[自動控制原理] 4 - 根軌跡法分析與設計系統

作者：由 NGC13009 發表于文化時間：2021-12-19

0。引言

這是一篇講述自動控制原理中的根軌跡分析的數學原理的文章。

接上文

本章將會講述根軌跡的概念，手工繪製與計算機繪製根軌跡的方式。同時介紹一點根軌跡的實用價值的例子。最後給幾個例題。

“根”就是root，軌跡這裡是“locus”這個單詞。所以根軌跡分析是“root locus analysis”。這兩個單詞大概記一下總是有好處的。

本章不需要太多或者特色的數理基礎。只需要掌握基本的複變函式知識即可。包括複數的加減乘除。尤其需要注意的是複數相乘是“模長相乘，輻角相加”這個概念。

$z_1\cdot z_2=|z_1||z_2|\angle (\angle z_1+\angle z_2)\\$

1。數理基礎

1。1。一種計算多項式乘法的方法

對於兩個多項式，例如

$\phi(x)=a_1+b_1x+c_1x^2+d_1x^3+\cdots\\ \lambda(x)=a_2+b_2x+c_2x^2+d_2x^3+\cdots\\$

將其係數提取出來構成兩個行向量

$\phi=[a_1\space b_1\space c_1d_1\space \cdots]\\ \lambda=[a_2\space b_2\space c_2\space d_2\space \cdots]\\$

那麼

$\eta=\phi*\lambda =conv(\phi,\lambda)\\$

這個行向量是

$\eta(x)=\phi(x)\times\lambda(x)\\$

的係數矩陣。即係數行向量的卷積相當於將兩個多項式相乘。

結論是顯然的，這裡不證。

這裡講述這個概念是為了寫程式的時候好寫一點。

2。根軌跡的概念

2。1。概念

對一個系統，進行時域分析往往是困難的。所以我們人類發明了拉普拉斯變換用來在頻域（s域）分析系統的特徵。然後根據訊號與系統和前面的知識，我們知道s域中的系統函式零點和極點對分析系統具有非常大的價值。但是系統不是一成不變的，我們有時候希望研究變化的系統，當一個引數變化後系統會怎麼變化，或者為了設計，矯正系統，需要研究怎樣去設計和矯正系統。為了實現這個目標，自然地想到，我們可以研究當系統函式中某個參量變化時系統的s域零極點是如何變化的。所以根軌跡法相當於研究當系統函式某一個常數變化時，系統的特徵根的變化。從而得出系統當前的狀態如何。

首先我們已經知道：

閉環系統的極點決定系統的穩定性。（靜態效能）

閉環系統的極點主導系統的動態效能。（動態效能）

所以閉環系統的根軌跡的

定義

是：利用圖解方法，確定當開環傳遞函式的某一個引數（通常為開環增益）變化時，閉環系統的極點在複平面上變化的軌跡。

閉環系統的根軌跡分析法由W。R。Evans在1948年提出。

比如針對一個單位負反饋閉環系統，

其開環傳遞函式為

$G=\frac{K(s+0.5)}{(s+1)(s+2)(s+3)}\\$

那麼系統傳遞函式是

$H=\frac{C}{R}=\frac{G}{1+G}\\$

特徵根是

$\Delta=1+G\\$

當

$\Delta=0$

時，閉環傳遞函數出現極點。而此時的

是

$\Delta$

的根。

當

從

$0\rightarrow+\infty$

變化時，這些個“根”將在s域上劃出很多個軌跡。如下

注意x和y軸不是相同刻度的

這就是根軌跡。根軌跡就這。

2。2。根軌跡的用處

透過上面的例子，可以發現，根軌跡法可以很清晰的展示系統的動態效能和穩態效能。通過當前的根的位置，可以看出來系統是否穩定（所有根是否都在負半平面）以及系統的響應情況（欠阻尼還是過阻尼，響應時間等）。

上面MATLAB已經繪出了這個系統的根軌跡。可以看到當

時，系統是過阻尼的。

這裡我們一般使用被稱為

根軌跡方程

的表示。它的樣子如下

$G(s)=K_g\frac{\prod_{i=1}^{m}(s-z_i)}{\prod_{j=1}^{m}(s-p_j)}\\$

這個形式的好處是可以一目瞭然的看出來開環傳遞函式的零極點分佈。可以注意到

並不會影響開環傳遞函式的零極點位置。但是他會影響閉環傳遞函式的零極點位置。

另一種形式被稱為

開環傳遞方程

，就是這個樣子的那個方程

$G(s)=K\frac{\prod_{i=1}^{m}(\tau_i s+1)}{\prod_{j=1}^{m}(T_js+1)}\\$

這個寫法可以快速看出來系統的動態特性。兩個方程其實是等價的。兩個K差一個常數，提取因子可以互相轉化。

2。3。根軌跡方程

為了找到閉環傳遞函式的極點，我們需要找到特徵式

$\Delta$

的根。因為

$\Delta=1+G$

，所以自然的，就變成了求解方程

了。寫開就是

$\begin{align} &\color{black}{|G|\angle G=-1}\\ &\color{green}{|G|=1}\\ &\color{red}{\angle G=\pm\pi+2k\pi},\space k\in Z \end{align}\\$

其中綠色部分成為

幅值條件,

紅色部分稱為

相角條件

。

幅值條件表示所有的根，帶入開環傳遞函式中後，函式的模必須是1。

相角條件表示，所有開環零點到根軌跡上任一點的向量的相角之和減去所有開環極點到該點的向量的相角之和等於180度的奇數倍。

繪製根軌跡時，只需使用相角條件。當需要確定根軌跡上某一點對應的 Kg 值時，才使用幅值條件。

3。根軌跡繪製基本準則

根軌跡繪製的基本準則：根據閉環特徵方程自身的性質，及其與開環零極點、開環可變引數之間的關係，總結根軌跡滿足的規律，以便快速畫出根軌跡的大致形狀和變化趨勢。

應該善於利用幅值條件和相角條件。

$\begin{aligned} &\color{green}{K_{g} \frac{\prod_{i=1}^{m}\left|\left(s+z_{i}\right)\right|}{\prod_{j=1}^{n}\left|\left(s+p_{j}\right)\right|}=1} \\ &\color{red}{\sum_{i=1}^{m} \angle\left(s+z_{i}\right)-\sum_{j=1}^{n} \angle\left(s+p_{j}\right)=\pm(2 k+1) \pi, \quad k=0,1,2 \ldots} \end{aligned}\\$

3。1。根軌跡是連續的，而且除了極少的點之外是光滑的

閉環系統特徵方程的某些係數是關於 Kg 的連續函式。當 Kg 從 0 → ∞ 連續變化時，特徵方程的根連續變化，那麼根軌跡是連續曲線。

3。2。根軌跡是繞Re軸對稱的

根軌跡的特徵方程的係數一般均為實數，其根必為實根或共軛復根，這意味著根軌跡位於實軸上或關於實軸對稱。

3。3。根軌跡的數目等於極點的數目

n 階特徵方程有 n 個根。當 Kg 從 0 → ∞ 連續變化時，n 個根在複平面內連續變化，組成 n 支根軌跡；即根軌跡支數等於系統階數。

注意是系統階數，不是系統型別數目。

3。4。根軌跡起始於極點，終止於零點

有時候無窮遠點也是一個m階零點。

$\frac{K_{g} \prod_{i=1}^{m}\left(s+z_{i}\right)}{\prod_{j=1}^{n}\left(s+p_{j}\right)}=-1 \quad \ \rightarrow \quad \frac{\prod_{j=1}^{n}\left(s+p_{j}\right)}{\prod_{i=1}^{m}\left(s+z_{i}\right)}=-K_{g}\\$

當

時，只有

$s=-p_j\space,\space j\in [1,n]$

時，上式才成立。因此n支根軌跡分別起始於n個開環極點。

$\frac{K_{g} \prod_{i=1}^{m}\left(s+z_{i}\right)}{\prod_{j=1}^{n}\left(s+p_{j}\right)}=-1 \quad \ \rightarrow \quad \frac{\prod_{j=1}^{n}\left(s+z_{i}\right)}{\prod_{i=1}^{m}\left(s+p_j\right)}=-\frac{1}{K_{g}}\\$

同理，

$K_g=\infty$

時，上式成立，即 m 個開環零點構成了 m 支根軌跡的終點。

注意分析零點時別忘了無窮遠點可能也是零點。

3。5。實軸上的根軌跡成對出現

教材原話是：實軸上根軌跡右方的開環零點個數和開環極點個數之和應為奇數。

使用相角條件可以輕鬆證明。如果不符合的話一定不滿足相角條件，反證法，這裡不證。

我自己的說法是：實軸上出現了很多零點和極點的話，那麼，從右往左，優先配對。如果剩下那麼根軌跡向無窮遠。

語言蒼白無力，使用幾個例子自行體會。

而且可以發現，

離得近的零點或者極點優先配對

n階極點（m階零點）看作n個極點（m個零點）疊在一起。

注意s=0處是二重極點

3。6。根軌跡的漸近線

3.6.1. 漸近線的傾角

若開環零點數 m < 開環極點數 n，則當 Kg → ∞時，閉環系統具有n – m 條趨向無窮遠處的根軌跡，它們的方位由漸近線決定。

漸近線的傾角：對於根軌跡上無窮遠處一點 s，可認為所有的開環有限零點和開環極點都匯聚在一起，該匯聚點到無窮遠閉環極點 s 的相角即為漸近線的傾角。

由相角條件立刻得到

$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^{m} \angle\left(s+z_{i}\right)-\sum_{j=1}^{n} \angle\left(s+p_{j}\right) \\ &=m \theta-n \theta=(2 k+1) \pi \\ &\theta=\frac{(2 k+1) \pi}{n-m},(k=0,1, \cdots n-m-1) \end{aligned}\\$

其實沒必要背過這個公式。因為設

的話， N和漸近線的情況是一一對應的。而且根據對稱性質和極點不可能順著正實軸方向走的特點，可以唯一確定漸近線了。。。。。

滑鼠手繪，勿介意精度

3.6.2. 漸近線與實軸的交點

對於根軌跡上無窮遠處的一點 s，可認為所有的開環有限零點和開環極點都匯聚在一起，該匯聚點位置即為漸近線與實軸交點。記為

$-\sigma$

。帶負號是因為一般情況下它總是出現在負區域。這麼寫的話公式化簡方便點。

$\frac{\prod_{i=1}^{m}\left(s+z_{i}\right)}{\prod_{j=1}^{n}\left(s+p_{j}\right)}=\frac{s^{m}+\left(\sum_{i=1}^{m} z_{i}\right) s^{m-1}+\cdots+\prod_{i=1}^{m} z_{i}}{s^{n}+\left(\sum_{j=1}^{n} p_{j}\right) s^{n-1}+\cdots+\prod_{j=1}^{n} p_{j}}\\$

當

$s=\infty$

時，可以認為

$z_i=p_j=\sigma$

（零極點的重心），故等式左側（二項式定理）可得到

$\begin{aligned} \frac{1}{(s+\sigma)^{n-m}}=\frac{1}{s^{n-m}+(n-m) \sigma s^{n-m-1}+\ldots} \\ \end{aligned}\\$

等式右側可以（長除法）得到

$\begin{aligned} &\frac{1}{s^{n-m}+\left(\sum_{j=1}^{n} p_{j}-\sum_{i=1}^{m} z_{i}\right) s^{n-m-1}+\ldots} \end{aligned}\\$

比較兩側係數，可得

$(n-m)\sigma=\sum_{j=1}^n{p_j}-\sum_{i=1}^m{z_i}\\$

$-\sigma=\frac{\left(\sum_{j=1}^{m}-p_{j}\right)-\left(\sum_{i=1}^{n}-z_{i}\right)}{n-m}\\$

3。7。根軌跡的分離與匯合點

若干根軌跡在複平面上某一點相遇後又分開，稱該點為分離（會合）點；

2。一般將從實軸分離進入複平面的點為分離點，而將從複平面進入實軸的點為會合點。

3。若實軸上兩相鄰開環極點之間有根軌跡，它們之間必有分離點。若實軸上兩相鄰開環零點（其中一個為無窮遠零點）之間有根軌跡，它們之間必有會合點。

4。若實軸上某開環零點與開環極點之間有根軌跡，則它們之間可能既無分離點也無會合點，也可能既有分離點也有會合點。

這種點的求法，可以參考一個初中的數學知識。

引理:

重根出現的位置往往是n次函式的一個導數為0的點。

引理:

分離點與匯合點總出現在重根處。

根軌跡的分離（會合）點意味著，這些點是閉環特徵方程的重根點。設系統的開環傳函為

$G_{k}(s)=K_{g} \frac{\prod_{i=1}^{m}\left(s+z_{i}\right)}{\prod_{j=1}^{n}\left(s+p_{j}\right)}=K_{g} \frac{N(s)}{D(s)}\\$

閉環特徵方程為

$G_{k}(s)=-1$

，也就是

$F(s)=D(s)+K_{g} N(s)=0$

。設

$K_g=K_{gd}$

時，特徵方程有重根

$\sigma_d$

，則

$\left\{\begin{array}{l} F\left(\sigma_{d}\right)&=0 \\ F^{\prime}\left(\sigma_{d}\right)&=0 \end{array}\right.\\$

從而

$\left\{\begin{array} { c } { D ( \sigma _ { d } ) + K _ { g d } N ( \sigma _ { d } ) = 0 } \\ { D ^ { \prime } ( \sigma _ { d } ) + K _ { g d } N ^ { \prime } ( \sigma _ { d } ) = 0 } \end{array} \\ \\ Simplify\longrightarrow \left\{\begin{array}{c} N^{\prime}\left(\sigma_{d}\right) D\left(\sigma_{d}\right)-N\left(\sigma_{d}\right) D^{\prime}\left(\sigma_{d}\right)=0 \\ K_{g d}=-\frac{D\left(\sigma_{d}\right)}{ N\left(\sigma_{d}\right)} \end{array}\right.\right.$

由上式求得的點只是分離（會合）點的必要條件。想成為

充要條件的話加一條

僅當求出的對應增益

$K_{gd}$

為大於零的實數時，所求出的點才是實際的分離（會合）點。

分離（會合）點處

$\frac{d K_{g}}{d s}=-\frac{d}{d s}\left[\frac{D(s)}{N(s)}\right]=-\frac{D^{\prime}(s) N(s)-N^{\prime}(s) D(s)}{N^{2}(s)}=0\\$

表明函式

$K_{g }=-\frac{D\left(s\right)}{ N\left(s\right)}$

在該點具有極值。

分離匯合角的話，記住一條：

分離匯合角

在正常的分離匯合下，是垂直分離的。

不正常的情況指很多個根軌跡同時齊聚一堂。這種情況很少見，不考慮。

該定理同樣由相角條件推導而出。

3。8。出射角與入射角

出射角：根軌跡離開復極點的出發角

入射角：根軌跡趨於復零點的終止角

由相角條件可以快速推匯出出射角與入射角的關係。

因為每個根軌跡上的點都要滿足相角關係，也就是說根軌跡上任意一個點

$\delta$

必然滿足

$G(s)={K_{g} \frac{\prod_{i=1}^{m}\left(s+z_{i}\right)}{\prod_{j=1}^{n}\left(s+p_{j}\right)}=-1} \\ \angle G(s)=\angle\left({K_{g} \frac{\prod_{i=1}^{m}\left(s+z_{i}\right)}{\prod_{j=1}^{n}\left(s+p_{j}\right)}}\right) =\pi+2k\pi\\$

根據複數乘法的模長相乘輻角相加（除法相當於相除）原則，可以知道為了確保相位條件，必然有

$\sum_{i=0}^m\angle(s+z_i)-\sum_{j=0}^n\angle(s+p_j)=\pi+2k\pi\\$

當根軌跡入射時，假如步進了一個很小的量，那麼根據根軌跡的平滑性，入射角必然需要滿足

$\theta_x=-\left(\pi+2k\pi+\sum_{i=0,i\neq x}^m\angle(s+z_i)-\sum_{j=0}^n\angle(s+p_j)\right)\\$

並且，當根軌跡出射時，假如步進了一個很小的量，那麼根據根軌跡的平滑性，出射角必然需要滿足

$\theta_y=\pi+2k\pi+\sum_{i=0}^m\angle(s+z_i)-\sum_{j=0,j\neq y}^n\angle(s+p_j)\\$

上文中

$k\in Z$

。

3。9。根軌跡與虛軸的交點

當根軌跡與虛軸相交時，閉環特徵方程具有共軛虛根，閉環系統處於臨界穩定狀態；此時的增益 Kgp 稱為臨界根軌跡增益。

兩個方法

在閉環特徵方程中令 s = jw，然後使特徵方程的實、虛部分別為零，即可求出 w 和 Kgp。

Routh判據

實際中Routh判據一般更方便。列寫Routh array即可。

3。10。閉環系統極點的和與積

閉環系統的極點就是特徵式的零點。也就是滿足幅值條件和相角條件的點。也就是根軌跡的點。而“閉環系統極點的和與積”這一條最有用，同時也最沒用。

有用之處在於它能證明一條根軌跡是單獨一條的，不存在一簇根軌跡。這也提供了找到每個根軌跡的方法。

沒用是因為除了使用計算機暴力求解，沒辦法用這個算出來根軌跡……

推導：開環傳遞函式為

$G_{k}(s)=K_{g} \frac{\prod_{i=1}^{m}\left(s+z_{i}\right)}{\prod_{j=1}^{n}\left(s+p_{j}\right)}=K_{g} \frac{s^{m}+b_{m-1} s^{m-1}+\ldots+b_{1} s+b_{0}}{s^{n}+a_{n-1} s^{n-1}+\ldots+a_{1} s+a_{0}}\\$

其中

$b_{m-1}=\sum_{i=1}^{m} z_{i}, \quad b_{0}=\prod_{i=1}^{m} z_{i}, \quad a_{n-1}=\sum_{j=1}^{n} p_{j}, \quad a_{0}=\prod_{j=1}^{n} p_{j}\\$

閉環系統的特徵方程為

，所以

$F(s)=s^{n}+a_{n-1} s^{n-1}+\ldots+a_{0}+K_{g}\left(s^{m}+b_{m-1} s^{m-1}+\ldots+b_{0}\right)=0\\$

設閉環系統的極點為

，那麼

$F(s)=\left(s+s_{1}\right)\left(s+s_{2}\right) \ldots\left(s+s_{n}\right)=s^{n}+\left(\sum_{i=1}^{n} s_{i}\right) s^{n-1}+\ldots+\prod_{i=1}^{n} s_{i}\\ \begin{aligned} &F(s)=s^{n}+a_{n-1} s^{n-1}+\ldots+a_{0}+K_{g}\left(s^{m}+b_{m-1} s^{m-1}+\ldots+b_{0}\right)=0 \\ &F(s)=\left(s+s_{1}\right)\left(s+s_{2}\right) \ldots\left(s+s_{n}\right)=s^{n}+\left(\sum_{i=1}^{n} s_{i}\right) s^{n-1}+\ldots+\prod_{i=1}^{n} s_{i} \end{aligned}\\$

比較上面的公式們，可以發現，當

$N=n-m\geq2$

時，

$a_{n-1}=\sum_{i=1}^{n}s_i=\sum_{j=1}^{m}p_j$

。即對於任意的

，閉環極點之和等於開環極點之和，為常數。當

變化使得

部分閉環極點在複平面上向右移動

（變大）

時，另外一些極點必然向左移動

（變小）。

閉環極點之積為

$\prod_{i=1}^{n} s_{i}=a_{0}+K_{g} b_{0}=\prod_{j=1}^{n} p_{j}+K_{g} \prod_{i=1}^{m} z_{i}$

，當開環系統具有積分環節時，顯然

$\prod_{i=1}^{n} s_{i}=K_{g} b_{0}=K_{g} \prod_{i=1}^{m} z_{i}$

。也就是說

閉環極點之積等於零點之積的倍數.

3.11. summary

十個規則：

根軌跡連續

根軌跡對稱

根軌跡有“極點個數”根

根軌跡起始於極點，終止於零點

實軸上的零極點產生的軌跡可能存在分離和匯合

漸近線的交點和角度

分離匯合點的位置

初射入射角

根軌跡和虛軸的交點

根的和與積

4。根軌跡繪製辦法

笨辦法

：硬算。一個個k帶進去解方程。最後連線。因為數學上可以證明，根軌跡是連續的光滑曲線（除了分支點和匯合點之外）。現在如果有計算機的話我們都採用這個方法。上面的圖就是使用計算機硬算出來的。

聰明辦法

：如果沒有計算機，那麼就得透過前人的智慧，找見的方法，一步步確定根軌跡的形狀。這裡講一下聰明辦法繪製根軌跡的步驟。步驟很多，總共n步。

七個步驟：

標出開環極點和零點，縱橫座標採用相同的比例尺

根軌跡有“極點個數”根

根軌跡起始於極點，終止於零點，以此畫出實軸上的根軌跡

畫出漸近線的交點和角度

計算分離匯合點的位置

計算初射入射角

計算根軌跡和虛軸的交點

似乎上面講的太詳細了，這裡沒得說了。。。。。等會上例題吧。

5。異常根軌跡

上面的那種開環增益變化時的根軌跡不妨稱之為正常根軌跡。那麼除了以開環增益繪製外，還有其他根軌跡。不妨稱之為異常根軌跡。

5。1。引數根軌跡

定義:

引數根軌跡是變化量不是

時產生的根軌跡。

比如針對開環傳遞函式

$G(s)=k_g\frac{1}{\tau^2s^2+2\zeta\tau s+1}\\$

正常根軌跡是針對

的根軌跡。是

$G_k(s)=k\frac{1}{\tau^2s^2+2\zeta\tau s+1}\\$

的根軌跡。

而如果是針對

$\tau$

的根軌跡的話，就是

$G_\tau(s)=\frac{1}{\tau^2s^2+2\zeta\tau s+1}\\$

當

$\tau$

變化時的根軌跡。

顯然，正常的根軌跡是引數根軌跡的特例。

怎麼畫?

答：數學就是將未解決的問題轉化為已解決的問題。我們可以透過訊號流圖和因式分解/化簡，將引數根軌跡轉化為繪製正常根軌跡。

步驟：

把特徵方程寫為

含有可變引數K的乘式多項式

KA（s）

+ 不含可變引數的多項式

B（s）

獲得等效開環傳遞函式A（s）/B（s）

繪製關於等效根軌跡增益 K 的根軌跡

注意：“等效”僅表示對應的閉環特徵方程相同

還要注意：並不是所有引數根軌跡都能這麼畫，比如上面那個。。。。。它的開環零點也會隨著

$\tau$

變化。所以方法失效。

因為對於

$\tau$

變化時的根軌跡，特徵方程

$\Delta=\tau^2s^2+2\zeta\tau s+2=0$

，拆開後是

$\begin{align} G_\tau&=\frac{\tau^2s^2+2\zeta\tau s}{2}+1&=0\\ G_\tau&=\frac{s(\tau^2s+2\zeta\tau )}{2}+1&=0\\ \end{align}\\$

開環零點也會隨著

$\tau$

變化。方法失效。

5。2。多參根軌跡

多個引數一起變化時的根軌跡。

顯然可以先固定其他引數，只變化一個引數時即可繪製一次根軌跡。然後再依次改變其他引數。最後獲得一堆

根軌跡簇

定義:

當系統中有兩個以上引數變化時的根軌跡叫根軌跡簇。

作圖方法：

每次選定一個引數為常數，讓另一個引數從零變化到無窮大，畫出根軌跡

隨後，改變第一個引數值，重複前面的過程畫出根軌跡

6。異常情況

6。1。開環傳遞函式有零極點對消的情況

太罕見，不詳談。大概就是隻考慮其他部分，最後畫出零極點對消的位置即可。因為零極點對消的話開環傳遞函式的分式必定化簡掉了。

6。2。正反饋系統的根軌跡

直接考慮

$K_g\in (-\infty,0)$

區間即可。方法同正常開環根軌跡。

7。根軌跡的分析與應用

首先搞清楚開環零極點對根軌跡的影響，然後就可以依據規律進行系統的調整與分析

7。1。開環零極點對根軌跡的影響

首先我們可以注意到，開環

零點具有吸引根軌跡的趨勢, 極點具有排斥根軌跡的趨勢

所以如果什麼系統的根軌跡會經過正半軸部分，這意味著系統在某些條件下（比如老化，溫溼度不正常，電壓不穩，風水不好）導致

變化，系統可能會不穩定，那麼可以增加零點，讓根軌跡不可能經過正半部分。

舉例：

增加零點前

$G_{k}(s)=\frac{K_{g}}{s^{2}(s+10)}$

增加零點後

$G_{k}(s)=\frac{K_{g}(s+5)}{s^{2}(s+10)}$

效果立竿見影。

同樣的，增加極點的話，系統動態效能可能變好，但是可能會變得不穩定

$G_{k}(s)=\frac{K_{g}(s+5)}{s^{2}(s+10)(s+2)}$

總結：

增加開環極點的影響：

改變了根軌跡的分支數，在實軸上的分佈，漸近線的條數、傾角，與虛軸交點。

根軌跡曲線向右偏移，不利於改善系統的動態效能；所增加的極點越靠近虛軸，這種影響就越大。

增加開環零點的影響：

改變了根軌跡在實軸上的分佈，漸近線的條數、傾角，與虛軸交點。

根軌跡曲線將向左偏移，有利於改善系統的動態效能；所加的零點越靠近虛軸，影響越大。

7。2。應用

根軌跡法這麼麻煩，也就分析個線性系統的穩定性，然後依據此設計改良系統。比如透過設計系統分析何時阻尼角合適等等……

現代一般都用的更高階的方式。

8。例題

等閒了弄幾個

［未完待續］

標簽：軌跡極點開環閉環零點

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[自動控制原理] 4 - 根軌跡法分析與設計系統

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