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矩陣消元

作者：由北牖jovi 發表于書法時間：2020-02-20

前言

1。strang在本節課中說到線性代數的本質是對行和列的矩陣操作

2。中間開了一次彈幕，有一條彈幕說的一個道理很有意思。眾所周知矩陣乘法沒有交換律，這條彈幕說可以把矩陣運算中的乘法理解成路徑，

代表著

到達

的路徑，所以可以理解為是“有向”的（如果您覺得不嚴謹請忽略這句話），所以不能隨意變換順序，沒有交換律。

strang先介紹了消元和回代

有方程組x+2y+z=2 3x+8y+z=12 4y+z=2；strang提到matlab在處理矩陣運算，先不處置增廣矩陣（帶上面2，12，2的矩陣）因而有

$\left[ \begin{array}{lcr} 1 & 12 &1\\3&8&1\\0&4&1\end{array}\right]$

，由於比較簡單我們省略過程，直接得到最後結果為

$\left[ \begin{array}{lcr} 1 & 2&1\\0 &2&-2\\0&0&5\end{array}\right]$

，消元結束。

進行回代，上面的2，12，2變為2，6，-10。在方程中顯示為x+2y+z=2，2y-2z=6，5z=-10，方程就有唯一解了；重點並不在於如何解方程，而是探究什麼時候方程沒有解，顯然如果有一對方程是，假如其中x，y和z係數比例相同，那麼這一對方程表示的平面是平行或者重合的，無法相交。

接下來的內容，大多涉及行變換，我在前言中就講到要明確行和列變換的區別，一定要明白這個問題。

剛才我們透過矩陣變換得到了結果，但現在我們要用矩陣乘法表示這一過程。

$\left[ \begin{array}{lcr} \\\\\\\end{array}\right]$

$\left[ \begin{array}{lcr} 1 & 2&1\\3 &8&1\\0&4&1\end{array}\right]$

=

$\left[ \begin{array}{lcr} 1 & 2&1\\0 &2&-2\\0&4&1\end{array}\right]$

，現在我們要進行填空。

我們從行的角度出發，我們把目光聚焦在第一行。就成了

$\left[ \begin{array}{lcr} x&y&z\end{array}\right]$

$\left[ \begin{array}{lcr} 1&2&1\end{array}\right]$

=

$\left[ \begin{array}{lcr} 1&2&1\end{array}\right]$

，在這裡，xyz代表著旁邊那個矩陣的第一第二第三行，因為第一行沒有變，所以是

$\left[ \begin{array}{lcr} 1&0&0\end{array}\right]$

假如我填的是

$\left[ \begin{array}{lcr} 1&0&1\end{array}\right]$

，那麼結果就是［1 2 1］+［0 4 1］結果為

$\left[ \begin{array}{lcr} 1&6&2\end{array}\right]$

。這個空就是

$\left[ \begin{array}{lcr} 1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

我們日後經常會遇到矩陣的操作，要特別注意結合律和括號的應用。

矩陣置換——行轉置（注意與上一節聯絡）

我們考慮矩陣

$\left[ \begin{array}{lcr} a & b\\c &d\end{array}\right]$

和

$\left[ \begin{array}{lcr} c & d\\a&b\end{array}\right]$

，

$\left[ \begin{array}{lcr} \\\\\end{array}\right]$

$\left[ \begin{array}{lcr} a & b\\c &d\end{array}\right]$

=

$\left[ \begin{array}{lcr} c & d\\a&b\end{array}\right]$

（記住目標矩陣的位置，在左邊）

我們如何得到位置矩陣呢，將目光聚焦在第一行

$\left[ \begin{array}{lcr}\end{array}\right]$

$\left[ \begin{array}{lcr} a&b\end{array}\right]$

=

$\left[ \begin{array}{lcr} c & d\end{array}\right]$

，我們不需要a b，因此第一元為0，但是我們需要c d，第一行就成了

$\left[ \begin{array}{lcr} 0&1\end{array}\right]$

，以此類推，整個目標矩陣就是

$\left[ \begin{array}{lcr} 0 & 1\\1&0\end{array}\right]$

列轉置（這裡是列變換，注意）

現在考慮

$\left[ \begin{array}{lcr} a & b\\c&d\end{array}\right]$

$\left[ \begin{array}{lcr}\\\\\end{array}\right]$

=

$\left[ \begin{array}{lcr} b &a\\d&c\end{array}\right]$

，根據上一篇文章，類比矩陣乘向量，目光聚焦在列，第一列是a，c顯然與等號後面的第一列不符，填0，第二列b，d，符合，填1，目標矩陣第一列為

$\left[ \begin{array}{lcr} 0\\1\end{array}\right]$

，最終的結果為

$\left[ \begin{array}{lcr} 0&1\\1&0\end{array}\right]$

matrix inverse

考慮

$\left[ \begin{array}{lcr} \\\\\end{array}\right]$

$\left[ \begin{array}{lcr} 1&0&0\\-3&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

=

$\left[ \begin{array}{lcr} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

，如何得到目標矩陣？我們看到等號右邊的結果第一行和第三行都沒變，只有第二行變了，因而目標矩陣的第一第三行就有了

$\left[ \begin{array}{lcr} 1&0&0\\?&?&?\\0&0&1\end{array}\right]$

，第二行可以透過3*

[1 0 0]+1

*［-3 1 0］得到，結果為

$\left[ \begin{array}{lcr} 1&0&0\\3&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

，記為E^（-1）

標簽：矩陣第一行我們變換方程

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