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圓周運動的公式都要背嗎？怎麼背?

作者：由左手天下發表于體育時間：2020-02-18

薛定諤的加菲貓2020-02-18 22:02:31

用的多了就記住了，不用背。

以向心加速度為例，只需背過

$a_n=\frac{v^2}{r}$

即可，雖然這個的推導過程就在書上，不過高中不要求掌握，至於剩下的向心加速度式子可以自行推出來。

比如，我們知道週期是轉一週的時間，也就是：

$T=\frac{2\pi r}{v}\tag{1}$

那麼（1）與上面的

$a_n=\frac{v^2}{r}$

聯立消去

就得到了：

$a_n=\frac{4\pi ^2}{T^2}r\tag{2}$

定義角速度

$\omega$

為單位時間轉過的角度，即：

$\omega=\frac{2\pi}{T}\tag{3}$

（2）（3）聯立消去

就得到了：

$a_n=\omega ^2r\tag{4}$

由此我們就得到了向心加速度最常用的三種形式

$a_n=\frac{v^2}{r}=\frac{4\pi ^2}{T^2}r=\omega ^2r$

，接下來多做點題自然就能記住了，完全不需要刻意背，一定要理解每一個物理量的含義，需要推導的一定要自己動手推導不要懶。

當然圖中還有三種形式，我就一一給你推一遍。

（1）（3）聯立消去週期

可以推出速度與角速度之間的關係：

$v=\omega r\tag{5}$

（4）（5）聯立消去半徑

可得：

$a_n=\omega v\tag{6}$

定義轉速

為單位時間轉過的圈數，那麼單位時間轉過的角度（即角速度）為：

$\omega=2\pi n\tag{7}$

代入（4）可得：

$a_n=4\pi ^2n^2r\tag{8}$

頻率

在圓周運動中很少用，通常是用在對各種“波”的描述上，表示單位時間內完成周期性變化的次數，在圓周運動中含義與轉速

相同，所以直接有：

$a_n=4\pi ^2f^2r\tag{9}$

至此（2）（4）（6）（8）（9）和

$a_n=\frac{v^2}{r}$

就構成了你在書上看到的下面這個連等

$a_n=\frac{v^2}{r}=\omega ^2r=\frac{4\pi ^2}{T^2}r=4\pi ^2n^2r=4\pi ^2f^2r=\omega v$

以上這些過程都不是靠背誦才記住的，只有理解了每個符號的具體含義，勤動手，多推導，才能用起來遊刃有餘。

hoh2020-02-19 14:39:51

引用我們老師的一句話：“抓住特徵，抓住主要特徵，當堂背下來，別等著以後。”

其實，物理公式描述的是物理的基本概念，定義，或者是物理現象，以及它們之間的關係。對這些概念有一個清晰的理解之後是無需記憶的。

向心加速度這部分內容涉及到物理學中的很多基本概念，

注意圓周運動是週期性運動，很多概念在物理學各個領域應用廣泛。

可以看看它們都是什麼：

一個單位：

弧度

弧長等於半徑的弧，其所對的圓心角為1弧度。

設這個角為

$\theta$

弧長為

半徑為

則

$\theta=\frac l r\tag{1}$

先看基本物理量：

週期

若一組事件或現象按同樣的順序重複出現，則把完成這一組事件或現象的時間或空間間隔，稱為

週期

。

在勻速圓周運動這一部分，週期可以看作是物體運動一圈所耗費的時間。用T表示。單位是s。

頻率

頻率

是

單位時間內

完成周期性變化的次數，是描述週期運動頻繁程度的量，常用符號f或ν表示，單位為秒分之一。

週期是n 秒每次頻率就是

$1\over n$

次每秒，

所以週期T與頻率f有

$f=\frac 1 T\tag{2}$

的關係。單位是赫茲，1Hz=

。

轉速

轉速

（Rotational Speed或Rev）是做圓周運動的物體單位時間內沿圓周繞圓心轉過的圈數（與頻率不同）。

用n來表示，頻率與轉速在數值上相等，單位是

。

以上概念必須熟悉定義及表示式。再來看幾個複雜一點的物理量：

線速度

線速度其實與速度是同一個概念

$v=\frac{\Delta s}{\Delta t} \tag{3}$

是位移對時間的瞬時變化率，勻速圓周運動中可以使用路程代替位移。

用

$\Delta t$

對應的弧長也可代替定義式中的路程。

如果透過一個週期T計算勻速圓周運動中的線速度，由此時

$\Delta s=2\pi r \tag{4}$

是軌跡圓的周長，所以我們有

$v=\frac {2\pi r}{T}=2\pi r \frac 1 T \tag{5}$

由

$f=\frac{1}{T} \tag{2}$

我們又有

$v=2 \pi rf \tag{6}$

由於轉速與頻率在數值上相等，我們還有

$v=2\pi rn \tag{7}$

單位是m/s。

角速度

一個以弧度為單位的圓（一個圓周為2π，即：360度=2π），在單位時間內所走的弧度即為角速度。

$\omega=\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \tag{8}$

角速度是角度關於時間的瞬時變化率。

注意到

$\Delta\theta=\frac{\Delta s}{r} \tag{9}$

我們有

$\omega=\frac {\Delta s}{\Delta t}\frac 1 r=\frac v r \tag{10}$

所以得到關係式

$v=\omega r\tag{11}$

同樣，考慮一個週期T，我們有

$\omega=\frac {2\pi}{T}\tag{12}$

$v=\frac {2\pi r}{T}\tag{13}$

也可以得到線速度與角速度的關係式。

關係式表明，在圍繞某點以相同角速度旋轉的各點，距離該點越遠（即轉動半徑越大），則線速度越大。

由

$\omega=\frac {2\pi}{T}\tag{12}$

同樣由

$f=\frac 1 T\tag{2}$

得到

$\omega=2\pi f\tag{14}$

$\omega=2\pi n\tag{15}$

向心加速度

強烈推薦題主學會該加速度的推導。此處不再贅述。

參見

向心力加速度公式 a=v²/r 是怎麼推匯出來的（要詳細過程）？

為什麼勻速圓周運動的加速度指向圓心？

我認為最巧妙的方法是對位移向量求二階導，不過這需要一定的向量和導數知識，可以得到

$a_n=\omega^2 r\tag{16}$

不過教科書上的方法也需要掌握，向量三角形與位移半徑三角形的相似在解題過程中應用廣泛，可以得到

$a_n=\frac {v^2} r\tag{17}$

上述兩個方程可以透過

$v=\omega r$

轉化。

所以

$a_n=\frac{v^2}{r}=\frac{v·v}{r}=\frac{\omega rv}{r}=\omega v \tag{18}$

如果上述概念已經清楚，我們不難發現關於向心加速度公式的實質。

$a_n=\omega^2r=(\frac{2\pi}{T})^2r=(2\pi f)^2r=(2\pi n)^2r=\omega v\tag{19}$

所以不要把目光僅僅停留在公式的複雜程度上，對每一的概念的深刻理解是我們理清思路不可缺少的條件。

另外，兩個有趣的關係式

$a=\omega v \tag{20}$

$v=\omega r \tag{21}$

預示著v與r，a與v之間可能有某種對應關係。

關於這個問題，參見

為什麼勻速圓周運動的加速度指向圓心？

中

@王進一

的回答

g00dm0rning2020-02-22 01:11:34

理解了這個公式是怎麼來的，就不需要背了。

然後帶入各種角速度和線速度的換算公式，就可以得到各個公式了

磨磨默默2020-02-29 04:32:40

https：//

b23。tv/av23804522

希望對你有些幫助

神魔協奏2020-03-04 08:41:06

圓周運動公式，本質上都是描述加速度與曲率半徑的關係的公式，都一樣

標簽：加速度角速度單位線速度公式

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