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一道橢圓題及其相關性質

作者：由 overvideo 發表于體育時間：2022-02-08

在“2022年江西五校高三聯考”試卷中有如下題目（第一問略去）：

題目:

已知橢圓

：

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$

的左右焦點分別為

$F_{1}$

，

$F_{2}$

，

為座標原點。若

，

為

軸上兩點，且兩點的橫座標之積為4。過

點的直線交

於

兩點，直線

與

的另一個交點為

（

異於點

），直線

與

的另一個交點為

（1）設

關於

軸的對稱點為

，求證：

三點共線；

（2）若A

，記

$\triangle ONT,\triangle OMS$

的面積分別為

$S_{1},S_{2}$

，求

$S_{1}+2S_{2}$

的取值範圍

本題比較簡單，影象如下：

第二問在第一問證明出B，N，P三點共線後可以想到P應當與T是同一個點，便不難得到：

$S_{1} = S_{2}$

且

$k_{BM} + k_{BN}=0$

於是可以進一步求出任一三角形的面積，並得到結果

$(0,3\sqrt{2}]$

我們由這道題，不難發現題目中給我們了條件“橫座標之積為4”，而4恰好是第一問求出的

，我們可以猜想，是否對於任意的橢圓

：

$\frac{x^{2}}{a^2} + \frac{y^{2}}{b^2} = 1$

都有：

對於

軸上任意兩點

，若其橫座標之積為

，過其中一點

所作直線

交橢圓

於點

，則

$k_{BM} + k_{BN}=0$

下面給出一種比較常規的證明：

設點

座標為

，則點

座標為

$(\frac{a^2}{m},0)$

顯然直線

斜率不為0，那麼設直線

方程為

與橢圓方程聯立得：

由韋達定理得：

$y_{M}+y_{N}=\frac{-2mnb^2}{b^2n^2+a^2}$

$y_{M}y_{N} = \frac{b^2(m^2-a^2)}{b^2n^2+a^2}$

則

$k_{BM}+k_{BN}=\frac{y_{M}}{x_{M}-\frac{a^2}{m}}+\frac{y_{N}}{x_{N}-\frac{a^2}{m}}$

將

$x_{M}，x_{N}$

代入並化簡得

$k_{BM}+k_{BN}=\frac{2n y_{M} y_{N} +(m - \frac{a^2}{m})(y_{M}+y_{N})} {(my_{M}-\frac{a^2}{m}+n)(my_{N}-\frac{a^2}{m}+n)}$

再代入

$y_{M}y_{N},y_{M+}y_{N}$

得

$2n y_{M} y_{N} +(m - \frac{a^2}{m})(y_{M}+y_{N})=0$

於是命題得證

碼字比較亂，有錯誤歡迎指明，最後留下一個問題供思考：

當

為雙曲線時該命題是否仍成立？

（文章水平很低，還請輕噴QAQ）

標簽：直線之積橢圓橫座標兩點

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