醜陋的應力座標變換

作者：由秋陰散發表于收藏時間：2021-11-14

0、起由

那是一個並不寒冷的秋天的夜晚，我像往常一樣走進“雲想書吧”，要了一杯美式，熱的，不加糖；服務員小姐姐真好看，蘇蘇也在雲想書吧，他讓我給他講一講《材料力學》裡面應力應變旋轉軸那塊知識——另外他說過兩天想問我點線性代數的知識，我滿口答應了。

其實翌日我要考計算流體力學，還有東西要複習複習，但是我打算換換腦子，就給他講了應力旋轉主軸的推導。

其實這塊知識在《複合材料力學》裡面也用到過，只是當時的推導是用矩陣，《材料力學》裡面還是用傳統的表示式（比如封面）。

1、二維小單元體模型建立

考慮如下的情況，我徒手畫個小模型好了：

圖1、徒手畫的醜陋單元體

我們在如圖所示的地方砍一刀，並且對左下角砍下來的小三角形進行受力分析：

圖2、切下來的小三角塊

假設圖中的角度為

$\alpha$

，切面上對應的應力為

$\sigma_\alpha,\tau_\alpha$

，於是我們對這個三角形小單元快進行

方向的受力平衡分析，為了方便起見記斜邊對應的面積為

：

$\begin{aligned} \begin{cases} \sigma_x\cdot A\cos\alpha+\tau_{yx}\cdot A\sin\alpha&=\sigma_\alpha\cdot A\cdot\cos\alpha-\tau_\alpha\cdot A\cdot\sin\alpha\\ \sigma_y\cdot A\sin\alpha+\tau_{xy}\cdot A\cos\alpha&=\sigma_\alpha\cdot A\cdot\sin\alpha+\tau_\alpha\cdot A\cdot\cos\alpha \end{cases} \end{aligned} \tag{1}$

當然其實可以列出矩平衡方程，如果取斜邊中點列，可以得到：

$\tau_{xy}=\tau_{yx}$

，這個是我們已經知道的結論。我們不妨整理上式，並帶入

$\tau_{xy}=\tau_{yx}$

的條件，整理成矩陣的形式：

$\begin{bmatrix} 1&-\tan\alpha\\ \tan\alpha&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_\alpha\\ \tau_\alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&\tan\alpha\\ 0&\tan\alpha&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_x\\ \sigma_y\\ \tau_{xy} \end{bmatrix} \tag{2}$

於是矩陣求逆，可以得到：

$\begin{bmatrix} \sigma_\alpha\\ \tau_\alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos ^2\alpha & \sin ^2\alpha & \sin 2 \alpha \\ -\sin \alpha \cos \alpha & \sin \alpha \cos \alpha & \cos 2 \alpha \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_x\\\sigma_y\\\tau_{xy} \end{bmatrix} \tag{3}$

事實上，在這裡如果我們機靈一點，可以很快得到

$\alpha+90^{\circ}$

的正應力，只需要將

$\alpha$

替換即可，於是我們可以得到：

$\begin{bmatrix} \sigma_\alpha\\ \sigma_{\alpha+90^{\circ}} \\\tau_\alpha \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos ^2\alpha & \sin ^2\alpha & \sin 2 \alpha \\ \sin ^2\alpha & \cos ^2\alpha & -\sin 2 \alpha \\ - \sin \alpha \cos \alpha & \sin \alpha \cos \alpha & \cos 2 \alpha \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_x\\\sigma_y\\\tau_{xy} \end{bmatrix} \tag{4}$

如果我沒記錯，這個就是《複合材料力學》書上要求我們記住的結論，而《材料力學》利用倍角公式把它寫成：

$\begin{aligned} \begin{cases} \sigma_\alpha&=\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha+\tau_{xy}\sin2\alpha\\ \tau_\alpha&=-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha+\tau_{xy}\cos2\alpha \end{cases} \end{aligned}\tag{5}$

當然這裡的公式和書上稍微有點出入，

原因是：

$\tau_{xy}$

假設方向不一樣！這裡需要注意，姑且按我規定的方向來。

其實當時我看了就很疑惑，他媽的怎麼世上有如此醜陋的公式？為什麼是二倍角？我要瘋了？但推導過程沒錯，只好接受背下來。

2、一個直覺

因為正好要給蘇蘇講《線性代數》，那個時候，我想到常用的結論：

$P^{-1}AP=\Lambda\tag{6}$

把一個矩陣對角化——那麼事實上，我們總是把應力應變寫成矩陣的形式：

$\sigma=\begin{bmatrix} \sigma_x&\tau_{xy}\\ \tau_{yx}&\sigma_y \end{bmatrix}\tag{7}$

並且根據材料力學，我們知道小單元體存在一個“主應力方向”，這個方向是，切應力

$\tau_\alpha=0$

，也就是說，理論上這個矩陣應該長這個樣子：

$\sigma_\alpha=\begin{bmatrix} \sigma_1&0\\ 0&\sigma_2 \end{bmatrix}\tag{8}$

理論上這個時候的

$\alpha$

是可以計算的，我們讓（5）式的

$\tau_\alpha=0$

可以得到：

$2\tan\alpha_0=\frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x-\sigma_y}\tag{9}$

此時可以得到主應力方向上：

$\sigma_{\alpha_{0}}=\begin{bmatrix} \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 +\tau_{xy}^2 }&0\\ 0& \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}-\sqrt{ \left(\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\right)^2 +\tau_{xy}^2 } \end{bmatrix}\tag{10}$

於是我在思考，從某一方向的

$\sigma$

方陣，過度到另一個方向上的

$\sigma$

方陣，其實經過了旋轉變換，而它們是不是可以用《線性代數》上“合同”（寫文章時忘了“相似”這個概念，經人指正這裡修改為“相似”，不影響閱讀）的想法來思考呢？我們可以假想存在一個和角度有關的矩陣

，其滿足：

$Q_{\theta}^{-1}\sigma_\theta Q_{\theta} = Q_{\alpha}^{-1}\sigma_\alpha Q_{\alpha} =\begin{bmatrix} \sigma_1&0\\ 0&\sigma_2 \end{bmatrix} \tag{11}$

其中

$\sigma_\theta$

表示

$\theta$

角度下的

$\sigma$

應力矩陣，那麼不難得到：

$\sigma_\theta=(Q_\alpha Q_\theta^{-1})^{-1}\sigma_\alpha(Q_\alpha Q_{\theta}^{-1})\tag{12}$

也就是說，從某一應力狀態

$\sigma$

旋轉到

$\alpha$

角度的

$\sigma_\alpha$

可以用下述的形式進行變換：

$\sigma_\alpha=P^{-1}\sigma P\tag{13}$

而式子（13）理論上應該和（4）等價，也就是：

$\begin{bmatrix} \sigma_\alpha&\tau_\alpha\\ \tau_\alpha&\sigma_{\alpha+90^{\circ}} \end{bmatrix} = P^{-1} \begin{bmatrix} \sigma_x&\tau_{xy}\\ \tau_{yx}&\sigma_y \end{bmatrix} P \tag{14}$

問題來了？這個矩陣

是什麼呢？

很自然的，我猜測這是個二維旋轉矩陣：

$P=\begin{bmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{bmatrix} \tag{15}$

3、驗證

想法和推導很自然，那麼接下來就是痛苦的計算，於是我掏出Mathematica這個學習生活小幫手：

圖3、我愛Mathematica！

於是顯然的我發現了這個事實：

$\begin{aligned} &\begin{bmatrix} \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}+\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha+\tau_{xy}\sin2\alpha& -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha+\tau_{xy}\sin2\alpha\\ -\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\sin2\alpha+\tau_{xy}\sin2\alpha & \frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}-\frac{\sigma_x-\sigma_y}{2}\cos2\alpha-\tau_{xy}\sin2\alpha \end{bmatrix} \\ &=\begin{bmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} \sigma_x&\tau_{xy}\\ \tau_{yx}&\sigma_y \end{bmatrix}\ \begin{bmatrix} \cos\alpha&-\sin\alpha\\ \sin\alpha&\cos\alpha \end{bmatrix} \end{aligned}\tag{16}$