終於搞清楚了！一面兩銷和一面兩孔的浮動計算（一）

在做結構設計的時候，設計者往往會採用一面兩銷配上一面兩孔，這是一種非常常見的定位結構，它能夠有效限制零件的6個自由度。

而為了追求更高的定位精度和更低的經濟成本，一個圓孔（主定位部分）加上一個長腰孔（副定位部分），在現在的定位結構中更容易被工程師們採用，它也能有效限制零件的6個自由度。比如下圖：

圖1 一面兩銷和一面兩孔

圖1中，黃色底板用一面兩銷，而灰色的上板就是一面，一圓孔加一個長腰孔。這種結構在零件相互之間裝配定位，或者在鈑金件的焊接定位工裝上經常被採用（比如汽車的副車架定位）。

動畫1 上板和底板的定位

當工程師在設計這種“一面兩銷和一面兩孔”時，為了方便裝配操作，往往會在銷孔之間留有少量的間隙δ，比如下圖：

圖2 銷孔之間留有小間隙δ

就是因為這個不得不留的小間隙δ的存在，會給裝配件之間的定位精度帶來負面影響。比如，會讓圖1中的上板相對於底板發生隨機的“浮動”，見下面動畫：

動畫2 兩零件間的隨機浮動

我們先假定圖1中，兩個零件定位好後，會被點焊固定。那麼動畫2中的隨機浮動，無法被還原和復位，它對裝配是有害的。

因為，它會讓底板的3個安裝孔，上板的3個安裝孔，相互之間會發生“錯位”的現象，導致兩個零件的安裝孔相互之間的“公共有效空間”會變小。

動畫3 安裝孔的運動軌跡

圖3 變小的有效空間

見圖3，紅色的3個圓，就是在發生孔銷浮動後，留下的空芯空間，這個空間才是可以用來穿螺栓或銷子的“有效空間”。

不管怎樣，就是因為孔銷浮動，導致實際有用的有效空間（圖3中紅色的圓）比過孔自身的直徑還要小。

所以，當孔銷浮動發生後，工程師們更加關心的是，有效空間是多少？或者說，上板安裝孔的中心相對於底板安裝孔的中心偏了多少（工藝工程師們更加關心這個）？

本篇文章我們就一起來探討這個問題。還是老套路，本期文章將分3個章節：

1。 孔銷浮動的現象

2。 孔銷浮動的數學模型

3。 孔銷浮動的具體應用

因為篇幅較長，本期文章我們只放送前面兩章，最後一個章節我們下一期放送。

本期文章參考了國外學者撰寫的相關論文，可能數學味道比較重，大家要有思想準備。但是，我們會結合大量動畫和圖例，儘量把其中的關係給大家講清楚。

另外，本期文章主要集中探討純粹的孔銷浮動，形位公差先不討論。所以本期文章的假設前提是，每個零件都是剛性理想的。（最終形位公差帶來的影響一定要討論，下一期文章我們會討論如何嵌入形位公差來綜合分析）

在開始討論之前，我們首先要在裝配圖中建立兩個座標系（見圖4）。一個座標系是XYZ（藍色）是建立在黃色底板上，因為底板是不動的，所以我們把XYZ叫母座標系（或全域性座標系），另外一個座標系是xyz（紅色）， 是建立在灰色的上板上的，叫子座標系（或者區域性座標系）。見下圖：

圖4 兩個座標系

圖4中的兩個座標系，我們後邊會用到（因為零件比較薄，我們會主要用到2維的座標系XOY和xoy）。

注意，本篇文章對研究基準偏移來說非常重要，對定位精度的研究也非常重要，希望在您耐心看文字期文章後，對您有所啟發。

1.

孔銷浮動的現象

本章節我們先來直觀的認識一下孔銷浮動。

圖5 銷孔單邊間隙是0。5

見圖5，我們先假定主副定位銷孔之間的單邊間隙都是0。5，這樣上板和下板之間就會發生隨機的孔銷浮動。

孔銷浮動主要來源於兩個，一個是來自於主定位部分的孔銷浮動，一個是來自於副定位部分的孔銷浮動。

當然，其他特徵（比如3個安裝孔）會因為定位部分的孔銷浮動，被動地“浮動”。

我們一個一個來感受。

1）主定位部分的孔銷浮動

主定位部分的孔銷浮動比較簡單，就是一個圓孔相對於一個圓銷的隨機浮動。

動畫4 主定位孔相對於主定位銷的浮動

動畫4中，黃色的底板不動，上板在浮動。如果我們仔細觀察上板主定位孔的中心，就會發現，該圓孔中心的浮動範圍其實是在一個小圓內，這個小圓的半徑就是單邊間隙δ。

在極限的位置，就相當於主定位孔的中心，可以在一個小圓的圓周上游走。剛剛提到過，這個小圓的的半徑就是單邊間隙δ，也就是0。5。

動畫5 主定位孔中心的極限運動軌跡

2）副定位部分的孔銷浮動

副定位部分的主要功能是約束零件旋轉的自由度，如果銷孔之間有間隙存在，那麼副定位孔相對於副定位銷，就會有“旋轉的浮動”，當然不是純粹的旋轉，還夾雜有平移，因為主定位孔在平移，必然會影響到副定位孔。

動畫6 副定位孔中心的運動軌跡

如動畫6中顯示，副定位孔中心的運動軌跡的形狀，相對複雜一些，其形狀接近於一個“矩形”。具體見圖6：

圖6 副定位孔中心的運動軌跡

下一章節，我們會具體研究它的數學軌跡。

3）安裝孔的浮動

因為定位部分的浮動，導致整個零件都在“抖動”。所以，3個安裝孔，也在被動的抖動，我們來觀察一下它的運動軌跡。

動畫7 安裝孔的運動軌跡

安裝孔的運動軌跡會更復雜一些，總體看來有點類似一個“平行四邊形”，而且處於不同位置的安裝孔，它的運動區域形狀都不一樣。

大家先來感受一下安裝過孔的活動區域，見圖7，後邊我們會詳細解釋區域的來源。

圖7 處於不同位置安裝孔的運動軌跡

2.

孔銷浮動的數學模型

我們從上一個章節直觀的感受了孔銷浮動的現象。可是，如果要把它量化，就必須要把它的數學關係給它理清楚。

這個過程稍微有點痛苦，但肯定有價值。請大家跟著我的思路慢慢把它的數學關係給它理理清爽。

我們分析的整體思路是，先分析主定位孔的浮動，然後是副定位孔的浮動，最後是安裝孔的浮動。

1）主定位孔的運動軌跡

我們現在已經知道主定位孔的運動軌跡，其實是一個圓形的區域。

圖8 主定位孔的運動軌跡

圖8顯示的是主定位結構中的銷孔結構，以及主定位孔中心運動的極限軌跡，直徑為2δ的圓。

圖9 主定位孔中心B的浮動區域

圖9顯示的是主定位孔中心B的活動範圍，要注意的是，主定位孔中心B的運動軌跡不僅僅是圓周，還包括在圓以內的區域。它是一個直徑為2δ的圓形區域。

我們接下來就來研究，B點和底板主定位銷中心O之間的關係。

圖10 B點座標

見圖10，我們先以主定位銷的中心O點建立一個座標系XOY， 再設定兩個隨機的引數，一個是BO的距離r， 另外一個BO連線和X軸的夾角θ（利用極座標處理表方便）。

這兩個獨立的隨機引數r和θ決定了B點在圓以內的隨機位置。

顯然，根據圖10，我們知道r和θ的變化範圍，r的變化範圍在0-δ之間，而θ的範圍是在0-2π之間。於是，我們就很容易得出B點在XOY座標系中的

座標軌跡

：

公式（1）中，因為r和θ是兩個獨立的變數，同時也是隨機的，所以會導致B點的座標xB和yB也是隨機的，而且，B點肯定會在圖10中綠色的圓以內。

2）副定位孔的運動軌跡

根據圖11中的裝配圖中所示，我們設副定位孔和主定位孔之間的距離是L（一個已知的值），而且副定位孔和副定位銷之間的間隙也是同樣δ（0。5），見圖11。

圖11 裝配圖

如圖11所示，我們先假設，副定位孔（長腰孔）的中心為C，它相對於黃色的底板，在上下方向（Y方向）上的浮動量為λ，不難得出結論，那麼λ的變化範圍是（-δ，+δ）。具體見圖12，動畫8和圖13。

圖12 單邊間隙是δ

動畫8 副定位孔上下浮動

圖13 副定位孔上下浮動量λ

根據圖12，動畫8，圖13中的分析，我們不難得出C點的Y方向座標為：

當然，λ也是一個獨立的隨機變數。

接下來，我們來求C點的X座標xc。

實際上，副定位孔的運動軌跡稍顯複雜，它會受到主定位孔浮動的影響， 它的運動不僅牽涉平移，還有旋轉，是一個“複合”的浮動，見動畫9。

動畫9 副定位孔的複合浮動

經過動畫9中顯示的兩種合成的複合運動後，我們再來分析副定位孔中心C的軌跡。

見動畫10，圖14，我們先做一些輔助線，簡化後，再來分析裡邊簡單的數學關係。

動畫10 圖形簡化處理處理

圖14 副定位孔中心的座標

見圖14中的幾何關係，顯然BVC是一個直角三角形，我們不難得出h：

再結合公式（1）和公式（2），我寫在下邊：

可以得出：

根據圖14，h是直角三角形的直邊， L是斜邊，根據三角函式，我們就可以輕鬆算出圖14中的旋轉角度α：

請大家留意這個旋轉夾角α，它很重要，我們後邊還要反覆用到。

有了旋轉夾角α，我們就可以求出圖14中的BV長度：

然後我們就可以輕易得出，圖14中的C的X座標：

再結合公式（1）和公式（4），我們可以進一步將公式（5）整理成：

於是我們便整理得出副定位孔中心C，

最終軌跡

：

其中，公式（6）的α是由下面公式獲得：

公式（6）表達了副定位孔中心C的軌跡，推導的過程痛苦了一點，但是結果相對簡單。實際上，C點的軌跡由3個獨立的隨機變數構成，一個是來自主定位孔的兩個引數，r和θ，另外一個是來自副定位孔的浮動量λ。

3）安裝過孔中心的軌跡

這個才是我們的重點。

我們知道了主定位孔中心B的軌跡，副定位孔中心C的軌跡，再來推導幾個安裝過孔的軌跡及相對容易了。

為了方便說明，我們先在上板建立子座標系（這裡只討論平面座標系）。我們把座標原點建在B點，BC的連線作為x軸，這樣零件的子座標系xoy就建立了，見圖15。

圖15 上板和子座標系xoy

圖15中，我們把理論尺寸也標上去，因為這裡不討論零件自身的製造誤差，所以我們就可以輕鬆得出3個安裝過孔在子座標系xoy中的具體座標，比如說G孔中的座標就是就是（33，11），寫成代數形式：

注意，當零件加工好後，每個特徵在子座標系裡邊裡的理論座標是固定不變的。

而我們更加關心的是，在經歷孔銷浮動的震盪後，G孔相對於黃色底板的具體位置，或者說G孔在母座標系裡的具體座標是多少呢？

在前面分析C點的軌跡時，動畫9顯示了兩個零件的相對浮動狀況，我們在動畫9的基礎上，將母座標系XOY和子座標系xoy給它建立起來。

動畫11 子母座標系的建立

圖16 子母座標系

如果大家仔細觀察圖16中的兩個座標系，我們會發現兩個特點：

1）我們知道子座標系的原點B，在母座標系中的座標（xB，yB）；

2）我們還知道子座標系相對於母座標系旋轉的相對夾角α；

知道這兩個條件，我們就可以利用旋轉加平移實現座標變換了（如果對座標變換不理解的小夥伴，建議看本文最後連結的文章《基準偏移7，座標變換》）。

為了方便大家理解，我把座標變換公式再一次寫在這裡，簡要做一下說明：

圖17 座標系變換公式

現在我們要計算圖16中，G孔中心相對於底板（母座標系）的具體位置，就可以直接套用圖17中的公式。我們設G點在母座標系中的座標為（xG’，yG’）， 則有下面關係：

稍作整理得：

如果不嫌麻煩，我們再將公式（7）展開成方程組的形式，最終便得到了安裝孔中心G的

座標軌跡

：

公式（8）中的一些引數，受到下麵條件的限制：

公式（8）是我們推導到現在得到的結論。

公式（8）看起來牛逼，苦逼的樣子，但是，仔細觀察，會發現xG和yG是已知的，在本案例中就是（33，11），其餘的說穿了就3個獨立的變數，r， θ，λ，而且3個變數的範圍我們已經很清楚，所以，根據公式（8），我們就能夠確定上板G孔中心，相對於下板可能的運動軌跡了。

根據蒙特卡洛的思路（如果您對所謂的蒙特卡洛法也感到懵逼，看本期文章後邊的連結文章），我們用軟體（甚至Excel），隨機產生3種引數r， θ，λ（在各自允許的範圍內），產生引數的個數看心情，儘量多吧（建議大於500個），然後再帶入公式8，就可以計算出G點在母座標系中的座標（xG’， yG’）。

因為輸入了500套隨機引數r，θ，λ，我們就可以得到500個G點的隨機座標（xG’，yG’）。這樣我們就可以觀察，在孔銷浮動過程中，安裝過孔中心G的軌跡。

軟體的操作過程，這裡不再贅述，大家直接看結果吧：

動畫12 安裝過孔中心G的軌跡

大家如果仔細觀察動畫12中，安裝過孔中心的軌跡，就會發現，在孔銷浮動時，安裝過孔中心所經歷的區域類似一個“平行四邊形”的區域。

而且，安裝過孔的位置不同，經歷的區域形狀也是不一樣。

日本學者Shinya SUZUKI 和Noboru WAKAYAMA把針對不同座標位置的過孔中心，所經歷的區域都描述出來，我就將他們的圖直接放在下邊，供您觀賞：

圖18 安裝過孔中心軌跡

仔細觀察圖18中的圖形，我們會發現距離主副定位孔越遠的地方，過孔中心浮動的範圍就越大。見圖19中最右上角紅圈處的那個誇張的圖形。

圖19 不同位置特徵的浮動軌跡

而距離主副定位孔（尤其是主定位孔）越近的地方，過孔中心浮動的範圍相對偏小（但是最小的也比主定位孔中心浮動的圓形區域要大）。見圖19中綠圈部分的區域。

很多定位結構中，有經驗的設計工程師在設計定位銷，或者定位孔的時候，會故意把定位特徵之間的距離拉得很開。

您，現在理解其中的原因了嗎？

到這裡，我們還不能停下，我們還需要對安裝過孔的軌跡進行放大研究。

圖20 安裝過孔中心的軌跡

圖20顯示的是，在孔銷浮動的過程中，安裝過孔中心點的浮動範圍（圖中灰色區域，擷取的是文獻原圖），它是一個類平行四邊形區域。

保守的工程師們更加關心的是，安裝過孔中心的浮動範圍，x方向浮動的最大範圍xrange是多少？y方向浮動的最大範圍yrange是多少？

對於機加工，或焊接來說，這就是定位誤差；對於基準偏移來說，這個就是補償量（以後在詳細討論這個話題）。

圖20中的xrang和yrang，我們利用公式（8）是可以推匯出來的。因為整個推導過程比較複雜，還需要利用偏導和近似處理之類的數學知識，整個過程我就不再這裡囉嗦了，我們還是直接享用專家們的學術成果吧：

上式中：

1）X，Y表示安裝過孔在子座標系（基於圓孔和長腰孔建立的座標系）中的理論座標；

2）δ表示定位孔和定位銷之間的單邊間隙（主副定位特徵間隙都是δ）；

3）L表示長腰孔中心（副定位孔）到圓孔中心（主定位孔）的距離；

4）θ的值由公式θ=arctan（Y/L）得到，它也是產生極值的條件。

根據圖20中圖形的對稱特性，我們把安裝過孔中心處理成X方向和Y方向的線性尺寸：

公式（10）中，

1） x，y表示安裝孔的中心，因為孔銷浮動，在母座標系中，在X方向和Y方向的實際座標範圍；

2） X，Y表示安裝孔中心在子座標系中的理論座標；

3） xrange，yrange則如公式（9）中表達的，安裝孔中心因為孔銷浮動的變化範圍。

這樣，如果我們要計算一維的尺寸鏈，就可以套用公式（10）了。

好了，本期的文章先到這裡，希望本期文章對您有所幫助。

下一期文章，我們再來探討基於本期文章所提供理論基礎的實際應用。

本期小結

本期文章的主要內容，是研究一面兩銷配一面兩孔（其中一孔是長腰孔）的定位結構中的孔銷浮動，以及孔銷浮動帶來的影響。

第1章節描述了定位特徵之間的間隙存在，會導致孔銷浮動的產生，孔銷浮動會在主定位特徵之間，副定位特徵之間都有產生，從而導致整個零件相對另外一個零件都在不斷的“浮動”。

第2章節我們從數學的角度出發，探討了主定位孔浮動的數學軌跡，副定位孔浮動的數學軌跡，還有其他特徵被動浮動的數學軌跡，為我們後期做公差分析奠定了理論基礎。

【

後記

】

在我過去的設計和顧問諮詢經歷中，經常會遇到孔銷浮動的問題，搞清楚孔銷浮動，尤其是多個孔銷浮動的數學關係一直是我的想法。雖然VSA，3DCS等公差分析軟體會給我們一個準確的結果，但是卻沒法搞明白其中的緣由。

直到有一天我看到日本長野大學（Nagano College）的學者Shinya SUZUKI 和他的合作者在2019年發表的關於孔銷配合的論文，論文中詳細描述了孔銷浮動的數學關係。而且這位仁兄，不僅僅研究了圓銷對長腰孔的數學關係，還那研究了圓銷對圓孔，菱形銷對圓孔的數學關係，對我啟發很大。

所以，需要申明的是，本期文章的理論原型並非我個人原創，我只是傳播者。

當然，還需要說明的是，上面的理論並非完美，還有很多問題亟待解決：

1。 既然其它特徵的被動運動軌跡是一個類平行四邊形區域，一般極值點會發生在4個角上，但是如果我想知道特定方向的變化範圍，如何求得？比如圖21中，我想知道N方向的極值點A，如何求呢？因為我們在分析輪廓的時候（比如縫隙，面差，均勻度），實際輪廓的法向很有可能並非X向，也非Y向， 而是某個特殊的方向。

圖21 特定方向的極值

2。 上述理論求得的x，y的變化範圍是基於極值理論，而對於現實生產設計指導意義最大的還是基於機率統計，如何結合機率統計來分析呢？這也是一個需要解決的問題。

最後，要感謝我的學生，江蘇理工學院在讀研究生湯麗媛的協助，她幫我篩選和下載了不少論文，為我提供了有效的學術參考。

如果您對本文有任何不同的看法，或者建議，歡迎在留言區給我們留言！

參考文獻：

Shinya SUZUKI and NoboruWAKAYAMA，設計工學681，Japan Societyfor Design Engineering，2019

Shinya SUZUKIa， Tohru KANADA，16th CIRP Conference on Computer Aided Tolerancing，ScienceDirect， 2020

同濟大學數學系 高等數學第七版上下冊 高等教育出版社 2008

于靖軍 劉辛軍 丁希侖 機器人機構學的數學基礎 機械工業出版社 2018

關注微信公眾號“德輝學堂”，一直都在進步哦！

覺得文章不錯？歡迎轉發朋友圈，不想轉發？點贊，點在看也行啊！

覺得文章很爛？請留言，歡迎磚頭扔過來！

鄭重申明，為了方便知識傳播，歡迎其它自媒體轉發本公眾號文章，但必須保留作者姓名和出處，且不能用於任何商業用途，否則視為侵權！

相關文章連結：

基準偏移系列（7）- 座標變換

初識蒙特卡洛法在尺寸鏈中的應用