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高中物理圓周運動知識點總結

作者：由佐木發表于舞蹈時間：2022-03-03

圓周運動是高考必考的三大基本運動之一。前兩個基本運動是勻變速直線運動和平拋運動。

我們先從圓周運動的基本知識開始，首先就是圓周運動的基本物理量的理解。我們都知道圓周運動有線速度、角速度、週期、向心加速度和向心力這些物理量。那我們就一個一個地來理解吧！

線速度

和角速度

$\omega$

設一個物體做勻速圓周運動，在時間

內從A點運動到B點，掃過的弧長為

，掃過的圓心角為θ，如下圖所示。則

$v=\frac{l}{t}$

，

$\omega=\frac{\theta}{t}$

當物體從A點出發運動一週回到A點，則

，

$l=2\pi R$

，

$\theta=2\pi$

：（

為物體做勻速圓周運動的週期）

$v=\frac{l}{t}=\frac{2\pi R}{T}$

，

$\omega=\frac{\theta}{t}=\frac{2\pi}{T}$

綜合上面這兩個式子，可得

$v=\omega R$

。

轉速n：

轉速代表物體做圓周運動時1s內轉過的圈數，而角速度

$\omega$

代表1s內轉過的弧度。

它們之間的關係是：

$\omega=2\pi\cdot n$

。

向心加速度

：

$a_向=\frac{v^2}{R}=\omega^2R=\frac{4\pi^2}{T^2}\cdot R=\omega v$

特點：方向永遠指向圓心。

向心力

：

$F_向=ma_向=m\frac{v^2}{R}=m\omega^2R=m\cdot\frac{4\pi^2}{T^2}\cdot R$

向心力是按效果命名的力，不是某種性質的力，因此，向心力可以由某一個力提供，也可以由幾個力的合力提供，要根據物體受力的實際情況判定．

向心力公式：

向心力公式是六大關鍵公式之一，它可以說是六大關鍵公式裡面最簡單的公式了。

那麼寫向心力公式的基本步驟是什麼呢？

明確研究物件，確定位置（定點）；

受力分析；

確定向心力方向；

如果存在與向心力方向既不垂直也不平行的力，應正交分解；

把所有與向心力方向垂直的力去掉；

把向心力方向上的力減去另一方向上的力即得到向心力，列出向心力公式。

這個步驟是針對初學者或者是這個一塊內容學得不好的同學準備的，所以這一塊內容已經完全沒有問題的同學可以繞道哈！

那麼接下來我就以兩個例子來說明一下這個步驟到底應該怎麼用。

第一個例子：

在這個例子中，小球正好運動到圓軌道的最低點，此時的速度大小為v。

第一步：確認研究物件為小球，對最低點對小球使用向心力公式；

第二步：對小球進行受力分析，小球受到了豎直向下的重力，豎直向上的支援力，向左的摩擦力，還有一個斜向右下方的外力F；（

注意：受力分析的時候一定不能把向心力畫出來，因為向心力不是一個實際存在的力。很多同學剛開始學的時候就會把向心力畫出來，結果不管怎麼寫，都會指式子寫錯

）

第三步：因為向心力始終指向圓心，所以向心力的方向豎直向上；

第四步：因為存在既不與向心力垂直，也不與向心力平行的外力F，所以需要把這個力正交分角，往垂直向心力和平行向心力的方向分解，得到

$Fcos\theta$

和

$Fsin\theta$

這兩個分力；

第五步：把所有與向心力垂直的力全部去掉，這裡就是把摩擦力

和

$Fcos\theta$

這兩個力去掉。因為這兩個力不提供向心力，只有與向心力方向平行的力才能提供向心力；

第六步：把向心力方向上的力減去另一方向上的力就是向心力，在這裡寫出來就是

$F_N-mg-Fsin\theta=m\frac{v^2}{R}$

。

這個步驟確實是有一點繁瑣，但是對於新手而言確實很友好。等這個向心力公式熟練之後，步驟就會簡化，不會有這麼複雜了。

那麼接下來我們再來看另一個例子：

在這個例子中，此時小球正好運動到豎直軌道的最右邊，速度為

。

根據向心力公式步驟，我們對此時小球進行受力分析，小球受到豎直向下的重力和水平向左的支援力

。

因為向心力的方向指向圓心，所以不存在與向心力既不垂直也不平行的力，所以不需要正交分解；

因為重力的方向與向心力垂直，所以重力提供不了向心力，把重力去掉。則只有支援力

提供向心力。

根據向心力公式，即得到此時的向心力公式為

$F_N=m\frac{v^2}{R}$

。

接下來我們就開始圓周運動的基本模型，首先來講解第一個模型，也就是比較常見的鏈條模型

鏈條模型

要點：在同一根鏈條上的所有點線速度大小相等，圍繞同一點做圓周運動的所有點角速度相等

因為

點和

點在同一根鏈條上面，所以

點和

點線速度大小相等，即

；

因為

、

和

點都是圍繞同一個圓心轉，所以

、

和

點的角速度相等，即

$\omega_b=\omega_c=\omega_d$

。

再依據

$v=\omega R$

得：

；

$\omega_a：\omega_b：\omega_c：\omega_d=2：1：1：1$

。

接下來我們就以兩個例題來實際理解一下鏈條模型的解題方法。

例題1：腳踏車的小齒輪

A

、大齒輪

B

、後輪

C

是相互關聯的三個轉動部分，且半徑

、

。當腳踏車正常騎行時，

A

、

B

、

C

三輪邊緣的向心加速度的大小之比

等於（）

A．1：1：8 B．4：1：4 C．4：1：32 D．1：2：4

解析：因為小齒輪A和後輪C圍繞同一根軸旋轉，所以

$\omega_A=\omega_C$

，因為小齒輪A和大齒輪B透過鏈條連線，所以

。

因為公式

$a_向=\omega^2r$

和

可得：

；

因為公式

$a_向=\frac{v^2}{r}$

和

可得：

；

綜合在一起就是：

，C選項正確。

例題2：如圖所示，水平放置的兩個用相同材料製成的輪

P

和

Q

靠摩擦轉動，兩輪的半徑

。當主動輪

Q

勻速轉動時，在

Q

輪邊緣上放置的小木塊恰能相對靜止在

Q

輪邊緣上，此時

Q

輪轉動的角速度為

$\omega_1$

，木塊的向心加速度為

；若改變轉速，把小木塊放在

P

輪邊緣也恰能靜止，此時

Q

輪轉動的角速度為

$\omega_2$

，木塊的向心加速度為

，則（）

A．

$\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{1}{2}$

B．

$\frac{\omega_1}{\omega_2}=\frac{\sqrt{2}}{1}$

C．

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{1}$

D．

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{2}$

解析：當主動輪

Q

勻速轉動時，在

Q

輪邊緣上放置的小木塊恰能相對靜止在

Q

輪邊緣上，則此時小木塊所受的最大靜摩擦力提供向心力，根據公式，

$\mu mg=m\omega_1^2r$

，得

$\omega_1=\sqrt{\frac{\mu g}{r}}$

；

$a_1=\omega^2r=\mu g$

；

若改變轉速，把小木塊放在

P

輪邊緣也恰能靜止，則此時小木塊也是最大靜摩擦力提供向心力。根據公式

$\mu mg=m\omega^2R$

，得到此時小木塊的角速度

$\omega=\sqrt{\frac{\mu g}{R}}$

；

根據公式

$a=\omega^2R$

，得

$a_2=\mu g$

；

因為P輪和Q輪的邊緣連線在一起，所以P輪和Q輪邊緣的線速度相等，即

。

因為小木塊此時在P輪的邊緣運動，則此時小木塊的線速度就是P輪的線速度，即

$v_P=v=\omega R=\sqrt{\mu gR}$

此時Q輪轉動的角速度為

$\omega_2=\frac{v_Q}{r}=\frac{v_P}{r}=\frac{\sqrt{\mu gR}}{r}$

。

所以

$\frac{a_1}{a_2}=\frac{1}{1}$

，

$\frac{\omega_1}{\omega_2}=\sqrt{\frac{r}{R}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

；所以只有C選項是正確的。

向心運動和離心運動

物體B圍繞O點做勻速圓周運動需要的向心力

$F_向=m\frac{v^2}{R}$

；

為物體B實際受到的力；

當

時：物體B沿著軌道做勻速圓周運動；

當

時：物體B沿著軌道b做離心運動；

當

時，物體B沿著軌道c做向心運動。

當

時，物體B沿著軌道a做勻速直線運動，意思就是當物體受到的所有力都突然消失時，物體就會沿著原來的運動方向做勻速直線運動。

剛剛分析完圓周運動的兩個基本模型，接下來的模型就要分為兩部分：水平方向上的圓周運動和豎直方向上的圓周運動。

我們先來理解一下水平面的圓周運動的基本模型有哪些。

汽車、火車轉彎模型

內低外高

如果在城市中的十字路口，當汽車要轉彎的時候，也需要一個向心力。但這時候的向心力只能夠透過汽車所受的側向摩擦力來提供，所以汽車此時會往外偏。這個時候對汽車外側的輪胎擠壓會非常大。如果此時汽車的速度過快，導致側向摩擦力提供不了向心力時，汽車就會發生翻車事故。

當然在城市裡，由於地形的緣故，十字路口一定會建成水平路面。但是在賽車軌道，高速路和火車軌道上，沒有這麼多的限制，在轉彎路口就會建成內低外高。這到底遵循了什麼原理呢？這裡面又有多少考點呢？我們接下來一一解決。

當轉彎路口建成內低外高時，因為汽車此時會受到豎直向下的重力和垂直斜面向上的支援力。這兩個力的合力不為0，並且水平指向低的那一端。這個力就是天然的向心力。

當汽車完全不受側向摩擦力時，由

$F_向=mgtan\theta=m\frac{v_0^2}{R}$

得：

$v_0=\sqrt{gRtan\theta}=\sqrt{\frac{gRh}{L}}$

。

當車子速度等於

時，汽車不會受到側向摩擦力，火車對內外軌均無側向擠壓，安全係數最高；

當車子速度小於

時，汽車受到向外的側向摩擦力，火車對內軌存在側向擠壓；

當車子速度大於

但小於某一臨界速度時，汽車受到向內的側向摩擦力，火車對外軌存在側向擠壓但不會脫軌；

當車子速度大於某一臨界速度時，汽車翻車，火車脫軌。

的大小與地面的摩擦力無關。

例題3：公路急轉彎處通常是交通事故多發地帶．如圖，某公路急轉彎處是一圓弧，當汽車行駛的速率為

時，汽車恰好沒有向公路內外兩側滑動的趨勢．則在該彎道處（）

A．路面外側高內側低

B．車速只要低於

，車輛便會向內側滑動

C．車速雖然高於

，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側滑動

D．當路面結冰時，與未結冰時相比，

的值變小

解析：因為當汽車的速率為

時，汽車恰好沒有向公路內外兩側滑動的趨勢，所以

是汽車重力和支援力的合力提供向心力時的速度，其大小為

$v_c=\sqrt{gRtan\theta}=\sqrt{\frac{gRh}{L}}$

。根據這一條件可知：路面一定是外側高內側低。因為水平路面轉彎時，一定需要側向摩擦力提供向心力，所以汽車一定有向外滑動的趨勢。A選項正確。

當汽車的速度等於

時，汽車最安全。但是不是說只要車速小於

，汽車就會往內側滑動，因為汽車還存在側向靜摩擦力。所以B選項錯誤。

當汽車的速度高於

時，汽車就有向外側滑動的趨勢。但是隻要汽車的速度沒有讓汽車所受的側向靜摩擦力達到最大靜摩擦力，汽車就不會向外側滑動。C選項正確。

的大小與摩擦力無關，所以當路面結冰時，

的值不變。D選項錯誤。

更多更詳細的內容請關注我編寫的高中物理教輔資料《高中物理知識模型探究與實踐·力學篇》一書。

圓盤模型

滑塊放在圓盤上，依靠靜摩擦力提供向心力，隨圓盤一起以圓心O點做勻速圓周運動的模型叫圓盤模型。

在圓盤上，沒有任何兩個點的線速度相同，但是所有點的角速度相等。

如果遇到以下幾類問題：

隨著圓盤轉速的增大，哪個滑塊先發生滑動？

為了使所有滑塊都不發生相對滑動，圓盤的角速度至少為多少？

為了使所有滑塊能隨圓盤一起轉動，圓盤的角速度的最小值為多少？

解決辦法均為：

用滑塊的最大靜摩擦力算出使滑塊發生相對滑動的臨界角速度

$\omega$

；

臨界角速度最小的滑塊最先發生滑動；

最小的臨界角速度即為圓盤的角速度的最小值。

動態分析：

當滑塊所受的靜摩擦力為最大靜摩擦力，繩子拉力為0時，則

$\mu mg=m\omega_1^2L$

（

為繩子的長度）；

當滑塊所受的靜摩擦力為最大靜摩擦力，繩子拉力為最大值

時，則

$\mu mg+T_m=m\omega_2^2L$

。

當

$0<\omega\leq\omega_1$

時：隨著

$\omega$

的增大，滑塊所受的靜摩擦力變大，繩子始終無拉力；

當

$\omega_1\leq\omega\leq\omega_2$

時：隨著

$\omega$

的增大，滑塊所受的靜摩擦力不變，等於最大靜摩擦力，繩子拉力變大。

例題4：如圖所示，小木塊a、b和c （可視為質點）放在水平圓盤上，a、b兩個質量均為m， c的質量為

$\frac{m}{2}$

。a與轉軸OO′的距離為

，b、c與轉軸OO′的距離為

且均處於水平圓盤的邊緣。木塊與圓盤的最大靜摩擦力為木塊所受重力的

倍，重力加速度大小為

，若圓盤從靜止開始繞轉軸緩慢地加速轉動，下列說法正確的是（）

A．b、c所受的摩擦力始終相等，故同時從水平圓盤上滑落

B．當a、b和c均未滑落時，a、c所受摩擦力的大小相等

C．b和c均未滑落時線速度一定相等

D．b開始滑動時的轉速是

$\sqrt{2kgl}$

解析：想要分析小木塊a、b、c誰先發生相對滑動，最好的方法是求出三個小木塊相對圓盤發生相對滑動的臨界角速度。哪個小木塊的臨界角速度最小，哪個小木塊就先發生相對滑動。

小木塊a：

$kmg=m\omega_a^2l$

，所以小木塊a的臨界角速度的大小為

$\omega_a=\sqrt{\frac{kg}{l}}$

；

小木塊b：

$kmg=m\omega_b^2\cdot 2l$

，所以小木塊b的臨界角速度的大小為

$\omega_b=\sqrt{\frac{kg}{2l}}$

；

小木塊c：

$k\cdot \frac{m}{2}\cdot g=\frac{m}{2}\cdot\omega_c^2\cdot 2l$

，所以小木塊c的臨界角速度的大小為

$\omega_c=\sqrt{\frac{kg}{2l}}$

；

因為小木塊b和小木塊c的臨界角速度相同，所以小木塊b和c會同時從水平圓盤上滑落。但是在小木塊b和c從水平圓盤上滑落之前，小木塊b和c受到的摩擦力為靜摩擦力，其大小需要使用向心力公式來解決。則：

小木塊a：

$f_a=m\omega^2l$

；

小木塊b：

$f_b=m\omega^2\cdot 2l=2m\omega^2l$

；

小木塊c：

$f_c=\frac{m}{2}\cdot\omega_c^2\cdot 2l=m\omega^2l$

；

所以在小木塊b和c從水平圓盤上滑落之前，小木塊b和c受到的摩擦力大小不相等。A選項錯誤。

但是在小木塊a、b和c均未從水平圓盤上滑落之前，a、c所受摩擦力的大小相等。B選項正確。

因為小木塊b和c的線速度方向不同，所以小木塊b和c的線速度不相同。C選項錯誤。

小木塊b從水平圓盤上滑落的臨界角速度為

$\omega_b=\sqrt{\frac{kg}{2l}}$

，所以小木塊b開始滑動時的轉速可以使用公式

$\omega=2\pi n$

求出得

$n=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\cdot \sqrt{\frac{kg}{2l}}$

。D選項錯誤。

圓錐擺模型

此類圓錐擺模型的典型問題：給你兩個角速度

$\omega_1$

和

$\omega_2$

，問小球在這兩個角速度的情況下受到斜面的支援力和繩子拉力分別為多少？

圓錐擺的這類問題的分析方式與圓盤模型相差不大，存在一個臨界角速度

$\omega_0$

；

當圓錐擺的角速度為

$\omega_0$

時，小球恰好不離開圓錐面，圓錐面對小球的支援力為0。

而

$\omega_1$

和

$\omega_2$

絕對是一個小於

$\omega_0$

一個大於

$\omega_0$

，兩種情況下列出的向心力公式完全不一樣，所以需要先判斷。

所以遇到這種題，首先要求出臨界角速度

$\omega_0$

，然後兩每個問的角速度與

$\omega_0$

作比較，判斷存不存在支援力，然後再列出式了求解。

例題5：如圖所示，長度為L的細繩上端固定在天花板上O點，下端拴著質量為m的小球。當把細繩拉直時，細繩與豎直線的夾角為θ＝60°，此時小球靜止於光滑的水平面上。

（1）當球以角速度

$\omega_1=\sqrt{\frac{g}{L}}$

做圓錐擺運動時，細繩的張力T為多大？水平面受到的壓力

是多大？

（2）當球以角速度

$\omega_2=\sqrt{\frac{4g}{L}}$

做圓錐擺運動時，細繩的張力T′及水平面受到的壓力

各是多大？

解析：首先，求出小球不受光滑水平面的支援力時，小球的角速度

$\omega_0$

。根據受力分析，向心力公式，得

$mgtan\theta=m\omega_0^2\cdot Lsin\theta$

$\omega_0=\sqrt{\frac{2g}{L}}$

（1）因為

$\omega_1<\omega_0$

，所以此時地面對小球有支援力。

對小球受力分析，列出此時的式子：

$Tcos\theta+F_N=mg$

$Tsin\theta=m\omega_1^2\cdot Lsin\theta$

經計算，得出此時

，

$F_N=\frac{1}{2}mg$

。

根據牛頓第三定律，水平面受到的壓力也為

$\frac{1}{2}mg$

。

（2）因為

$\omega_2>\omega_0$

，所以此時地面對小球無支援力。

並且此時小球已經離開了水平面，設此時細繩與豎直線的夾角為

$\alpha$

。

對小球受力分析，列出此時的式子：

經計算，得出此時

，

。

變式訓練：

（1）如圖所示，連線小球的輕繩長度不變，增大小球高度，小球做勻速圓周運動的角速度如何變化？

解析：對小球進行受力分析，對小球用向心力公式，得（設輕繩與豎直方向的夾角為

$\alpha$

）

$mgtan\alpha=m\omega^2\cdot Lsin\alpha$

$\omega=\sqrt{\frac{g}{Lcos\alpha}}$

當輕繩長度不變，小球高度增加時，輕繩與豎直方向的夾角

$\alpha$

變大，則此時角速度

$\omega$

會變大。

（2）如圖所示，小球

和

圍繞同一圓心在同一水平面做勻速圓周運動，則兩小球的角速度的大小關係？

解析：設此時輕繩與豎直方向的夾角為

$\alpha$

，對小球使用向心力公式，得

$mgtan\alpha=m\omega^2\cdot htan\alpha$

$\omega=\sqrt{\frac{g}{h}}$

所以角速度

$\omega$

與

$\alpha$

角無關，只有豎直高度有關，此時小球a與小球b的角速度相等。

拱橋模型和窪地模型

拱橋模型（甲）的向心力公式：

$mg-F_N=m\frac{v^2}{R}$

。

隨速度

的增大而減小。

當

時，

$v=\sqrt{gR}$

，小車將離開平面做平拋運動。

在拱橋模型的情況下，車速不能太快。一旦車速太快離開平面做平拋運動，容易出車禍。

窪地模型（乙）的向心力公式：

$F_N-mg=m\frac{v^2}{R}$

。

隨速度

的增大而增大。

在窪地模型情況下，車速也不能太快，車速太快了容易爆胎。

標簽：向心力木塊小球角速度圓盤

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