

搞明白了以上三個問題，我們可以得出以下結論：

i乘以自己，等於-1。換句話說就是，i經過兩次相等的變換，相當於逆時針旋轉180°。再直白一點，i相當於逆時針旋轉90°。如下圖所示：

回到題主的問題，說，哪個數乘以自己為i，姑且設這個數為b，翻譯過來就是：

b代表一種變換，這種變換連續執行兩次（即自己乘以自己），相當於逆時針旋轉90°（即i）。

從幾何的角度來說，b代表的變換那就是逆時針旋轉45°呀，也就是下圖中的藍色箭頭：

圖中藍色箭頭長度為1，因此在實數軸上的投影就為

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

，在虛數軸上的投影也是

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

，所以，b為

$\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$

。

以上，只是提供一個基本思路，同理，還有另外一個答案

$\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$

。題主可以自行嘗試一下。

全文完。

知乎使用者2021-12-18 08:45:19

i=\exp（i\pi/2+2k\pi），k\in Z

i^（0。5）=\exp（i\pi/4+k\pi），k\in Z

=\pm\exp（i\pi/4）

標簽： pi 複數變換乘以逆時針

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