三相座標變換的實質與原則
座標變換又分為恆幅值和恆功率變換，恆幅值指的是變換後幅值不變，恆功率變換後功率保持不變。座標變換的實質等效（投影）原則。
三相電機向量控制座標變換
假定：三相電壓向量瞬時值表式如下：
靜止座標系
參考座標不動的座標系，簡單的說，就是以ABC中其中一個為基準，另外兩個變為與之垂直的分量。這種變換又可以成為3-2變換，即將三相變為兩相。
這裡以A軸為基準軸，變換後， 與A軸相同， 等效於BC軸向量合成。這裡以三相電網向量變換舉例，進行模擬如下：
第一幅圖三相電壓，黃色為A，紫色為B，綠色為C
第二幅圖黃色為 （與A完全重合），紫色為 （為BC的向量合成）
需要說明：等幅度轉換轉換矩陣的係數為
； 而等功率轉換轉換矩陣係數
等功率變換系數推導
如果三相向量為Y接，且無中線，則三相向量和為0，則上面變換的係數第三行為0；
同理：兩相靜止座標轉換到三相靜止座標
三相靜止座標系下對稱的電壓向量合成相應的電壓向量，隨著時間的變化該向量逆時針旋轉且幅值不變。（三相電壓向量的極座標形式。）
三相對稱電壓向量的合成向量
ABC是固定的三相座標系，這裡是按照逆時針模式，ABC三個座標軸上的量在時間上差了120，且A軸上的量超前B軸上的量超前C軸上的量，正弦量隨著時間的變化，合成向量也在不斷變換。這裡的座標系起源於電機的定轉子位置。
上式各相電壓表示空間座標系三個軸上的瞬時值，由尤拉公式：
則a，b，c三相座標系合成矢量表達式如下：
上面最後式子相當於一個在實軸上，一個在虛軸上
則有：
Valpha，Vbeta即為兩相靜止座標系下的分量，對應座標系如下圖所示：
將三相電壓代入經過運算可得：
Valpha超前於Vbeta90度，兩者幅值相等。但幅值為原來三相的電壓的3/2倍，
若採用
等幅值變換
，那麼需要對原矢量表達式再乘以2/3，來抵消掉前面的3/2，如下所示：
那麼此時得到的新的alpha軸，beta軸分量的表示式如下
再將三相電壓代入可得：
經過等幅值變換後的合成向量的幅值為：
經過等幅值變換後合成向量的幅值就是原來給定三相電壓的幅值，這樣變化前後，三相座標系和兩相靜止座標系上的正弦量幅值均相等，式1。8就是等幅值變化的方程，寫成矩陣的形式如下：
Clarke變換
其中最後一行均為1/2，是因為它包含了不對稱三相正弦量的情況：
對於三相三線制電路是流不出零序分量的，三相四線制電路時，當三相電壓不對稱時，中線會透過零序分量，如果ua，ub，uc，為不對稱的三相正弦量，那麼它們的幅值不同，但角度還是相差120度的，當幅值不相等式，即ua，ub，uc，不對稱時，那麼總存在三相對稱電壓：ua’ ub’ uc’，使得：
由對稱三相電的性質得：
可得：
然後提取2/3後，由變化後幅值相等就變成了上面矩陣那一行的1/2了。U0為零軸電流分量，如果電壓本來對稱的話，它的值為0。因為我們主要研究的是三相對稱電路，所以u0不必過度糾結，如果不對稱的話往往用正負序分離的方法解決，這也不會用到U0。所以最後一行係數不必過度糾結。
上面的座標系是a軸與alpha軸重合的情況，這是我們常用的情況，但有些書上是按照alpha軸滯後於a軸90度來推導的
首先這樣的座標軸如下：
上式推導的結果重寫如下：
這個式子是和alpha beta軸的位置無關的，因為它是在三相座標系下得到的結果，他只是將最後得到的量對映到了對應的座標軸上。如果對應到上面的座標軸上，beta軸上的量是原來的Valpha， 現在的alpha軸在下面，那麼它上面的量就相當於，原來的-Vbeta，因為之前的beta軸就在現在的alpha方向上，但是方向相反，所以加個負號。那麼這樣變化後的兩靜止座標系上的分量就變為：
依然是alpha分量超前於beta軸分量90度。但是此時beta軸上的量為原來a軸的量，這也很好理解，因為beta軸和a軸重合嘛。
這樣座標變換矩陣就如下所示：
等功率變換
：
由上面可知，經過運算後三相座標系上的正弦量，變換成兩相座標系上的正弦量如下 ：
如果設三相電壓與電流的夾角為 theta，那麼變換到兩相座標系後電壓電流的夾角依然不變，
則三相平均有功功率可表示為
除以根號2代表有效值，×3代表三相，cos theta代表有功功率
兩相有功功率可表示為：
1/2是兩個根號2相乘，3/2是變換成兩相靜止座標系所帶的係數
假設原來變換時，乘以個係數k，使得前後功率相等，則有：
解得：
則最終的變換為：
寫成矩陣的形式如下：
我們通常用到的主要是alpha軸和beta軸上的量，透過上面對比，除最後一行零序分量外，等功率變換和等幅值變換隻是相差了個係數問題。
Park變換
，旋轉變換，由兩相靜止座標系到兩相旋轉座標系上的轉化，旋轉角度與三相正弦量的角度一致。從a軸開始，以wt的角速度旋轉，這樣合成的電壓向量會和座標軸同步旋轉，所以座標軸上的分量就是直流量了，這樣就把三相交流量轉化成了兩相直流量，方便我們用比例積分去控制。
先分析
d軸起始位置與a軸重合的情況：基於cos的park變換
座標系如下：
透過座標分解可得：
將clarke變換的公式代入上式就可以得到abc到dq0的座標變換矩陣，以等幅值為例，如下：
如果d軸起始位置滯後於a軸90度：基於sin的park變換
座標系如下，注意，旋轉角度依然從A軸開始旋轉，q軸為參考軸：
透過座標分解可得：
寫成矩陣的形式為：
將clarke變換的公式代入上式就可以得到abc到dq0的座標變換矩陣，以等幅值為例：
現在進行歸一化處理，給定電壓幅值為1的正弦量，分別用sin cos的形式表示
然後分別將兩者代入上式：
將
cos形式電壓
的代入
a軸與d軸起始位置重合
的情況：
電壓表達式也用了角速度ωt、dq軸也按角速度ωt進行旋轉，說明合成向量是和dq座標系的d軸重合
可以得到：Vd==1， Vq == 0； 此時d是主控軸， 給定cos訊號時使得d軸分量為1，所以是基於cos型的座標系。
同理：將
cos的形式
代入
d初始時滯後a軸90度
的情況得：
將
sin的形式
代入
d初始時與a軸重合
的情況得：
將
sin的形式
代入
d初始時滯後a軸90度
的情況得：
我們習慣把d軸當做主軸來控制，就是透過變換後最好讓d軸分量為1，所以當系統所使用的電壓為cos形式時，那麼用a軸與d軸重合的形式比較方便，此時d軸為1，對應simulink中的Rotating frame aligned with A axis at t = 0模式；如果系統使用的三相為sin的形式，那麼使用d初始時刻滯後於a軸90度時比較方便，此時d軸為1，對應simulink中的Rotating frame aligned 90 degrees behind A axis模式；上面的結果也正對應了simulink 模組help中的一段話
如果經常模擬的話會發現，我們通常都是用它預設的Rotating frame aligned 90 degrees behind A axis模式，這也是因為我們給定的通常都是sin的形式，這樣直接把d軸作為主軸控制就不會有問題。
clarke變換公式
：
park變換（以等幅值變換為例）
d軸起始位置與A軸重合：
d軸起始位置滯後於A軸90度：
相量法基礎知識鋪墊
相位超前或滯後的判斷
1。座標軸上在左邊的是超前，在右邊是滯後
2。函式式sin（ω+φ）為超前 sin（ω-φ）為滯後
將三相座標系上的三相電在Im Re座標軸上表示所需要的基本知識
clark變換與Park變換的推導
兩種旋轉變換
1。 三相abc到兩相靜止DQ變換（Clark）
如圖中ABC三相位置為互差120°，幅值相等；
DQ座標系下，D軸與A軸重合，Q軸滯後D軸90°；
圖中V代表通用向量，他可以分解到ABC座標系下，也可以分解到DQ座標系下；
假設V與A軸的夾角為θ；
接下來利用在兩個座標系下 不變的原理列公式(等效投影）
在DQ座標系下，有：
VD=Vcosθ；
VQ=-Vsinθ。
在ABC座標下，將V分別投影到ABC軸上，可得到：
Va=Vcosθ=VD；
Vb=Vcos（120°-θ）；
Vc=-Vcos（60°-θ）。
轉換成矩陣形式為
則：
2. 三相abc到兩相旋轉dq變換(Park)
兩相旋轉座標系dq以角頻率w逆時針旋轉，q軸常表示有功分量，d軸常表示無功分量，d軸滯後q軸90°。
圖中ABC表示ABC三相座標系，
dq表示dq座標系，
V是通用向量，可分解在ABC和dq座標系下，
V與A軸的夾角為θ，q軸與A軸的夾角為φ。
定義零軸分量
在dq座標系下
在ABC座標系下
（這裡與Clark變換中的公式並不衝突，因為，兩者相等。這樣寫是為接下來的變換更便於觀察）
根據數學公式，有
將這兩個式子帶入dq座標系方程，可得
整理成矩陣形式就是
變換矩陣的逆矩陣為
另外，對於Park的推到還可以從Clark變換進行DQ到dq的變換。
