半導體晶體中電子波函式的形式是什麼?

半導體中電子的狀態——電子的共有化運動

原子擁有很多“殼層”，所有有1s；2s；2p；3s；3p；3d等符號表示。電子平時就生活在這些殼層裡面。但這些都是針對孤立的原子而言。那麼對於組成晶體的半導體而言會發生什麼呢？

這部分只討論電子層面在晶格中的變化，不討論能帶結構，能帶結構會在後面的一節說明。

在原子組成晶體以後，由於原子之間的相互作用，原子之間的軌道會產生交疊，這是原子的外層電子會發生一個神奇的現象。他不在屬於某個特定的原子，而是在交疊的軌道中自由的運動。也就是說現在它屬於整個晶體了。但是它依舊收到晶體的束縛沒辦法運動到其他物理中去。這種電子的“準自由”運動，我們稱之為電子的共有化運動。

那為什麼在半導體晶格中的外層電子這麼自由呢？

接下來透過一組計算來對比外層的“準自由”電子和真正的“自由電子之間的差別～

對於一個自由電子有以下幾個不需要討論的結論：

1。 電子具有波粒二象性（德布羅意說的）

2。 他的動量表達式是：p=mv

3。 他的能量表達式為：E=p^2/2m

根據de Broglie的結論，自由粒子可以用頻率為ν，角頻率為w=2πν，波長為λ的平面波表示：

自由電子的能量和動量與平面波角頻率和波矢之間的關係是：

不知道波矢是什麼的可以看這篇回答。

固體物理，波矢是什麼意思？

為了方便我們這裡只考慮一維的情況

所以這個一維的自由電子的波函式本質上是個平面波。他遵守薛定諤方程，將其帶入到薛定諤方程中：

可以得出以下結論

可以看出，波矢k是連續變化的，所以電子的能量也是連續變化的，這時候所有能量的值都是允許的。即可以從零到無窮大。

我們再來看在晶體中電子的狀態是怎麼樣的

單電子近似告訴我們晶體中電子是獨立的受到原子核和其他電子的勢場中。週期場近似又告訴我們，電子是在與晶格週期相同的週期場當中，

關於這些近似不懂的可以看我上一篇

固體物理學中的三大近似

這個週期場是什麼呢？

布洛赫定理告訴我們，滿足晶體中電子的薛定諤方程的勢場是這種形式：

Uk（x）是個與晶格週期相同的波函式。

這也是個平面波，和自由電子的不同，這個平面波是受到晶體週期性的調製。也就是說這是個調製的平面波。這也是導致晶體中電子波函式和自由電子波函式有區別的原因。

對比兩個結果不難看出，自由電子是自由的！他的能量不受任何束縛。但是晶體中的波函式就不一樣了！他是受到晶體週期調控的平面波。

所以電子在晶體中的運動影象就是：一個被調幅的平面波在晶體中傳播。

這也就是所說的電子的共有化運動，物理影象如下：

貼上自半導體物理