集合與邏輯用語

第一節 集 合

一、基礎知識

1．集合的有關概念

（1）集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性．

元素互異性，即集合中不能出現相同的元素，此性質常用於求解含引數的集合問題中．

（2）集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法．

（3）元素與集合的兩種關係：屬於，記為；不屬於，記為。

（4）五個特定的集合及其關係圖：

N*或N＋表示正整數集，N表示自然數集，Z表示整數集，Q表示有理數集，R表示實數集．

2．集合間的基本關係

（1）子集：一般地，對於兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，則稱A是B的子集，記作A⊆B（或B⊇A）．

（2）真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一個元素不屬於A，則稱A是B的真子集，記作AB或BA。

AB⇔A≠B。

A⊆B，

既要說明A中任何一個元素都屬於B，也要說明B中存在一個元素不屬於A。

（3）集合相等：如果A⊆B，並且B⊆A，則A＝B。

兩集合相等：A＝B⇔A⊇B。

A⊆B，

A中任意一個元素都符合B中元素的特性，B中任意一個元素也符合A中元素的特性．

（4）空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．記作∅。

∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅}，0∈{0}，∅⊆{0}．

3．集合間的基本運算

（1）交集：一般地，由屬於集合A且屬於集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

（2）並集：一般地，由所有屬於集合A或屬於集合B的元素組成的集合，稱為A與B的並集，記作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

（3）補集：對於一個集合A，由全集U中不屬於集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對於全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作∁UA，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}．

求集合A的補集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其實是給定的條件。從全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素構成的集合即為∁UA。

二、常用結論

（1）子集的性質：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B。

（2）交集的性質：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A。

（3）並集的性質：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A。

（4）補集的性質：A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝∅，∁U（∁UA）＝A，∁AA＝∅，∁A∅＝A。

（5）含有n個元素的集合共有2n個子集，其中有2n－1個真子集，2n－1個非空子集．

（6）等價關係：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B。

第二節 命題及其關係、充分條件與必要條件

一、基礎知識

1．命題的概念

用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。

2．四種命題及其相互關係

3．充分條件、必要條件與充要條件

（1）如果p⇒q，則p是q的充分條件；

①A是B的充分不必要條件是指：A⇒B且B推不出來A；

②A的充分不必要條件是B是指：B⇒A且A推不出來B，在解題中要弄清它們的區別，以免出現錯誤．

（2）如果q⇒p，則p是q的必要條件；

（3）如果既有p⇒q，又有q⇒p，記作p⇔q，則p是q的充要條件．

充要關係與集合的子集之間的關係

設A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，

①若A⊆B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．

②若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件．

③若A＝B，則p是q的充要條件．

二、常用結論

1．四種命題中的等價關係

原命題等價於逆否命題，否命題等價於逆命題，所以在命題不易證明時，往往找等價命題進行證明．

2．等價轉化法判斷充分條件、必要條件

p是q的充分不必要條件，等價於非q是非p的充分不必要條件．其他情況以此類推．