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一道非對稱型的橢圓題

作者：由羽悠發表于體育時間：2020-02-12

前言：這是本校高二普通班

周測

的一道壓軸題，然後全軍覆沒，傳到我們這個層之後引發了老師和學生們的討論，不知道最後結果怎麼樣了。我想了幾分鐘就做出來了，下面來分享我的

作法

。

已知橢圓

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

，點A、B分別為橢圓的

左右頂點

，點P為（1，0），直線MN為過P點的一條弦，弦中點為R，直線OR交x=4與點Q，求證

$k_{BN}(k_{AM}-k_{PQ})$

為定值。

這種題目一看就知道不可能用

韋達定理

做出來，因為不對稱，如果是設直線MN的話點MN的

座標

可以表示，但結論是無論如何也變不成

$x_{1}+x_{2},x_{1}x_{2}$

的形式的。

所以我們換一種思路，直接設其中的AM的斜率為k。至於為什麼，因為這樣做可以很快把AM、BN和MN的斜率表示出來，然後因為R是弦MN的中點，所以OR與MN的斜率乘積是定值，Q就很好表示了，然後PQ的斜率也很好表示了，最後就是顯然了。總而言之就是很多的二級結論的應用。

解：先寫出MN與PQ間的斜率關係：

因為

$k_{OR}k_{MN}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{4}\Rightarrow k_{OR}=-\frac{1}{4k_{MN}}$

易得Q為

$(4,-\frac{1}{k_{MN}})$

則

$k_{PQ}=\frac{-\frac{1}{k_{MN}}-0}{4-1}=-\frac{1}{3k_{MN}}$

設

$k_{AM}=k$

，則

$k_{BN}=3k$

這個結論可以有

蝴蝶定理

做出來，也可以更麻煩一點，先推出

$k_{AM}k_{AN}=定值，k_{AN}k_{BN}=定值$

，然後就可以了。

下面介紹蝴蝶定理解法：

過點P做直線l交直線AM、BN與C、D兩點，則根據蝴蝶定理，PC=PD

則

$\frac{k_{AM}}{k_{BN}}=\frac{\frac{CP}{AP}}{\frac{DP}{BP}}=\frac{BP}{AP}=\frac{1}{3}\Rightarrow k_{BN}=3k$

得證

還可以推出

$k_{MN}=\frac{-4k}{12k^2-1}$

。

這個結論比較麻煩，可以先聯立直線AM與橢圓，解出點M的座標然後得到MP的斜率，也可以直接用曲線系解出。下面介紹曲線系解法：

又上面的推論可以設：

則

$(k(x+2)-y)(3k(x-2)-y)+\lambda(\frac{x^2}{4}+y^2-1)=y(Ax+By+C)$

對比左右兩邊x的

二次項係數

可得：

$3k^2+\frac{1}{4}\lambda=0\Rightarrow \lambda=-12k^2$

，則

$(k(x+2)-y)(3k(x-2)-y)-12k^2(\frac{x^2}{4}+y^2-1)=y(Ax+By+C)$

$\Rightarrow -3k(x-2)y-k(x+2)y+y^2-12k^2y^2=y(Ax+By+C)$

$\Rightarrow MN:Ax+By+C=-3k(x-2)-k(x+2)+y-12k^2y=0$

$\Rightarrow k_{MN}=\frac{-4k}{12k^2-1}$

，得證

所以

$k_{PQ}=-\frac{1}{3k_{MN}}=\frac{12k^2-1}{12k}=k-\frac{1}{12k}$

最後帶入得

$k_{BN}(k_{AM}-k_{PQ})=3k(k-(k-\frac{1}{12k}))=\frac{1}{4}$

得證

標簽： MN 斜率 am 直線定理

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