丹德林雙球推導？

擇夢舟2022-02-26 01:41:19

原文章肯定比這篇文章系統一些：

【解析幾何】圓錐曲線的幾何定義

Dandelin 雙球模型

①橢圓的獲得

過圓錐作一截面與所有母線都相交，在截面的兩側分別放置一球，使它們都與截面相切（切點為

），又分別與圓錐面的側面相切（兩球與側面的公共點分別構成

），在所得的截線上任取一點M，過M點作圓截面的一條母線分別交

於

兩點，則

都是過點M分別向兩球所作的切線長，因為過球外一點作球的切線長相等，所以

，從而有

（常數），可見，此截線就是橢圓曲線。

②雙曲線的獲得

作一截面平行於圓錐的軸，兩個球都與圓錐面相切，切點軌跡分別是

，同時兩球分別於球面切於點

，設M是截線上任意一點，則

是由點M分別向兩個球所作的切線長，於是有

，又圓錐過點M的母線與兩球分別切於

兩點，

（常數），可見，此截線就是雙曲線。

③拋物線的獲得

設圓錐的母線與圓錐軸線的夾角為

，作圓錐的一個截面

，使平面

與對稱軸

所成的角也為

，則圓錐面上存在一條母線

與平面

平行

（簡證：作一平面

與圓錐軸線垂直，記平面

與軸線交點為

，從而得到截線

，平面

與

的交線為

，過

作

於

，交

於

兩點，則顯然有軸

，

，

平面

，所以平面

延長

與平面

交於一點

，則

是軸線

在平面

的射影，所以

是軸線與平面

所成的角，即

，所以

，從而

）

作一球與圓錐面相切，切點軌跡是

，同時球與截面

切於點

，設

是截線上任意一點，則

是由點

向球所作的切線長，又圓錐過點

的母線與球於點P。設

所在的平面為

，作

，垂足為

，設截面

與平面

交於

，作

，垂足為

，則

，

根據空間等角定理，有

，因為

，所以

，從而

，

所以有

，而

， 所以

，可見，此截線就是拋物線。

綜上所述，不難看出Dandelin雙球（拋物線只要其中一球）在得出圓錐曲線過程中的作用，即巧妙地利用了“球的一切線長相等”（類比平面中的“圓的切線長相等”）的定理把曲線上任意一點到焦點的距離作了轉化，要麼轉化到同一條母線上，如①和②，要麼是轉化為點到直線的距離，如③。

我們還需要了解一個結論：

截得的圓錐曲線的

離心率

等於截面和圓錐軸的夾角的餘弦與圓錐頂角

一半

的

餘弦

之比。