車輛運動學模型數學推導

一般來講車輛模型分兩種：運動學模型和動力學模型。運動學模型旨在通過幾何關係構建車輛模型。而動力學模型透過對運動中的車輛進行受力分析來構建車輛模型。二者有一個明顯的區別，就是運動學模型，無論車速是3km/h，或70km/h，它都認為幾何關係是固定的。而動力學模型由於是基於受力分析，所以不同速度/加速度下，動力學模型是動態變化的。

這篇文章主要介紹車輛運動學模型。

OK，開車，有不對的地方歡迎各位指正和討論！

1，阿克曼轉向

運動學模型基礎是建立在阿克曼轉向幾何理論上的。這個理論假設：車輛轉向時，四個車輪沿同一個轉向圓心走圓弧，車輪處於純滾動狀態且沒有側向加速度。（注：這裡討論的車輛只有兩個前輪具有轉向功能，後輪是不具備轉向能力的（市面上大多數車都是這種）。四輪轉向車輛不在此討論範圍內。）

圖1，阿克曼轉向幾何

根據上圖表示的幾何關係，可以得到兩個車輪轉角之間的數學關係：

（1。1）

後軸中心的轉彎半徑R可以計算得到：

（1。2）

在多數時候，這種簡化的轉向幾何模型可以用來預測車輛內輪偏角和外輪偏角之間的關係。如果實際情況的表現和理論有較大出入，則大概是因為車輛轉向過程中存在橫向側滑或者輪胎運轉時存在過度摩擦。

2，腳踏車運動學模型

腳踏車模型將車輛簡化表示為一個前輪和一個後輪，很多運動學公式都是建立在這個簡化的基礎上。該模型如圖2所示，其中X-Y表示全域性座標系，xb-yb表示基於車輛後軸中心的車輛座標系。前輪偏角

表示前輪平均轉角。

圖2，腳踏車運動學模型

根據前輪平均偏角

和後軸中心的速度

，可以計算車輛的橫擺角速度：

式（1。3）

式（1。3）是先計算後軸中心的轉彎半徑，然後用後軸中心的速度除以半徑得到橫擺角速度。

進一步，根據橫擺角計算車輛在全域性座標系X-Y上的分速度：

式（1。4）

依據式（1。3）和（1。4）可以推算車輛橫擺角和車輛後軸中心座標。

3，四輪運動學模型

上面介紹的腳踏車模型，將兩個前輪兩個後輪合二為一簡化成類似腳踏車的樣子。如果不進行這一步簡化的話也沒問題。我們也可以在四個輪子健全的基礎上計算。文獻中稱這種模型為double track model，四輪運動學模型只是我隨便起的名字。

按照圖1表示的四輪模型，這一次使用車輛前輪中的轉向內輪轉角

計算車輛橫擺角速度：

式（1。5）

式（1。5）的計算思路是，先根據內輪轉角計算出車輛後輪的內輪轉彎半徑，進而得到後軸中心的轉彎半徑，最後計算出車輛的橫擺角速度。照這個相同的思路，也完全可以使用車輛前輪中的轉向外輪轉角

來計算車輛的橫擺角速度。

現在，依據式（1。5）和（1。4）也可以推算車輛橫擺角和車輛後軸中心座標。

4，車輪轉角的之間的相互推算

在運動學模型中，前輪平均轉角為轉向內輪和轉向外輪的平均值。即：

式（1。6）

結合式（1。6）和式（1。1），可以從 轉向內輪偏角

計算前輪平均轉角

：

式（1。7）

根據式（1。7），也可以反推出如何從前輪平均轉角

得到轉向內輪偏角