李雅普諾夫穩定性分析
穩定性定義
穩定性描述系統收到外界干擾，平衡工作狀態被破壞後，系統偏差調節過程的收斂性
經典控制理論的侷限性
常用代數判據，奈氏判據、對數頻率判據、特徵根判據來判斷線性定常系統的穩定性，用相平面法來判斷二階非線性系統的穩定性。這些穩定性判據無法滿足多變數、非線性、時變為特徵的現代控制系統對穩定性的要求。（勞斯判據、Nyquist判據、Bode圖頻域分析，都是判斷特徵根在複平面上的分佈，不解出特徵方程的特徵根，這種方法僅適用於線性定常系統，不適用於時變系統和非線性系統。）
李雅普諾夫方法的特點
建立了基於狀態空間的穩定性理論，第一方法，間接法，依賴於線性系統微分方程的解來判斷穩定性；第二方法，直接法，構造李雅普諾夫函式來判斷穩定性
不僅描述外部（輸出）穩定性或BIBO穩定，也描述內部（狀態）穩定性。不但能用來分析單變數線性定常系統的穩定性，而且也能用來判別多變數、非線性系統和時變系統的穩定性。
李雅普諾夫穩定性：
系統的李雅普諾夫穩定性指的是系統在平衡狀態下受到擾動時，經過“足夠長”的時間以後，系統恢復到平衡狀態的能力。因此，系統的穩定性是相對系統的平衡狀態而言的。自治系統的靜止狀態就是系統的平衡狀態，平衡狀態的各分量不隨時間而變化，令x‘=0，所求解的x就是平衡狀態。線性定常系統只有一個位於狀態空間原點的平衡狀態，平衡狀態的穩定效能夠表徵整個系統的穩定性。對於具有多個平衡狀態的非線性系統來說，由於各平衡狀態的穩定性一般並不相同，故須逐個加以考慮。
第一法
基本思路利用狀態方程的解的特性來判定系統的穩定性。稱為間接法。適用於線性定常、線性時變及可線性化的非線性系統 。
系統
漸進穩定的充要條件是：系統矩陣A的全部特徵值均位於複平面左半部，即
第二法（常用來解決非線性系統）
基本思路是利用李雅普諾夫函式直接對平衡狀態的穩定性進行判斷，無需求出系統狀態方程的解，稱為直接法。適用於任何系統。
如果系統有一個漸近穩定的平衡狀態，那麼當它運動到平衡狀態的鄰域內時，系統積蓄的能量隨時間的增長而衰減，直到平衡狀態處達到最小值。李雅普諾夫引出了一個虛構的廣義能量函式，它有如下一些基本特徵：
① 能量函式一定是狀態變數x的函式。因為狀態變數x可以對系統的動態行為進行完全描述，因此能量函式也一定是狀態變數x的函式。
②V（x） 是正定的，因為能量總大於0，正定指標量函式
在域S中，對於
及所有非零狀態有
，且
③ V（x）具有連續的一階偏導數。
對於一個給定的系統，如果能找到一個正定的標量函式v（x），直接利用v（x）及其導數的符號特徵判別出平衡狀態處的穩定性，則這標量函式V（x）就稱為李雅普諾夫函式。
至於如何判斷在非零狀態下V（x，t）是否恆為0，可令
，將狀態方程代入，若能匯出非零解，表示對
，
的條件是成立的，若匯出的是全零解，表示只有原點滿足
的條件
，其中P為對稱矩陣，有
，當P矩陣的各順序主子行列式均大於0時，P為正定矩陣，則
正定，若主子行列式含有等於0的情況，則V（x）為半正定
李雅普諾夫第二法定理：
設系統狀態方程為
，其平衡狀態滿足
，把狀態空間原點作為平衡狀態，並設系統在原點鄰域存在
對x的連續的一階偏導數
定理1：若
正定，
負定，則原點是漸近穩定的。
負定表示能量隨時間連續單調地衰減
定理2：若
正定，
負半定，且在非零狀態不恆為0，則原點是漸近穩定的。
負半定表示在非零狀態存在
的情況但在從初態出發的軌跡
上，不存在
的情況，於是系統將繼續執行至原點，狀態軌跡僅是經歷能量不變的狀態，而不會維持在該狀態
定理3：若
正定，
負半定，且在非零狀態恆為0，則原點是李雅普諾夫意義下穩定的。
沿狀態軌跡能維持
，表示系統能維持等2能量水平執行，使系統維持在非零狀態而不執行至原點
定理4：若
正定，
正定，則原點是不穩定的。
正定表示能量函式隨時間增大，故狀態軌跡在原點鄰域發散
線性定常系統判定
線性定常系統
漸進穩定的充分必要條件為：給定正定實對稱矩陣Q，存在正定實對稱矩陣P使
成立
先給定Q矩陣（單位矩陣），再按照上式計算P矩陣並校驗其定號性。當P矩陣正定時，系統漸近穩定；負定時，不穩定；不定時，非漸近穩定
線性定常系統BIBO穩定性
若傳遞函式矩陣的極點全部位於左半複平面，則BIBO穩定
線性定常系統BIBS穩定性
系統矩陣A的特徵值全部位於左半複平面，則BIBS穩定
對於線性定常系統，若系統是漸進穩定的，則必然BIBS和BIBO穩定
若BIBS，則BIBO
若李雅普諾夫意義下穩定，不一定是BIBS和BIBO
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