14.Bode's Gain-Phase關係

這段時間一直在抓緊看書學習，後續現控和數控部分也在慢慢地寫。評論裡大家感興趣的問題，我儘量一點點寫吧。非線性控制和最優控制將會是我最後著手的部分，因為它們需要非常紮實的控制基礎，如果你還是個初學者，請好好學習經典控制和狀態空間理論的基礎。

1.幅值與相位的關係

H。W。Bode給出了穩定最小相位系統的頻率特性幅值和相位的關係：

也就是說對於stable minimum-phase system 頻率特性的相位是與幅值唯一相關的。準確地Bode gain-phase theorem是一個關於相位和幅值之間的積分表示式，不過表示式本身並不實用。從準確表示式中我們得到一個近似的推論，卻非常有用：

上式中的n代表的是在對數座標中的斜率。

（6.33）告訴我們一個基本事實：如果頻率特性曲線在該座標上（如Bode Plot）的一個decade內斜率保持為一個常數n，那麼這段曲線對應頻率範圍內的Phase可以估計為n乘以90度。

注意n的取值。它是當頻率每變化一個decade（十倍頻程）時幅值的變化值，變化值也要以decade為單位。在Bode plot中如果頻率增大為10倍，幅值也增大為10倍，則

，反之減小為原來的1/10，則

。如果以分貝為單位，

或者

對應的斜率為

或者

。

我們可以從純積分環節和純微分環節來初步理解這個結論。一個1/s環節在bode plot上的斜率總是

，也就是

，其相位總是-90度，驗證了（6。33）。如果是s環節，則總是90度。更多的積分環節或者微分環節串聯會導致相角的疊加，即與（6。33）的結論是一致的。

下面有一個簡單的例子。

可以看出靠近轉角斜率（圖中為

rad/s）時，相角會發生比較大的變化。在斜率比較穩定的時候，相角基本維持為

和

附近。用（6。33）估計的結果和實際情況是吻合的（第二張Phase圖中可以看出來）。

從這個結論我們又想到，

如果我們讓穿越頻率（幅頻特性的幅值為1或者0dB處的頻率）的曲線斜率為n=-1，這樣我們能保證該頻率所對應的相角為-90度，這時候超前-180度的角度就為

度，即PM約為90度。

但PM太大也不一定好（recall阻尼比與PM在二階系統中的大致關係），所以我們只要保證以穿越頻率為中心的一個decade的頻率範圍內，曲線斜率近似為

（或者

）就行了。

穿越頻率附近的曲線斜率調整為n=-1或-20dB/decade

通常我們能夠透過這種方法讓PM能夠在一個能夠接受的範圍內，然後我們可以把穿越頻率設定在滿足系統響應速度的頻率附近，或者說就是按照bandwidth需求去確定穿越頻率。穿越頻率（crossover frequency），頻寬（bandwidth）

還有自然頻率（natural frequency）

是可以近似相等的。因此穿越頻率的大小也會影響響應的速度。

2.開環Bode Plot曲線的形狀

我們在之前提到過開環Bode Plot的低頻與系統穩態誤差對應相關，高頻部分與噪音抑制對應相關。聯絡本篇中的Bode Gain-Phase關係，我們又對穿越頻率附近的曲線斜率有了一定的要求，即希望在穿越頻率附近的曲線斜率能近似為

或者

。

在下面這個答案中的第二部分有一幅圖形象地展示了各個頻段的要求。這是我第二次引用這個答案，確實寫的很不錯。

3.本篇小節

本篇主要提出了穿越頻率附近的斜率的設計經驗，即保證穿越頻率附近的斜率為-20db/dec，從而能夠保證較合適的PM值，提高系統的穩定裕度同時也兼顧響應速度。

結合之前低頻與高頻段的知識，我們對比較理想的開環Bode Plot形狀應該有了一個完整的認識。

Reference：

［1］ G。F。 Franklin， J。D。 Powell， A。Emami-Naeini， Feedback Control of Dynamic Systems， 7th Edition， 2014， Pearson

［2］ 胡壽松，自動控制原理（第六版），2013，科學出版社