關於n邊形的一個問題

當時

，數學卷子上有這樣一道題：

在一個圓中，隨意點6個點，問能把這個圓最多分成幾個部分？

拿到這個題，我先是畫了一個圓，點了6個點，正準備連起來數數，被歪七扭八的圖勸退了，我就換了個思路，想著找找規律

2個點可以劃分成2個部分

3個點可以將圓分成4個部分

4個點可以將圓最多分成8個部分

所以我不嚴謹的幾個嘗試以為自己發現了其中的奧秘，不假思索的認為：

n=5時，最多可以將圓劃分成

個部分，確實，當我畫了五個點時，圖形已經稍微有點複雜，我也只是隨手畫，最後驗證成功n=5時，確實是16個。

於是，我毫不猶豫的添上了n=6時，最多可以劃分成32個部分。

但事實是答案為31。

其實如果一來就畫圖，可以很快得到正確的答案，但是其最後他的通項公式必然不是

，

那到底最終的通項公式是多少呢？

換一個命題來看，先解決下面這個問題：

在一個凸n邊形當中，任意3條對角線不共線，問可以將此凸n邊形劃分成多少個部分？

不難想到，此題問的是面數，而我們可以較為容易的求得邊數和點數，於是就有了思路：

利用尤拉定理

（

V是頂點數，E是邊數，F是面數）

首先，我們可以先從頂點數

V找起：

不難發現最外面一層有n個頂點，而內部的一個頂點由最外面一層的任意四個點所確定

故

再來看邊數

E

，不難發現最外面一層的n個點，每個點可以發出（n-1）條邊；而內部的每一個點，可以發出四條邊。然而任意兩個點公用了1條邊，故計算方式為：

所以可得面數

而最終可以劃分成的面數記為

F‘，

（減去由最外面一層的點組成的最大的那個面）

整理可得

所以有這樣一個結論，在凸n邊形中，任意3條對角線不共點，所有對角線可以將這個凸n邊形劃分成

個部分。

回到本題，即設這個凸n邊形存在外接圓，只需加上n即得原題通項公式

即

可以驗證n=6時，可以將圓劃分成31個部分！

還可參考這個夥計做法，可以推究一哈。