[Katsushi 2011] 4 Virasoro代數的表示和關聯函式 4.1 Virasoro代數的表示

作者：由 Tokamahou Sheiji 發表于詩詞時間：2021-03-13

本章，描述Virasoro代數的最高權表示同初級場的次級場間的關係後，我們定義初級場的OPE代數。OPE代數的結合律給出四點函式需要滿足的非平凡條件（

交叉對稱性

）。

4。1 Virasoro代數的表示

令

$\phi(z,\bar{z})$

是共形權為

$(h,\bar{h})$

的初級場。

$\phi(0,0)$

作用在

$SL(2,\mathbb{C})$

不變真空

$|0\rangle$

上得到的態（上章記作

$|\phi\rangle$

），本章記作

$|h, \bar{h}\rangle=\phi(0,0)|0\rangle\quad \quad (4.1)$

接下來我們考慮

Virasoro算符

$L_n,\bar{L}_n$

（

$n\in\mathbb{Z}$

）作用在這個真空上得到的態。之後，在需要區分Virasoro算符的

$L_n,\bar{L}_n$

模式的情形，分別用右模和

左模

指代它們。

Virasoro算符

和初級場

$\phi(w,\bar{w})$

的對易關係，可由OPE計算：

$\begin{aligned} \left[L_{n}, \phi(w, \bar{w})\right] &=\int_{w} \frac{d z}{2 \pi i} z^{n+1} T(z) \phi(w, \bar{w}) \\ &=\int_{w} \frac{d z}{2 \pi i} z^{n+1}\left\{\frac{h \phi(w, \bar{w})}{(z-w)^{2}}+\frac{\partial \phi(w, \bar{w})}{z-w}+\cdots\right\} \\ &=h(n+1) w^{n} \phi(w, \bar{w})+w^{n+1} \partial \phi(w, \bar{w}) \end{aligned}\quad \quad (4.2)$

取

$w,\bar{w}\to 0$

的極限，得到對正整數

有

$\left[L_{n}, \phi(0,0)\right]=0\quad \quad (4.3)$

時則是

$\left[L_{0}, \phi(0,0)\right]=h \phi(0,0)\quad \quad (4.4)$

對

$\bar{L}_n$

類似地有

$[\bar{L}_{n}, \phi(0,0)]=0 \quad(n>0), \quad [\bar{L}_{0}, \phi(0,0) ]=\bar{h} \phi(0,0)\quad \quad (4.5)$

因此，態

$|h,\bar{h}\rangle$

作用上

$L_n,\bar{L}_n$

（

$n\geq 0$

）有

$\begin{aligned} &L_{0}|h, \bar{h}\rangle=h|h, \bar{h}\rangle \\ &\bar{L}_{0}|h, \bar{h}\rangle=\bar{h}|h, \bar{h}\rangle \\ &L_{n}|h, \bar{h}\rangle=\bar{L}_{n}|h, \bar{h}\rangle=0 \quad(n>0) \end{aligned}\quad \quad (4.6)$

態

$|h,\bar{h}\rangle$

的BPZ共軛定義為

$\langle h, \bar{h}|=\lim _{z, \bar{z} \rightarrow \infty}\langle 0| \phi(z, \bar{z}) z^{2 h} \bar{z}^{2 \bar{h}}\quad \quad (4.7)$

它滿足

的BPZ共軛：

$\begin{aligned} &\langle h, \bar{h}| L_{0}=h\langle h, \bar{h}| \\& \langle h, \bar{h}| \bar{L}_{0}=\bar{h}\langle h, \bar{h}| \\& \langle h, \bar{h}| L_{-n}=\langle h, \bar{h}| \bar{L}_{-n}=0 \quad(n>0) \end{aligned}\quad \quad (4.8)$

滿足

的態，稱為權為

$(h,\bar{h})$

的

最高權態

。最高權態

$|h,\bar{h}\rangle$

多次作用上負模Virasoro算符

$L_{-n},\bar{L}_{-n}$

（

）得到的態

$L_{-n_{1}} \cdots L_{-n_{k}} \bar{L}_{-m_{1}} \cdots \bar{L}_{-m_{l}}|h, \bar{h}\rangle\quad \quad (4.9)$

稱為

次級態

（

descendant state

），其中

是正整數。由Virasoro代數

$[L_{0}, L_{-n} ]=n L_{-n}, [\bar{L}_{0}, \bar{L}_{-n} ]=n \bar{L}_{-n}$

可知，這些次級態是

的對應本徵值

的本徵態，也是

$\bar{L}_0$

的對應本徵值

$\bar{h}+M$

的本徵態，其中

$N=\sum_{i=1}^{k} n_{i}$

，

$M=\sum_{i=1}^{l} m_{i}$

。分別稱整數

是次級態的右

級

（level）和左

級

。

最高權態

$|h,\bar{h}\rangle$

和它的次級態張成的

向量空間

是Virasoro代數的表示。因為右模

與左模

$\bar{L}_m$

對易，這個向量空間也可看成右模最高權態

$|h\rangle$

和左模最高權態

$|\bar{h}\rangle$

給出的表示的

張量積

：

$|h, \bar{h}\rangle=|h\rangle \otimes|\bar{h}\rangle\quad \quad (4.10)$

態

$|h\rangle,|\bar{h}\rangle$

滿足

$\begin{aligned} &L_{n}|h\rangle=\bar{L}_{n}|\bar{h}\rangle=0 \quad(n>0) \\& L_{0}|h\rangle=h|h\rangle, \quad \bar{L}_{0}|\bar{h}\rangle=\bar{h}|\bar{h}\rangle \end{aligned}\quad \quad (4.11)$