線性代數里商空間，補空間和正交補的聯絡是什麼？

王箏2022-08-26 00:25:36

假設題主已經清楚這三個概念的定義。

先說商空間和補空間。在學習了線性無關向量組的擴張之後，引入補空間是非常自然的。但是補空間有一個缺點，如題主所言，不唯一。說的更加高階一點，補空間的構造不是canonical的。但是，我們知道，對於有限維線性空間，唯一的不變數是維數。只要維數一樣都是同構的。而不同的補空間維數一定相同，從而都是同構的。當然這個同構也不是canonical的。而商空間作為線性空間，維數和補空間的維數也是一樣的。因此也是同構的。大一的時候是兩位老師在開高等代數課，一位講商空間一位沒講。我曾經問過後者為何沒有講商空間，他說在有限維線性空間的範疇內，商空間並沒有補空間多做什麼，需要商空間的地方補空間都能處理，因此沒必要引入這個概念。當然，對於大一新生，商這個概念其實還不是太好理解對吧。但是在其他的代數結構裡面，商空間這個想法就十分十分要緊了，不多說，見到了就自然明白了。

至於正交補，好吧有點想收回最開始的那句話。。正交補和前面兩個概念完全不是在一個範疇裡討論的好吧。。前面的概念都是線上性空間範疇裡討論的，而正交補必須要有內積，也就是在內積空間範疇裡才有的概念。。正交補是唯一的，而且也是canonical的，不多說。。

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補一點商空間的東西。

不同於補空間，商空間本身並不是大空間的子空間，而是一些等價類。

定義不多說，說一下直觀的理解。

以三維為例，我們想商掉xOy平面得到一個商空間，可以這樣看。

考慮所有和xOy平面平行的平面，把每個平面視作一個抽象的元素，然後在這些平面全體上面定義加法和數乘。以加法為例，定義如下圖。

定義合理性，也就是驗證定義出來的和，也就是一個平面，與代表元的選取無關。也就是說，alpha， beta可以在所在的平面跑，但alpha+beta一定落在一個固定的平面上。

這樣子做出來就是商空間。