重新認識《幾何原本》——致那些年我們白學的幾何（轉）

重新認識《幾何原本》——致那些年我們白學的幾何（轉）

長尾科技

【“幾何學是一個訓練自由人性的基本學科，一個沒經受過幾何訓練的人，不可能擁有一顆自由的心靈。”

——柏拉圖】

【There is no royal road to geometry。

在幾何學裡，沒有專為國王鋪設的大道。】

【It is the glory of geometry that from so few principles， fetched from without， it is able to accomplish so much。

從那麼少的幾條外來的原理，就能夠取得那麼多的成果，這是幾何學的光榮。

——牛頓《自然哲學之數學原理》序】

【愛因斯坦說：“一個人當他最初接觸歐幾里得幾何學時，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那麼他是不會成為一個科學家的。”】

【徐光啟曾評價此書：能精此書者，無一事不可精；好學此書者，無一事不可學。】

【斯托貝烏斯（約500）記述了一則故事，一位學生曾這樣問歐幾里得：“老師，學習幾何會使我得到什麼好處？”歐幾里得思索了一下，請僕人拿點錢給這位學生。歐幾里得說：給他三個錢幣，因為他想在學習中獲取實利。】

光速不變的假設

在上一篇文章《如何徹底搞懂狹義相對論裡的“光速不變”？》裡我詳細給大家介紹了光速不變的三種情況以及作為狹義相對論基礎的光速不變，在文章的前面花了很多筆墨介紹這些情況，到了後面才跟大家說“光速不變”的一個假設，我怕大家會輕視這句話的意思。其實理解這個非常的重要，因為這是一個大框架大前提，如果這個大前提沒有搞清楚，或者沒有達成共識，就很有可能出現一些你說你的我說我的這樣不在一個頻道上的對話。

比如，上篇文章寫完之後有一點讓我很吃驚：居然有人拿光速不變來反對相對論，說光速不變是錯的，所以相對論的是錯的。首先我要宣告一下，我對所有質疑權威、反對權威都是持積極態度的，科學從來都是在不斷的質疑中前進的，但是，我們在質疑他們的時候，起碼得和他們在同一個頻道上，我們起碼得懂一般的科學體系是怎麼建立起來的，起碼得搞懂哪些是因哪些是果，哪些是預設的條件，哪些是嚴密推理出來的定理，不然就貽笑大方之家了。貽笑大方倒也沒什麼，但是這樣白白浪費了許多自己的時間精力就不划算了。

本來這篇文章我打算寫光速不變只是一個假設的，但是考慮到這個情況貌似有點嚴重，所以我決定追本溯源，從大家都知道的歐幾里得的幾何學說起就，讓大家對現代科學體系的建成有一個更加直觀的瞭解，這樣就不會再鬧“用光速不變來反相對論”的笑話了。

有人可能感覺奇怪，相對論就相對論，你說愛因斯坦或者牛頓麥克斯韋都可以理解，跟歐幾里得的幾何學有什麼關係？就算要說幾何，廣義相對論的幾何用的也是黎曼幾何啊，跟歐式幾何有啥關係。

要說相對論和歐式幾何吧，大的關係還真沒有，但是，歐幾里得的幾何學幾乎是所有現代科學（物理學也好、數學也好，甚至包括一些哲學心理學等等等等）正規化的方法論基礎。這句話特別重要，我請大家牢記。

我們的幾何

我先請大家回憶一下自己當年是怎麼學習幾何（我們現在常說的幾何都是默指歐幾里得的幾何）的，記得沒錯的話我是初一的時候學校開始教幾何（如果這裡有小學生沒有回憶就請展望一下~），我們那時候學幾何，老師是先講了一些基本的幾何概念，比如直線、線段、圓、三角形、直角等等等等，然後基於這些基本的概念將一些幾何的性質，學習重要的定理，把這些定理記下來，習題做熟了準備考試的時候用，把這些定理公式性質都記熟用熟了就算把這一塊幾何學好了。

然後，隨著我們的年級不斷的升高，我們認識的幾何圖形越來越複雜，從開始的簡單的三角形、矩形、圓慢慢拓展到多邊形、圓錐、橢圓、立方體等等等等，但是基本的學習方法沒有變：都還是以定理為中心，以證明為中心，能夠熟練的掌握一種幾何體的各種相關的性質定理，在立體幾何裡能發現那些不知道為什麼要這樣劃，但是跟神一樣一出現就能解決問題的輔助線就算幾何學好了。

這樣不斷的學習下去，你對幾何圖形的性質瞭解的越來越多，你以為你對歐幾里得的精髓的把握越來越準，但是，你卻忽略了一樣非常重要的東西，這樣東西另無數大科學家瘋狂著迷，伽利略也好，牛頓和愛因斯坦也是。

愛因斯坦說：“一個人當他最初接觸歐幾里得幾何學時，如果不曾為它的明晰性和可靠性所感動，那麼他是不會成為一個科學家的。”我們現在再回過頭想想，我們小時候學幾何的時候，真的有感受到過這種愛因斯坦說的感動麼？

很少有人會有（如果你有，那麼你非常的幸運）這種感動，因為這種歐幾里得幾何身上最可貴最美的東西，恰恰是我們學校編寫幾何教材，老師教授幾何的時候不會講，恰恰給忽略了的東西。那麼，這種東西到底是什麼呢？

科學的正規化

我先跟大家說5句話，你們判斷一下這些話是對的還是錯的，還是一看就知道是對是錯。

1、任兩點都可以用一條直線相連

2、線段可以無限延長成一條直線

3、可以以任意點為頂點，任意長度為半徑畫一個圓

4、所有的直角都相等

5、過直線外一點，有且只能做一條直線與已知直線平行

好了，我的五句話說完了，你們覺得這些話是對是錯，你們認可不認可？可能有人看完之後感到一陣失落，好歹是長尾高能預警了要說的話，想著怎麼著也應該是有點難度的命題讓我來判斷吧，沒想到是這樣幾個只要學了初中幾何，不，只要學了初一的幾何，阿不，就算沒學幾何也知道這肯定的對的命題。因為這五句話都太簡單太“顯而易見”了，而且與生活的經驗是如此的相符，誰要覺得這5句話有問題那肯定是腦袋有病。

沒錯，在初一學幾何的時候，12兩條在學直線線段的時候老師是直接這樣定義的，學圓的時候預設我們都會用圓規畫圓，所以第3條也是預設成立的，第4條老師直接告訴你直角就是90°，大於90°的叫鈍角，小於90°的叫銳角，第5條稍微麻煩一點，好像叫什麼平行公理，但是一樣非常容易理解。

也就是說，這5句話裡說的東西我在初一學幾何的就在不同的地方瞭解了，甚至是沒學幾何的人也覺得這是顯而易見的，但是把他們這樣放在一起倒是覺得挺新鮮，為什麼要把這5句話放在一起呢？難道老奸巨猾的長尾只是隨手抓了5句話來逗我玩？

如果我告訴你這五句話是並列出現在歐幾里得的傳世名著，那本影響西方科學兩千多年的鉅著《幾何原本》第一卷的，你會不會感覺到吃驚？

如果我再告訴你，《幾何原本》裡的全部幾何公設就是這5句話（我對這些話做了通俗處理，第5條換了說法但是跟原來的等價，另外還有五條公理是一般的公理，是不管是不是幾何都通用的），沒有第6條几何公設了，你會不會覺得吃驚？

如果我最後再告訴你，歐幾里得的幾何裡的全部定理，你從初中到高中甚至大學學的所有平面幾何相關的定理，你用來證明幾何題目所需要的所有性質都是從這5句話嚴密的推匯出來的，你會不會感到震驚？

沒錯，你沒有聽錯，就是這5句看起來非常簡單的5條公理（現在公設公理區別不是那麼大了，都習慣叫公理）就是歐式幾何的全部假設，從這5條假設歐幾里得邏輯嚴密的證明了465個命題。也就是說，如果你承認最開始的那5條簡單得不像話的公理，你就得沒有任何異議的接受他後面證明的那465個命題，後面那些命題可能很多不是很直觀，有很多甚至跟直覺常理相違背，但是它就是一個十分正確的存在，正襟危坐在那裡，嚴密的邏輯推導足以碾壓你的一切懷疑。

再來潑點冷水

上面的描述可能讓你對歐幾里得有種滔滔江水般的敬仰，覺得在兩千多年前有這麼一個人能夠從5個公理出發證明這麼多定理實在是太牛掰了。

但是，如果我告訴你《幾何原本》這本書裡幾乎所有的定理在歐幾里得之前就已經知曉了，並且許多證明也是這樣，歐幾里得做的工作不過是把它們整理在一起，你會不會突然覺得歐幾里得沒什麼，甚至只是個盜用別人勞動成果的騙子？

但是，我再告訴你這些事情不光我知道，兩千多年來西方人一直都知道這個事，但是他們依然把歐幾里得把《幾何原本》封神，你會不會覺得奇怪？

如果你覺得奇怪，說明你還是不太瞭解真正的西方科學精神。我們回過頭來想一想，這些定理，這些三角形圓形的性質難道我們中國古代的科學家們不知道麼？中國一樣在很早就發現了勾股定理，中國能比歐洲提前1100把圓周率精確到小數點後7位，你覺得那些定理我們的古人會搞不明白？墨家設計那麼多機關器械，會不懂這些幾何原理？但是，為什麼中國就沒有誕生近代科學呢？祖沖之把圓周率都算到小數點後7位了，幾何原本裡的證明的那些定理我相信祖沖之基本上都知道，但是為什麼祖沖之寫不出《幾何原本》？

有人覺得我在胡攪蠻纏，說歐幾里得也沒有寫出《九章算術》啊。是，這個沒錯，但是《幾何原本》奠定了西方科學的基礎，奠定了西方科學研究的正規化，有《幾何原本》，才有了牛頓的《自然哲學數學原理》，牛頓的這本書基本上就是按照《幾何原本》的標準樣式寫的，伽利略、愛因斯坦都一樣，有時候我甚至覺得：如果沒有《幾何原本》西方也誕生不了近代科學，至少要晚好多年直到有人重新把《幾何原本》寫出來。

最重要的事

所以，《幾何原本》裡出現的那裡定理本身並不是很重要。

重要的是：歐幾里得透過對前人工作的整理，透過超凡入聖的洞察力和判斷力選擇了5條顯而易見的基本公理作為假設，然後仔細的安排了所有的定理，使所有的定理跟前面的定理邏輯一致，在需要證明的地方給出了補充，然後，歐幾里得完成了這樣一個工作：把原本看起來零零散散的一些定理透過邏輯嚴密的綁在了一起，而他們需要承認的地方僅僅只有5個顯而易見的公理。

那些定理就像是一個個零散的部件，在歐幾里得這裡形成了一個完整的體系系統；就像一堆各自為王的草寇被整編成了正規軍；就像一顆顆散落的珍珠被串成了一條項鍊。

從此，西方的科學裡有了體系一說，

西方的科學家們驚歎於歐幾里得發明的這套方法，於是紛紛將這一套東西引入到自己的研究領域，從此這種方式成為了西方科學研究的基本正規化，任何人研究一個全新的領域，都先先做幾個最基本的假設作為公理，然後從這些假設出發推匯出一些定理，當然，他必須保證自己推到的這些定理前後不矛盾（這就需要很強的邏輯能力，《幾何原本》就是對邏輯能力最好的訓練教材），然後他會以這些推匯出來的定理為基礎，利用嚴密的邏輯一步步的擴大領地，知道最終把這個領域內的一切都包含進來，知道最終解決所有的問題。因為他們知道如果公理可靠，那麼推出來的定理也一定是可靠的，那麼我再基於這些定理推出來的其他定理也一定是可靠的，所以我的領地只會增加不會減少，但是，這同時也意味著這裡所有的定理都有連帶責任，只要有一條定理跟事實不符，那麼整個體系就會垮掉。

對於任何一套體系，如果我假設的公理越簡單越基本，那麼顯然他出現漏洞的可能性就會越小，被人接受理解的可能性也越大。如果需要的前提假設越多，就跟武林高手練功一樣，留的罩門就越多，就越容易被人找出破綻。

光速不變就是愛因斯坦在狹義相對論裡提出的一條假設（另一條是相對性原理，說物理定律在一切慣性參考系中都具有相同的數學表達形式）

如果我是幾何老師

寫下這個小標題之後突然發現一個幾何老師在我們這個教育體系裡決定不了什麼，只能按照學校發的教材按部就班的給學生講，給學生出各種題目讓他熟悉考試。那就假設把許可權放大一點，假設學習國外的教授治校，讓老師自己可以決定要怎麼教教什麼。那我會毫無疑問的拋棄人教版的幾何教材，選擇《幾何原本》作為學生學習幾何的教材，我會告訴我的學生：

學習幾何最重要的不是掌握了幾個定理，會做幾條輔助線，而是你自己能夠從那幾個最簡單的公理出發，一步一步推匯出那麼多看起來不那麼直觀的定理，這些定理看起來好像很玄乎很不可思議，但是你回顧自己推導的過程，每一步都走的那麼堅實，每一個推理步驟都無懈可擊，所以這個定理無論看起來怎麼不可思議，但是絕對是正確的。

這時候你會由衷的感嘆邏輯的偉大，科學的偉大，許多年後你可能會忘了《幾何原本》裡的那些定理，但是推導那些定理的那些過程和那種思維的正規化都會深深的印在你的腦海裡，而這些東西，才是《幾何原本》留下來最珍貴的東西。

掌握了《幾何原本》精髓，你才會面對未知領域的時候有信心去構建一個系統，有信心去研究並掌握這一領域背後的全部秘密。如果你沒有這種科學邏輯系統化的概念，就算你的想象力洞察力再豐富，也只能發現一些零散的東西，或者解決一些別人留下來的問題。

牛頓的偉大在哪裡？伽利略和開普勒其實已經做了很多零散前瞻性的研究工作，但是，只有牛頓能夠從這些零散的結論實驗資料中看出他們內在的邏輯聯絡，並且把這些零散的東西整理成一個有機的體系。這種工作，我們想想，和歐幾里得整理《幾何原本》的事情是不是如出一轍？歐幾里得之前人們就已經知道那些幾何定理，只不過他們是零散的方式存在的，是歐幾里得將他們有機的整合成了一個體系。如果你有機會把《幾何原本》和《自然哲學的數學原理》拿來做一個對比，你就會發現牛頓的《自然哲學的數學原理》在風格上跟《幾何原本》極其相似。

可惜，我們的教育裡面恰恰把這個最重要的東西給忽略了，我們的數學教育裡把定理的熟悉使用看做最為重要的東西，而對從顯而易見的公理邏輯嚴密的推匯出這些定理的事情卻不是很關注，這種科學正規化的方法論是我們數學教育裡最缺少的。我對奧數是持反對態度的，因為中國式的奧數與真正的數學精神是相背離的，這種奧數也無法讓人體會到真正的數學之美，反而容易因為過度的被迫式投入導致自己對數學失去興趣，你信不信，把那些鑽到牛角尖裡去的奧數題給菲爾茲獎（數學界的諾貝爾獎）獲得者去做，不見得有幾個人能做出來。

當然，如果是自己因為對數學感興趣而自發的去解除奧數，那當然沒什麼，如果只是因為高考加分或者給自己補個特長去學奧數，那就大可不必。如果你的真的對數學感興趣可以去了解數學的思想史，瞭解數學的方法論和背後的哲學意義，甚至你可以提早去接觸微積分，這比你去做幾個奧數題有意義得多。這裡就先說到這裡，關於數學學習教育的事情並不是本文的重點，大家要是感興趣的話以後我可以專門寫這方面的文章。

回顧一下歷史

1582年，明神宗萬曆十年，有一個叫利瑪竇的義大利人來到中國，不過，直到18年後他才見到萬曆皇帝，我們的萬曆皇帝在宣武門賜給了利瑪竇一棟別墅，讓他安心的在北京做東西方的科技文化交流工作。不久利瑪竇就收了一位好學生徐光啟，利瑪竇以《幾何原本》為教程教授徐光啟西方的數學理論，然後兩人合作翻譯了《幾何原本》的中文版，我們現在經常說的三角形、平行線、直角、銳角、相似等等詞，都是徐光啟發明的。徐光啟也絕對是個聰明人，他學習《幾何原本》之後就利用這幾何知識就精準的預測了一次日食，搞得朝野振動，一時間西方科學名聲大振，然後一大波西方科學著作潮水般的被翻譯進來了。

徐光啟他意識到了《幾何原本》代表的這種西方科學正規化的方法論非常的重要，他那時候就意識到了幾何學代表的這種嚴密的邏輯推理方法是科學研究的基礎，也就是說，明朝的末期就已經有人看到了《幾何原本》最珍貴的地方，那麼為什麼400多年後的今天，我們在數學基礎教育裡依然看不到這一點呢？西方數學最為重視的形式邏輯和演繹推理我們的教育裡一直極度缺乏，想想我們小時候數學做得最多的題目是什麼？是應用題！！！也許我們的潛意識裡，直到現在，和古人把這些定義為奇淫技巧並沒有什麼太大的區別，雖然我們並不想承認。

徐光啟利用《幾何原本》預測日食的那一年是1610年，距離科學巨星牛頓的誕生還有33年，那個時候，大量的西方科技著作被引入中國，有介紹托勒密和亞里士多德體的自然哲學、邏輯學和方法論的，有介紹天文儀器地理知識的，有介紹心理學和人體生理解剖學的，有介紹機械學和工程學，基本上，中世紀西方科學被全體系的搬到了中國，你覺得這樣的大背景下，如果牛頓的《自然哲學的數學原理》發表之後能不被引入中國？很難想象如果沒有滿清入關，或者就算即便有滿清入關，但是滿清對待科學的態度能有明末對待科學態度的三分之一，中國的科學絕不至於那麼落後，那現在也不會有什麼“儒學妨礙科學”之類的爭論了。（沒有疑問，儒學鐵定妨礙科學。——轉者注）最後這算一點感慨一點牢騷，扯遠了~

【當年明朝皇帝問徐光啟，為什麼華夏五千年這麼多先賢和宗教不信，偏偏要信奉外來的洋教？徐光啟答說，

因為天主教提出的“愛仇人”、“照顧最小的弟兄”等思想，不可能來自人，一定是來自真神。

】

最後的祝福

如果你是小學生，我希望你明白數學不是隻用來做算術做應用題的，你現在用的那些自然數、那些幾何圖形都是對自然的一種抽象，對世界的一種描述，數學有很深的哲學背景，因為世界很美很奇妙，所以數學很美很奇妙。

如果你是初中生，我希望有機會你能弄一本《幾何原本》來讀一讀，看看能不能邏輯嚴密的自己推匯出那些定理，並且體會《幾何原本》代表的這種方法。如果你能用自己的方法證明勾股定理，作為一個初中生，那給你帶來的喜悅將不亞於發現了這樣一個定理。

如果你是高中生，我首先希望你對數學的興趣還沒有被磨滅。如果你有幸還喜歡數學，你不用像我當年一樣傻乎乎的去買一堆奧數的書，你可以去了解一下微積分的思想，可以去了解一下數學的思想史、方法論和哲學史。

如果你是大學生，你要知道《高等數學》或者《數學分析》的那點東西是遠遠不夠的，而很多數學家在這個年齡已經做了很多原創性的工作了。

如果你是研究工作者，我希望你能深刻體會《幾何原本》代表的這種西方科學的思想方法，能夠借鑑這種方法構建自己的一套體系。中國不缺範解決單一問題的人，但是極度缺乏能夠系統化某個領域的大師。

（【

《幾何原本》簡介

《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的一部不朽之作，集整個古希臘數學的成果與精神於一身。大約成書於公元前300年，全書共分13卷。書中儲存了許多古希臘早期的幾何學理論，歐幾里得進行了開創性的系統整理和完整闡述。

《幾何原本》在2000多年間已經用不同文字出版了1000版以上，出版量僅次於《聖經》。1607年，明代數學家徐光啟與利瑪竇首次在中國翻譯了《幾何原本》前6卷，極大地影響了中國原有數學學習和研究的習慣，改變了中國數學發展的方向。咸豐初年，曾國藩資助且代序推薦，數學家李善蘭完成徐光啟與利瑪竇未竟之業，《幾何原本》中文完整版首次面世。

《幾何原本》的重要性不僅在於它所提出的一系列意義重大的公式、定理，而是它建立了嚴密的邏輯，進而演變成了一種藉助數學去理解世界的思想體系。古希臘、古羅馬、中世紀、文藝復興、近代科學、現代世界的格局等等，無不是在這種思想體系的框架中產生。

徐光啟曾評價此書：能精此書者，無一事不可精；好學此書者，無一事不可學。】）

（【《幾何原本》［江西人民出版社（2019）］譯後記（張卜天）

歐幾里得（Ε？κλε？δης，Euclid，活躍於公元前300年左右）是埃及托勒密王朝亞歷山大城的古希臘數學家，其生活年代介於柏拉圖（Plato，前427-前347）和阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約前262-約前190）之間。他的主要著作《幾何原本》（Στοιχε？α，Elements）［一譯《原本》］是人類歷史上最偉大的著作之一，對數學、自然科學乃至一切人類文化領域都產生了極其深遠的影響。從1482年第一個印刷版本問世一直到19世紀末，《幾何原本》一直是主要的數學（尤其是幾何學）教科書，印刷了一千多個版本，數量僅次於《聖經》，“歐幾里得”也幾乎成為“幾何學”的同義詞。2400年來，它從希臘文先後被譯成阿拉伯文、拉丁文和各種現代語言，無數人對它做過研究。

《幾何原本》的原希臘標題中本無與“幾何”對應的詞，中文的“幾何”二字是1607年利瑪竇（Matteo Ricci，1552-1610）和徐光啟（1562-1633）合譯出版《幾何原本》前六卷時經過認真考量新增的。目前通行的《幾何原本》包含十三卷（另外兩卷被認為是後人續寫的），由若干定義、公設、公理、命題和對命題的數學證明所組成，其數目編號是後來的拉丁文譯本所引入的。《幾何原本》所涉及的範圍超出了我們所理解的幾何學，還擴充套件到比例論、數論和對不可公度量的處理等領域。學者們認為，《幾何原本》在很大程度上是根據一些早期希臘數學家的著作所作的命題彙編。

在兩千多年的時間裡，《幾何原本》一直被視為純粹數學的公理化演繹結構的典範，其邏輯公理化方法和嚴格的證明仍然是數學的基石。它從幾個簡單的定義以及幾條看起來自明的公理、公設出發，竟然能夠推匯出大量根本無法直觀且不可錯的複雜結論。在很大程度上，這種數學演繹也因此成為西方思想中最能體現理性的清晰性和確定性的思維方式。哥白尼、開普勒、伽利略和牛頓等許多科學家都曾受到《幾何原本》的影響，並把他們對《幾何原本》的理解運用到自己的研究中。霍布斯、斯賓諾莎、懷特海和羅素等哲學家也都嘗試在自己的作品中採用《幾何原本》所引入的公理化演繹結構。愛因斯坦回憶說，《幾何原本》曾使兒時的他大為震撼，並把《幾何原本》稱為“那本神聖的幾何學小書”。

《幾何原本》在思想史上有雙重意義。首先，它把新的嚴格性標準引入了數學推理，這種邏輯嚴格性直到19世紀才被超越；其次，它朝著數學的幾何化邁出了決定性一步。歐幾里得之前的畢達哥拉斯學派和阿基米德，以及歐幾里得之後的丟番圖都表明，希臘數學也可以沿著其他方向發展。正是《幾何原本》確保了數學應當由幾何形式的證明來主導。歐幾里得的幾何數學觀的這種決定性影響反映在思想史上最偉大的兩部名著——牛頓的《自然哲學的數學原理》和康德的《純粹理性批判》中：牛頓的作品是以歐幾里得的幾何證明的形式寫成的，康德則因為相信歐幾里得幾何的普遍有效性而提出了一種支配其整個知識理論的先驗感性論。直到19世紀，歐幾里得幾何的魔咒才開始被打破，不僅不同的“平行公理”引出了非歐幾何理論，而且開始出現一種對“數學的算術化”的渴望。20世紀初，隨著量子力學的發展，我們在物理學中看到了一種新畢達哥拉斯主義觀點的迴歸，認為數才是萬物的秘密。如今，雖然歐幾里得可能不再是唯一的權威，但他仍然是最大的權威之一。

公元4世紀，亞歷山大里亞的西翁（Theon of Alexandria，約335-約405）製作了一個《幾何原本》的版本，它被廣泛使用，在19世紀以前一直是唯一倖存的原始版本。公元800年左右，《幾何原本》在阿拔斯王朝的第五任哈里發哈倫·拉希德（Harun al-Rashid，766-809）治下被譯成阿拉伯文。1120年左右，英格蘭自然哲學家巴斯的阿德拉德（Adelard of Bath，約1080-約1152）將《幾何原本》從阿拉伯文譯成拉丁文。第一個印刷版於1482年問世，它所依據的是義大利數學家、天文學家諾瓦拉的坎帕努斯（Campanus of Novara，約1220 – 1296）1260年從阿拉伯文譯成的拉丁文字。西翁的希臘文版於1533年被重新發現。最早的英譯本The elements of geometrie of the most ancient philosopher Euclide of Megara［1］於1570年出版，它是英格蘭商人亨利·比林斯利（Henry Billingsley，？-1606）從希臘文原文直接翻譯的，而不是從廣為人知的坎帕努斯拉丁文字轉譯。最早的漢譯本是1607年利瑪竇和徐光啟合譯出版的，他們所參照的底本是耶穌會數學家克拉維烏斯（Christopher Clavius，1538-1612）的拉丁文評註本《原本十五卷》（Elementorum Libri XV），但只譯出了《幾何原本》的前六卷。直到1857年，偉烈亞力（Alexander Wylie，1815-1887）和李善蘭（1811-1882）才共同譯出了《幾何原本》的後九卷。1808年，法國數學家、教育學家弗朗索瓦·佩拉爾（François Peyrard，1760-1822）在梵蒂岡圖書館發現了一個並非源於西翁的抄本，它所給出的文字要更早。正是根據這個抄本，丹麥語文學家、歷史學家海貝格（Johan Ludvig Heiberg，1854–1928）編輯了帶有拉丁文評註的權威希臘文版《幾何原本》。1908年，英國古典學家、數學史家托馬斯·希思爵士（Sir Thomas L。 Heath，1861-1940）基於海貝格的希臘文版，在劍橋大學出版社出版了權威的英譯本Thirteen Books of Euclid’s Elements，並且附上了大量英文評註，1926年又出版了第二版。目前市面上流行的Dover版三卷本（1956年）正是這個劍橋第二版的影印。

希思的英譯本雖然距今已逾一個世紀，但仍然是最權威的標準譯本。希思深厚的古典學修養和對古希臘數學的精當理解在他那個時代就已經世所公認，至今也是如此。重要的是，今天尚沒有一位研究古希臘數學特別是歐幾里得的學者能夠更好地重新翻譯《幾何原本》。一些人覺得希思的語言過時了或者難以理解，便試圖將《幾何原本》的文字重新改寫成更符合現代讀者習慣的語言，特別是，沒有古代數學史基礎的人往往會有意無意地用今天的概念，而不是歐幾里得所理解和使用的概念來重新表述《幾何原本》中的定義、公設或命題，這是不可取的。如果只是想學習一些幾何學知識，問題倒還不大，但如果想知道歐幾里得究竟是如何思考和呈現其體系的，那麼這樣做只會加深誤解，使我們更加遠離希臘人對幾何學的看法和做法。

目前市面上可見的《幾何原本》中譯本有近十種，但真正付出過嚴肅認真的學術努力的版本只有蘭紀正和朱恩寬翻譯的當代漢語版本（1990年在陝西科學技術出版社出版，2003年修訂再版，後於譯林出版社重新出版），其他譯本則大都粗製濫造、無甚價值。蘭紀正和朱恩寬譯本的底本正是希思的英譯本，但並未把其中的大量評註譯出。在這些評註中，希思對《幾何原本》的源流和版本，每個定義、公理、公設、命題的來龍去脈，以及其中涉及的難以理解的關鍵術語都做了極為詳細的解說，如能將這些內容全部譯出，其重大的學術意義自不待言。但不譯評註也並非沒有好處：首先，希思的版本有三卷、1400多頁，《幾何原本》的不同卷次分散於三卷之中，非常不方便攜帶和查閱；其次，要想在希思版中從一條命題移到下一條命題，往往需要翻過若干頁的評註，這使人很難找到歐幾里得的原文在哪裡繼續，從而就歐幾里得的原有體系形成清晰影象；此外，雖然希思的英譯很好，但並非他的所有評註都恰當和正確。這些評註畢竟是在一百多年前做出的，隨著學術的發展，其中不少內容已經過時，而且希思在很多地方也不可避免用現代的數學概念來解釋歐幾里得，從而產生誤導。

蘭紀正、朱恩寬版的中譯本雖幾經打磨，但仍然包含著不少錯誤。其中一些是難以避免的小錯，比如字母的誤抄和關鍵術語未統一，但也有一些錯誤是因為沒有正確理解原文，這既包括對有些原文句子結構的錯誤理解，也包括我們前面所說的對幾何原本做了過於現代的處理。僅以《幾何原本》第一卷的定義1和定義3為例。定義1的原文是：“A point is that which has no part。”蘭、朱版譯為“點是沒有部分的”，但其實應當譯為“點是沒有部分的東西”。“東西”二字的加與不加，反映了對“點”的本質定義和屬性定義之別。歐幾里得說的是，一個東西只要沒有部分，那就是點。而根據蘭、朱版譯文，就好像“點”除了“沒有部分”這個屬性還有別的什麼屬性似的。定義3的原文是：“The extremities of a line are points。”蘭、朱版譯為“一線的兩端是點”，但其實應當譯為“線之端是點”，原文中並沒有“兩”。歐幾里得說的是，“線”只要有“端”，那就是“點”，但並沒有說“線”有“兩”端，比如圓就是線，但圓並沒有端。之所以有這樣的誤譯，是因為天然把“線”理解成了現在的“直線段”。類似地，我也沒有按照現代數學的理解把歐幾里得所說的“直線”（straight line）譯成“線段”，把“圓周”（circumference）譯成“弧”，甚至沒有把“二倍比”（duplicate ratio）、“三倍比”（triplicate ratio）譯成“二次比”、“三次比”，因為在古希臘和中世紀，我們所說的“比的相乘或相除”被稱為“比的相加或相減”，如果把“倍”譯成“次”，雖然符合現代的理解，但我們閱讀有些古代數學文獻時就會一頭霧水，事實上，這種誤解在科學史上的確導致過嚴重後果。

基於以上考慮，我以希思的英譯文為底本，不揣冒昧地重新翻譯了《幾何原本》的正文，並且儘可能地忠實於原文，不做過分現代的解讀。我還把《幾何原本》各卷的定義、公設、公理、命題題乾的希思英譯文附上，以方便讀者對照。雖然蘭、朱譯本仍有不小改進的餘地，但如果沒有這個譯本先前付出的巨大努力，我是不敢接手這項艱鉅任務的。我深知，改進一個譯本永遠比從無到有的翻譯容易得多，因此我要向蘭紀正、朱恩寬兩位先生的開拓性努力致以深深的敬意。我並非研究古希臘數學和歐幾里得的專家，對希臘語也只知皮毛，譯這部經典名著可謂誠惶誠恐，也倍感榮幸。真誠地期待廣大專家和讀者不吝指正！】）