扒一扒那些叫尤拉的定理們（五）——平面幾何尤拉定理的證明
在前面的文章中，我們介紹了空間幾何內的尤拉定理及其擴充套件，上一篇中又講到了平面幾何尤拉定理，相關內容請戳：
扒一扒那些叫尤拉的定理們（四）——平面幾何尤拉定理美學鑑賞
扒一扒那些叫尤拉的定理們（三）——簡單多面體尤拉定理的抽象形式
扒一扒那些叫尤拉的定理們（二）——簡單多面體尤拉定理的證明
扒一扒那些叫尤拉的定理們（一）——基本介紹和簡單多面體尤拉定理
今天我們接著上一講的內容，來看看平面幾何尤拉定理的證明過程，以及其中的數學智慧。
平面幾何尤拉定理的思路分析與證明
平面幾何尤拉定理
如下圖所示，三角形外心與內心的距離d可表示為：d ^ 2 = R（R - 2r），其中R為外接圓半徑，r為內切圓半徑。
圖1 平面幾何尤拉定理圖
設三角形為ABC，外心為O，內心為I，其R和r代表的長度如圖所示。
內心和外心別看畫上去是兩個孤零零的點，其實一旦做出輔助線來有著眾多的相等邊和角的關係。因為本身就是作了角平分線、中垂線來的，這些都是潛在被抹掉的輔助線，根據需要隨時恢復。比如我們這裡至少要連線AI，並延長到與圓弧相交於L，內心給出了相等角，並且在外心對應的外接圓上轉化成了相鄰邊。至於O，到ABC距離都相等，到時候再看，不過至少我們IO = d這根線得連上。
有了這些基本的輔助線以後，我們不妨來看下結論的形式，我們知道，除了勾股定理，射影定理，平面幾何定理中是不會出現平方這樣的形式的，除非是面積，或者由某對有公共邊的相似三角形的比例關係轉化而來，又或是黃金分割。而在尤拉定理這個公式裡，等式右邊其實是R ^ 2 - 2Rr。這麼寫是因為R - 2r這個是在是不好湊，2r倒是可以是任意一條內切圓直徑，但是和R對應的線段毫無關係。
寫開以後我們可以發現等式兩邊都有平方，移項之後可以自然地使用平方差公式。（這裡就暫時別聯想什麼勾股定理了，因為即使湊出來了直角三角形，剩下那個平方項還是要另外處理。）於是待證明定理等價於：
（R + d）（R - d） = 2Rr
R + d不就是IO延長到與外接圓O相交於Q的IQ，R - d不就是OI延長到與外接圓O相交於P的IP麼？於是，定理直接轉化為：
IP * IQ = 2R * r
這已經很像一個證明了三角形相似以後把比例換成乘積的形式了，不過，仔細考察這些線段，哪怕r，R，2r，2R可以靈活選擇，也找不到他們組成三角形的辦法。還得繼續觀察轉化，還真又發現了奧秘：
其中IP和IQ是弦的分割的乘積，在圓上透過相交弦定理隨便就可以轉化走，有：
IP * IQ = IA * IL
於是只需要證明
IA * IL = 2R * r
作ID垂直AB於D，ID即為內切圓半徑r，IA和r對應的ID組成了三角形AID，只剩下2R和IL沒有著落。
這時還有兩個線索，一個是確定2R使用哪條直徑，另一個是去找可能和AID相似的三角形。
於是，我們可以看到角DAI = 角BAL，且是個外接圓O的圓周角。再找到一個圓周角就有相等角，然後透過直徑對應的圓周角也是直角的那個三角形就一定與之相似了！
直徑在哪呢？得從B和L中的一點出，事實是隨便哪個都行，這裡我們連線LO並延長與外接圓O交於M，於是我們有三角形AID相似於三角形MLB，於是有：
IA * BL = ID * ML，其中，ML = 2R
於是，再度比較此式子和結論的差異，我們只需要證明一點，就要大功告成了：
BL = IL
如果思路都正確，推導也無誤的話，最後畫龍點睛這一步就不難了。BL和IL同處在一個三角形裡，自然轉化為證明等腰三角形的底角相等即可：
角LBI = 角LIB
這時候，內心的作用終於體現出來了，很早作的AL輔助線也其作用了，再加上三角形外角等於另外兩內角和的公式，我們需要證明：
角LBC + 角CBI = 角IBA + 角IAB
而角LBC = 角LAB = 角IAB，角CBI = 角IBA
於是此結論成立，原命題得證。
平面幾何尤拉定理的思考收穫
其實我本來寫上面這個部分只是想提示出大體的思路框架，再由正向的方式來推導結果，但寫著寫著就發現基本上已經把證明寫完了。這種分析式的證明方法本身也是有效的，直接作為答卷寫都可以，其思路是不斷應用一些結論來化簡待證明的結論，得到其在這些已知條件或結論下的等價形式，直到這個等價形式變得十分簡單和顯然，或本身就是像0 = 0這樣的恆等式為止。
這種思維本質上就是個化歸的過程，只不過這比純數學歸納法要難得多，因為那裡只是問題規模的歸約，而這裡，問題化簡的方向是不一定的，甚至形式上變簡單的式子可能是錯誤的化歸方向，無法得到結論，有時候甚至還有化歸到更復雜的問題上去才能得以解決。中間可能需要不斷地試錯，經驗，理論的各種彙集才能解決問題。這就像一個等價問題的棧一樣，不斷把原問題在用上新的條件和性質以後的等效問題壓入棧中，直到最後一個問題被解決，那出棧過程便是自動的了，也沒必要再寫一遍了。而且，順著寫的思路，反而抹去了思考分析過程，體現不出化歸的思路來，就學習而言，這種形式的證明更能體現證明的想法和過程。當然，我們也要有能力自己把它轉化成一步步證明一個個正確的結論到慢慢複雜化到需要問題的能力，只不過，這並不是真的思維過程，而是思維結果。真的思維過程，應該都是逆向的，即，從要的結果出發，匯出原因來。
我從今天的視角來看，它的思考過程就如上面證明尤拉定理的這個過程一樣，是個不斷嘗試，轉化，再嘗試，再轉化，直到結論變得顯然地這樣一個化歸的過程。最後這個思維鏈條可以自動地退棧，以證明最開始的結論。這種思考問題的方法的定型我想平面幾何證明的訓練佔了比較大的貢獻，感謝尤拉等一眾數學家們提供的寶貴的數學財富，在我的少年時代滋養培育著我。
這麼多年過去了，之前做的那一大疊一大疊的包括平面幾何在內的數學題，奧數題，思維題也忘得差不多了，大多數人以後也不會直接從事這個行業。但是之前留下的思維習慣，比如轉化，嚴謹，分類，一一對應，不變數，都像模子一樣地刻在了心裡，在每日每夜應對長大了以後的各種問題的時候，都散發著他們潛在的力量，一輩子地厚積薄發。
有時候，愛數學的人會有一個毛病，因為思維太過於抽象，導致對真實發生的，具體事物的規律和實踐反而不夠重視，導致鬧很多笑話，比如分不清甜甜圈和茶杯這種。而有數學思維那是一種能力，能夠立馬像臨床醫生一樣救命，像小學老師一樣搞定哭鬧的孩子，又是另一種能力，一種在錯綜複雜的實際狀況面前解決實際問題的能力。我們可以不擅長，但不能有短板和缺陷。
好了，平面幾何尤拉定理證明相關內容就說到這裡。
在我總結整理尤拉定理相關的內容時候，就發現了很多旁的內容，就像走在叢林中，除了想到達目的地，四周也到處是可以挖掘的寶藏。尤其是網際網路的存在，世界就在我眼前，有心人都能得到他想要的。
比如我在寫平面幾何尤拉定理這個部分的時候，偶然又發現了尤拉線（真是要吐了，哪哪都是你）的概念和相關的九點圓的定理，這些內容我也依稀記得之前有接觸過，再看起來也是倍感親切。尤拉定理的證明我相信你還沒看過癮（其實是我還沒寫過癮），接下來的文章，我們會繼續介紹一下尤拉線定理以及九點圓定理的內容和給出證明和思考，敬請期待。
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