泛函分析初步總結

作者：由雜事勿擾發表于詩詞時間：2022-02-20

總算肝完了泛函分析，說一說學習經過吧：

先是看了《數學——它的內容、方法與意義》的泛函分析部分，做了一個小科普，大致知道內積怎麼搞出來的了，說實話，這只是一個皮毛。。只是有一個感覺而已罷了。。

然後看《實變函式與泛函分析——郭懋正》這本書的下半部分，全書確實非常非常精煉，但看起來還是比較吃力，省略的內容有點多，看不太懂，靠著爛筆頭和mathpix在電腦上進行一步步的推導，吭哧吭哧地學習，到了後面發現自己越來越肝不動了，看不懂的越來越多，也不知道這門學科要去解決什麼問題，非常被動。

看也看不進去，特別是許多概念不知到定義了幹嘛，閉集、開集、列緊集、自列緊集、完全有界集、可分、完備等等概念，這和看得見模型的數學分析和高等代數、實變函式完全不是一個東西。抽象的東西很多，還不知道要幹嘛，於是被動了唄。

【這也讓我慢慢地開始探索一套切實可行的學習一門新的數學課程的科學方法是什麼樣子的，對我而言，數學絕對不能是一門十分費解的科學】

於是我掉過頭來，去梳理了一下基本的概念，以及他們之間的關係：也就是內積空間、賦範空間、距離空間三者之間的關係的問題。【這只是初步解決了非極限運算的問題，那些可分、完備等極限的概念還是不知道怎麼回事】

後來找了一本Rudin的泛函分析，對不起打擾了，我骨骼一點都不驚奇。

然後開始查閱大量的知乎博主的問答、文章，結果都是，大佬雲集，講的東西我幾乎都看不懂，很多沒有接觸過的東西需要我不斷地去學習挖掘。數學這個東西要多深有多深。。。

然後靈光一現，找到了 @醜小丫的一個關於初學者如何學習泛函分析的攻略，順著找到了

B站內蒙古大學---孫炯教授的泛函分析課，豁然開朗。

一看有54個小時，第六七章，線性運算元的譜理論，我顯然不會。因為我還沒有學習高等代數的譜分解，理解起來有些困難。看來以後還要花時間繼續打基本功，把丘維聲和復旦的高代再細細地帶有研究性質地過一遍，除了陳紀修的數分，再看卓裡奇，數學分析新講等等內容都是很有益處的。這對我來說將會是非常有幫助的。在應試教育下，囫圇吞棗地填鴨式學習，真是害死人。

之後就是開始從頭開始刷課、做筆記了。這個影片課，從頭到尾告訴了我一些好的學習方法，比如說，學習一門課，一些東西不知道為什麼是這樣子的，一個基本的要求就是，知道“它是什麼”，這個標準一點都不難，只看我們願不願意動手寫一寫畫一畫了。其次，從全域性去把握一門課是非常重要的，有很多書，連個緒論，或者是簡要地介紹都沒有，對初學者很不友好。最後，蒐集到相當多的學習資料，是非常有必要的，可以對比著看，在自己學習接受程度的特殊情況下，

選擇一本書精讀，其他的書配合著來是非常非常有必要的。

先梳理幾個線索：

1，三大空間的關係及其轉化；

2，Hilbert空間從有限維到無窮維；

3，空間與極限概念的理解；

4，線性運算元的性質與幾個重要的大定理的理解；

5，三個收斂問題：強收斂、弱收斂、一致收斂。

緒論

1，類似於笛卡爾座標系的建立，泛函分析也建立了一套空間體系，把分析中遇到的問題，結合幾何代數的方法加以解決，這就涉及到了有限維到無窮維的區別與聯絡了，涉及到的是收斂性的問題

2，座標分解、運算元分解

笛卡爾座標系可以進行元素的座標分解，矩陣也可以分解成n個特徵值乘上其特徵向量的組合，來表示這個矩陣運算元，泛函分析中是否可以如此操作呢？

3，無窮維空間的類比與聯想

無窮維空間中的座標系？正交概念？正交系？元素進行分解？運算元能否進行分解？無窮項相加的收斂性問題？這是按照什麼意義下的收斂？傅立葉級數是點點收斂的，我們新搞出來的東西會是按照什麼收斂的呢？

4，譜理論

廣義的運算元是否也可以進行譜分解，研究其性質呢？

距離空間

【不理解的東西：

$l^{\infty}$

不可分；列緊空間中成立最值定理；附錄1】

Def（距離空間）

：二元對映d（x，y）具有非負性、對稱性、三角不等式；（X，d）；

如

$\left(\mathbb{R}^{n}, d_{1}\right),\left(\mathbb{R}^{n}, d_{\infty}\right)$

，

$(l^{\infty},d_{\infty})$

，

$\left(\mathbb{C}^{n}, d_{\infty}\right)$

，

$(C[a,b],d_{\infty})$

，

$(C[a,b],d_{2})$

，

$(C[a,b],d_{1})$

Def(按照距離收斂)

：Xn→X，即，d（Xn，X）→0（n→∞）；

d(x,y)是關於x,y的二元連續函式

Th(同一個點列，按照不同的距離，在距離空間的性收斂會有很大不同):

$(C[a,b],d_{\infty})$

會出現一致收斂的情形，而

$(C[a,b],d_{2})$

不能滿足一致收斂；而

$(C[a,b],d_{1})$

連完備性都做不到。

Def(等價距離)：

$c_{1}d_{1}(x,y)\leq d_{2}(x,y)\leq c_{3}d_{3}(x,y)$

，三個距離收斂性相同

Def(開球、閉球、球面、有界集、內點、開集、閉集、聚點、接觸點、閉包、正距離)：

開球：

$B\left(x_{0}, r\right)=\left\{x \in X \mid d\left(x, x_{0}\right) ＜r\right\}$

閉球：

$\bar{B}\left(x_{0}, r\right)=\left\{x \in X \mid d\left(x, x_{0}\right) \leqslant r\right\}$

球面：

$S\left(x_{0}, r\right)=\left\{x \in X \mid d\left(x, x_{0}\right)=r\right\}$

有界集：集合限制到一個球中

內點：以該點的小球含於集合中

開集：所有點都是內點；【開集的並還是開；有限個交還是開】

閉集：所有的極限點都在集合中；【閉集的交還是閉；有限個並還是閉】

聚點：極限點

正距離：

$d(x, A)=\inf \{d(x, \omega) \mid \omega \in A\}＞0$

接觸點：

$B(x, \varepsilon) \cap A \neq \varnothing \quad(\forall \varepsilon>0)$

的點

閉包：所有的接觸點

Def(拓撲空間)：

一個集合中規定了元素之間的關係

Th(閉集的性質)

：A是閉集

$\Leftrightarrow$

$A=\bar{A}$

$\Leftrightarrow$

對極限運算封閉】

Def(連續對映)：

$TB（x_{0}，\delta）\subset B（Tx_{0}，\varepsilon）$

；

連續對映

$\Leftrightarrow$

開集的原像是開集；連續對映的複合還是連續對映；

連續對映對極限運算封閉

$\lim _{n \rightarrow \infty} T\left(x_{n}\right)=T\left(\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\right)$

。

Def（等距對映）

：d（x，y）=d（Tx，Ty）；

Def(稠密)

：定義1：

$\bar{B}\supset{A}$

，則說明B在A中稠密；定義2：A中的點可以用B中的點來逼近；

Def(可分)

：空間存在可數稠密子集。Rn可分；C［a，b］可分；

$l^{\infty}$

不可分；s可分；

Def（空間s，空間S）

：s為全體實數列組成的集合，S為E上幾乎處處可測的函式列；

分別定義：

$d(x, y)=\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}} \frac{\left|\xi_{k}-\eta_{k}\right|}{1+\left|\xi_{k}-\eta_{k}\right|}$

和

$d(x, y)=\int_{E} \frac{|x(t)-y(t)|}{1+|x(t)-y(t)|} \mathrm{d} t$

Def(緊性、列緊、自列緊、Borel緊、完全有界)

：

列緊：無窮點列有收斂子列；【列緊則有界】

自列緊：無窮點列有收斂子列，且極限在空間中；【自列緊則有界閉】

Th（無窮維空間中，有界閉不一定能推匯出列緊）

：不僅僅要距離控制住，還要把維度控制住

Th（列緊空間中成立最值定理）

：

$\begin{array}{r} M=\sup \{f(x) \mid x \in X\} \\ m=\inf \{f(x) \mid x \in X\} \end{array} 存在點 x_{\max }和點 x_{\min }使得f\left(x_{\max }\right)=M, \quad f\left(x_{\min }\right)=m .$

Th(Arzela定理)

：C［a，b］的子集A列緊

$\Leftrightarrow$

A中函式一致有界和等度連續

Def（等度連續）

：對任意的n，fn（x）在區間I上一致連續

Def(柯西列，完備)

：

柯西列：

$d\left(x_{n}, x_{m}\right)<\varepsilon$

【柯西列有界；收斂列是柯西列】

完備：柯西列收斂到空間中【完備空間極限運算可以進行】

Th(完備的閉子空間是完備的；列緊空間是完備的)

Rn完備；

$(C[a,b],d_{\infty})$

完備；

$(P[a,b],d_{\infty})$

不完備；

$(C[a,b],d_{1})$

不完備；

$(C[a,b],d_{2})$

不完備

Th（空間完備化）：任何一個度量空間都可以完備化，完備化空間與原空間等距，且在等距意義下唯一

【新的空間的構造過程中選取的是柯西列作為空間的元素】

Th(完備空間成立閉球套定理)

Th(完備空間成立Banach不動點原理)

Th(Brouwer不動點定理)：閉單位球上的連續對映存在不動點

Th(Schauder不動點定理)：完備空間的閉凸子集上的連續、列緊對映存在不動點；

Def(一般微分方程、Fredholm積分方程、Volterra積分方程)

$T x=x_{0}+\int_{0}^{t} f(x(\tau), \tau) \mathrm{d} \tau$

；

$x(t)=\varphi(t)+\mu \int_{a}^{b} k(t, s) x(s) \mathrm{d} s$

；

$x(t)=\varphi(t)+\mu \int_{a}^{t} k(t, s) x(s) \mathrm{d} s$

【壓縮對映原理可以應用於這三個方程中】

線性賦範空間

【不懂的點：Th（子空間是開集，則子空間等於全空間）【真子空間不能是開集】】

Def(線性賦範空間，轉化公式)

：

非負性、正定性、正齊次、三角不等式；

；

【但不是所有的距離空間都可以轉化為賦範線性空間】

Def(按範數收斂)

：Xn→X，即||Xn-X||→0

【||·||具有連續性】

$(C[a,b],d_{\infty})$

和

$(C（\Omega）,d_{\infty})$

完備，可分；但

$(C[a,b],d_{1})$

和

$(C[a,b],d_{2})$

不完備，可以推出

$(C[a,b],||·||_{1})$

和

$(C[a,b],||·||_{2})$

不完備；

由於距離空間可以完備化，按照轉化公式的賦範線性空間也可以完備化

Def(Lp空間)

：

$L^{p}[a, b]=\left\{\left.x(t)\left|\int_{a}^{b}\right| x(t)\right|^{p} \mathrm{~d} t<\infty\right\}$

；

$(L^{p}[a, b]，||·||_{p})$

【Lp是完備、可分的，

$(C[a,b],||·||_{P})$

是不完備的，Lp是它的完備化空間

】

Def(共軛數、Holder不等式、Minkowski不等式)

：

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$

；

$\int_{E}|x(t) y(t)| \mathrm{d} t \leqslant\left(\int_{E}|x(t)|^{p} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{p}}\left(\int_{E}|y(t)|^{q} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{q}}$

；

$\left(\int_{E}|x(t)+y(t)|^{p} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{p}} \leqslant\left(\int_{E}|x(t)|^{p} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{p}}+\left(\int_{E}|y(t)|^{p} \mathrm{~d} t\right)^{\frac{1}{p}}$

Def（ #FormatImgID_51# 空間，本性確界）

$L^{\infty}$

不可分；

$\|x\|=\inf _{m E_{0}=0 \atop E_{0} \subset E} \sup _{E \backslash E_{0}}|x(t)|$

$L^{\infty}(E) \subset L^{p_{1}}(E) \subset L^{p_{2}}(E)$

［1≤p2＜p1＜∞］

Def( #FormatImgID_55# 空間)：

$l^{p}=\left\{x=\left.\left\{\xi_{k}\right\}\left|\sum_{k=1}^{\infty}\right| \xi_{k}\right|^{p}<\infty\right\}$

[可分完備]

Def（ #FormatImgID_57# 空間）:

$l^{\infty}=\left\{x=\left\{\xi_{k}\right\} \mid\left\{\xi_{k}\right\}\right. 是有界的數列 \} \|x\|_{\infty}=\sup _{k}\left|\xi_{k}\right|$

【不可分完備】

Def(凸集、最小凸集)

凸集：

$\alpha x+(1-\alpha) y \in A$

【凸集的交還是凸集】【單位球是凸集】【子空間是凸集】

最小凸集：所有凸集的交集

Th(子空間是開集，則子空間等於全空間)【真子空間不能是開集】

Th(線性子空間的閉包是一個閉子空間)【範數對線性運算連續】

Th(完備的子空間是閉的；完備空間閉子空間是完備的)

Th( #FormatImgID_60# 是B空間 #FormatImgID_61# 的閉子空間，從而是B空間)

Th(Riesz引理)【疑問：

$\bar{M}=M⊊ X\in B$

一定存在一個X中的點，它和M存在正距離？

】

$\forall \varepsilon>0$

$存在 x_{0} \in X,\left\|x_{0}\right\|=1, 且對於 \forall x \in X_{0}$

$\left\|x-x_{0}\right\|>1-\varepsilon \text {. }$

Def(等價範數)

$a\|\cdot\|_{1} \leqslant\|\cdot\|_{2} \leqslant b\|\cdot\|_{1}$

【此時

$（X，||·||_{1}）$

和

$（X，||·||_{2}）$

收斂性一樣，拓撲同胚】

Th(有限維空間與

$K^{n}$

同構，拓撲同胚，從而有限維空間是閉的是完備的，是可分的)

Th(有限維

$\Leftrightarrow$

任意有界閉集是列緊的)【反之可以透過Riesz引理生成

$\left\|x_{i}-x_{j}\right\|>\frac{1}{2} \quad(i \neq j)$

】

Th(無窮維，則單位球、單位面都不是列緊的)【此稱之為不僅要把距離控制住，還要把維度控制住】

有界集能不能列緊是有限維和無窮維的重要區別

Th(

完備

$\Leftrightarrow$

範數級數收斂可以推出元素級數收斂)【為Hilbert空間理論的建立進行準備】

Def(二元關係、商空間)

二元關係：自身性、對稱性、傳遞性

商空間：等價類的全體，並定義：

$\begin{aligned} \widetilde{x}+\widetilde{y} &=\widetilde{x+y} \\ \alpha \widetilde{x} &=\widetilde{\alpha x} \end{aligned}$

，

$\|\widetilde{x}\|=\inf _{y \in \tilde{x}}\{\|y\|\}$

記為

$\widetilde{X}=X / M$

Th(完備空間關於閉子空間的商空間是完備空間)

Th(乘積空間完備等價於每一個空間完備)

內積空間與Hilbert空間

【不懂的點：

最佳逼近定理2

】

Def（內積空間）非負性，左線性性，共軛性

Def（由內積生成的範數）

$||x||=\sqrt{(x,x)}$

【內積關於x，y是連續函式，極限運算可以和內積交換順序】

Th(施瓦茨不等式,柯西不等式)

$|(x, y)|^{2} \leqslant(x, x)(y, y)$

，

$\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k}\right| \leqslant\left(\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\sum_{k=1}^{n}\left|y_{k}\right|^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$

Th(M在H中稠，

$\left(x, x_{0}\right)=0, \quad \forall x \in M$

則

$x_{0}$

=0)

Def(平行四邊形法則、極化恆等式)

$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\left(\|x\|^{2}+\|y\|^{2}\right)$

$(x, y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}+\mathrm{i}\|x+\mathrm{i} y\|^{2}-\mathrm{i}\|x-\mathrm{i} y\|^{2}\right)$

【範數和內積之間可以互相轉化的條件是成立平行四邊形法則】

Th(完備空間的線性子空間完備

$\Leftrightarrow$

該子空間是閉的)

【不完備的內積空間也可以進行完備化】

Def(正交、正交補)

正交：（x，y）=0【成立勾股定理：

$\|x\|^{2}=\|y\|^{2}+\|z\|^{2}$

】

$x \perp M$

，

$N \perp M$

正交補：

$M^{\perp}=\{y \in X \mid(x, y)=0, \forall x \in M\}$

【

$M \subset\left(M^{\perp}\right)^{\perp}$

】【

$M^{\perp}$

總是閉的】

Th(開球，或是開集的吸收性質)：開球的正交補是零元，非空開集的正交補是零元

Th(最佳逼近定理1)：M是內積空間的線性子空間，

$x\in M^{\perp}$

$\Leftrightarrow$

$\forall y \in M \text { 都有 }\|x-y\| \geqslant\|x\|$

Def(點到集合的距離，空間嚴格凸)

點到集合的距離：

$d(x, A)=\inf \{d(x, y) \mid y \in A\}$

空間嚴格凸：

$\forall x,y$

$x\ne y$

都有

$\|\alpha x+\beta y\|<1 \quad(\forall \alpha, \beta>0, \alpha+\beta=1)$

【嘗試抽象理解，空間的“嚴格凸性”】

Th(內積空間是嚴格凸的)

Th(最佳逼近定理2)對於H空間的非空閉凸集M，

$\forall x\in H$

，存在最佳逼近點

$x_{0}$

使得

$\left\|x-x_{0}\right\|=d(x, M)=\inf \{\|x-y\| \mid y \in M\}$

【嚴格凸對應著最佳逼近點的唯一性】

【對比一下Riesz引理？？】

Th(正交分解定理)

：M是H的閉子空間，

$\forall x\in H$

可以正交分解：

$x=x_{0}+y$

（唯一

$x_{0} \in M$

和

$y \in M^{\bot}$

）

$\|x\|^{2}=\left\|x_{0}\right\|^{2}+\|y\|^{2}$

【此時

$H=M \oplus M^{\perp}$

】【也有

$X_{0}{ }^{\perp \perp}=X_{0}$

】

Th(正交分解定理的推論)

：

$X_{0}$

是H的線性子空間，則

$X_{0}^{\perp \perp}=\overline{X_{0}}$

；

$X_{0}^{\perp}=\{0\}$

$\Leftrightarrow$

$X_{0}$

在H中稠

Def(正交系、標準正交系、完備正交系)

【正交系線性無關】

Th(投影最小定理)：當

$a_{k}=\left(x, e_{k}\right)$

時，

$\left\|x-\sum_{k=1}^{n} a_{k} e_{k}\right\|$

最小

【可以看到

$x-\sum_{k=1}^{n} a_{k} e_{k}$

與

$span\left\{e_{1}, e_{2}, \cdots, e_{n}\right\}$

正交】【投影：

$x_{0}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} e_{k}$

】

【距離：

$||x-x_{0}||$

】【一維投影：

$\left(x, e_{1}\right) e_{1}$

】

Def(Fourier係數，Fourier級數)

：

$\left(x, e_{n}\right)$

，

$\sum_{n=1}^{\infty}\left(x, e_{n}\right) e_{n}$

【疑問：

$x(t)={ }_{(?)} \sum_{k=1}^{\infty}\left(x, e_{k}\right) e_{k}$

，Fourier級數是否收斂？什麼意義下收斂？是否收斂到x？】

下面僅僅是討論可數正交系：

Th(Bessel不等式)

：

$\left\{e_{k}\right\}_{k=1}^{\infty}$

是標準正交系，

$\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left(x, e_{k}\right)\right|^{2} \leqslant\|x\|^{2}$

【Fourier係數平方和可以被控制住】【易得

$\left(x, e_{n}\right) \rightarrow 0(n \rightarrow \infty)$

】【意味著

$e_{n}$

弱收斂到0

】

Th(Riemann-Lebesgue引理)

$x(t) \in L^{2}[-\pi, \pi]$

，

$\lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\pi}^{\pi} x(t) \sin n t \mathrm{~d} t=0, \quad \lim _{n \rightarrow \infty} \int_{-\pi}^{\pi} x(t) \cos n t \mathrm{~d} t=0$

Th(

$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} e_{n}$

收斂

$\Leftrightarrow$

$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\alpha_{n}\right|^{2}<\infty$

，且有

$\left\|\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} e_{n}\right\|^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}\left|\alpha_{n}\right|^{2}$

)

【也就是

$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{n} e_{n}$

收斂

$\Leftrightarrow$

$\left\{\alpha_{n}\right\} \in l^{2}$

，

任何一個H中的元素，其傅立葉級數都會收斂，因為它能被||x||控制住】【收斂問題已經解決，傅立葉級數是收斂的，是按照範數收斂的，接下來來看收斂到誰的問題】

Def(Parseval等式，正交列完備)

Parseval等式：

$\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left(x, e_{k}\right)\right|^{2}=\|x\|^{2}$

正交列完備：Parseval不等式成立的正交列

Th(下述條件等價)

a，

$\left\{e_{n}\right\}^{\perp}=\{0\}$

【

$\left\{e_{n}\right\}$

在H中稠密】

b，

$x=\sum_{k=1}^{\infty}\left(x, e_{k}\right) e_{k}$

【傅立葉級數收斂到x】

c，

$\overline{\operatorname{span}}\left\{e_{n}\right\}=H$

【

$\left\{e_{n}\right\}$

是標準正交基】

d，

$\|x\|^{2}=\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left(x, e_{k}\right)\right|^{2}$

【Parseval等式成立】

【到底是Bessel不等式還是Parseval等式，也就是，到底能否收斂到x，就看

$\left\{e_{n}\right\}$

是不是標準正交基了！】

Def(三角函式正交基，Legendre多項式，Gram-Schmidt正交化)

【泛函分析中

$L^{2}[a,b]$

中的按照三角函式正交基收斂指的是依據

$L^{2}$

收斂，而數學分析中的三角函式正交基收斂指的是逐點收斂】

Th(H可分

$\Leftrightarrow$

存在至多可數正交基

$\Leftrightarrow$

H等距同構於

$l^{2}$

)

【所以可以說，”相對較小“的內積空間（可分的內積空間）可以由可數的正交列張成，它可以和座標形式的

$l^{2}$

同構】

有界線性運算元

【不懂的點：強收斂意義下的完備性】

Def(線性運算元，線性泛函)【注意定義域！】

Def(有界線性運算元，有界線性泛函)

$\|T x\|_{1} \leqslant M\|x\|, \quad \forall x \in X$

；

$|f(x)| \leqslant M\|x\|, \quad \forall x \in X$

Th(有界線性運算元把有界集對映成有界集)

Def(運算元在一點處連續)

$\text { 若 } x_{n} \rightarrow x_{0} \text { 時, } T x_{n} \rightarrow T x_{0}$

Th(線性運算元在一點處連續，就相當於在全空間連續)

Th(線性運算元連續就相當於有界)【反證法】

Def(有限線性運算元空間，運算元範數)

$\mathscr{B}\left(X, X_{1}\right)$

，

$\mathscr{B} （X）$

，

$\|T\|=\sup _{x \in X \atop x \neq 0} \frac{\|T x\|}{\|x\|}$

【運算元範數滿足滿足範數性質，

$\left(\mathscr{B}\left(X, X_{1}\right),\|\cdot\|\right)$

】【

$\|T\|=\sup _{\|x\|=1}\|T x\|=\sup _{\|x\| \leqslant 1}\|T x\| .$

】

Th(有限維賦範線性空間上的線性運算元是有界的)

【運算元範數的確定方法：可以先確定運算元的界，再取一個值達到那個界限】

Th(微分運算元是無界的)：

$x_{n}(t)=\sin n t \in C[0,1],\left\|x_{n}\right\|=1, \quad T(\sin n t)=n \cos n t$

；

$\left\|T x_{n}\right\|=n \rightarrow \infty(n \rightarrow \infty)$

Def(運算元按範數收斂)：

$\left\|A_{n}-A\right\| \rightarrow 0 \quad(n \rightarrow \infty)$

也寫作

$\left\|A_{n} x-A x\right\| \Rightarrow 0$

【按範數收斂等價於在有界集上一致收斂】

Def(強收斂)

$\forall x\in X ,T_{n}X\rightarrow TX$

寫作

$\left\|A_{n} x-A x\right\| →0$

【也叫做逐點收斂】

【按照範數收斂可以推出逐點收斂】

Th(X1完備，則

$\mathscr{B}\left(X, X_{1}\right)$

完備)【可以推出

$\mathscr{B}(X, \mathbb{K}) \text { 是完備的 }$

，記

$x^{\ast}=\mathscr{B}(X, \mathbb{K})$

】

一致有界原則、開對映定理（逆運算元定理）、閉影象定理和Hahn-Banach定理構成了線性運算元理論的基石。

Hahn-Banach定理並沒有要求空間一定是Banach空間

Def(疏集、第一綱集、第二綱集)

疏集：不在任何開集中稠密的集合【疏集裡面沒有內點，Cantor集是疏集】

第一綱集：可數個疏集的並

第二綱集：不是第一綱集的集合

Th(Baire綱定理：完備的距離空間是第二綱集)【完備的距離空間沒有“縫隙”】【Banach空間是第二綱集】

【點點都連續可微的函式在連續函式空間中僅僅包含在第一綱集中，相對比較少，而那些不規矩的函式確實很多的】

Def(Weierstrass函式)

：

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a^{n} \cos (b n \pi x)$

$0<a<1, \text b \text { 是奇的整數, 且 } a b>1+\frac{3}{2} \pi$

Th(Banach-Steinhaus一致有界原則)：【點點有界→一致有界；前提是X是B空間，且是X上的】

從Banach空間到賦範線性空間的運算元族，x給定，存在Mx使得

$\left\|T_{\alpha} x\right\| \leqslant \sup _{\alpha}\left\|T_{\alpha} x\right\|=M_{x}<\infty$

則存在一個共同的M使得，

$\left\|T_{\alpha}\right\| \leqslant M, \quad \forall \alpha \in I$

Th(共鳴定理)【

Banach-Steinhaus一致有界原則的逆否定理

】

若

$\underset{\alpha }{\mathop{\sup }}\,\left\| {{T}_{\alpha }}\right\|\text{=}\infty$

那麼存在x，使得

$\underset{\alpha }{\mathop{\sup }}\,\left\| {{T}_{\alpha }}x\right\|\text{=}\infty$

【推廣到有界線性泛函的話，有界線性泛函族點點有界，則一致有界】

Th(強收斂意義下的完備性1）

Tn∈

$\mathscr{B}\left(X, X_{1}\right)$

，X1是B空間，{||Tn||}有界，{Tny}收斂，存在

$T\in\mathscr{B}\left(X, X_{1}\right)$

，

使得

$T_{n} \stackrel{\text { 強 }}{\rightarrow} T, \text { 且 }\|T\| \leqslant \underline{\lim }_{n \rightarrow \infty}\left\|T_{n}\right\|$

Th(強收斂意義下的完備性2）

$\mathscr{B}\left(X, X_{1}\right)$

X，X1都是B空間，則

$\mathscr{B}\left(X, X_{1}\right)$

在強收斂意義下的完備

Def(逆運算元)

：

$T_{1} T x=x(x \in \mathscr{D}(T) \subseteq X), \quad T T_{1} y=y\left(y \in \mathscr{R}(T) \subseteq X_{1}\right)$

，

$T^{-1}$

【逆運算元存在的條件是T是一對一對映，在“

$\|T x\| \geqslant m\|x\| \quad(x \in \mathscr{D}(T))$

”條件下，

$T^{-1}$

有界】

Def(開對映)

：把任何一個開集都對映成開集的對映【開對映一定是連續對映】【開對映的逆運算元一定存在】

Th(開對映定理）

$T\in\mathscr{B}\left(X, X_{1}\right)$

，X，X1都是B空間，T從X上到X1上，則T是一個開對映

Th(Banach逆運算元定理)

：【可以直接用開對映定理證明】

$T\in\mathscr{B}\left(X, X_{1}\right)$

，X，X1都是B空間，T從X上到X1上，則T的逆運算元存在，而且還有界

Th(範數等價定理)

$\left(X,\|\cdot\|_{1}\right) \text { 和 }\left(X,\|\cdot\|_{2}\right) \text { 都是 Banach 空間 }$

，且

$\|x\|_{2} \leqslant C\|x\|_{1}$

，則

$||·||_{1}和||·||_{2}$

等價

Def(影象、閉運算元)

影象：

$G(T)=\left\{(x, T x) \in X \times X_{1} \mid x \in \mathscr{D}(T)\right\}$

閉運算元：G（T）在

$X \times X_{1}$

中閉【簡言之，影象閉的運算元是閉運算元】

【

閉運算元的等價條件是從定義域到值域的極限運算封閉

，即，

$\forall\left\{x_{n}\right\} \subset \mathscr{D}(T), \quad x_{n} \rightarrow x \in X$

，

$T x_{n} \rightarrow y \in X_{1}$

一定可以推出

$x \in \mathscr{D}(T), \text { 且 } y=T x$

】

【全空間的有界線性運算元是閉運算元！】

Th(微分運算元是閉運算元)

Th(從函式項級數逐項求導來體會閉運算元的性質)？？？

Th(閉影象定理)【從完備空間X上到完備空間X1中的閉線性運算元是有界的】

接下來會繼續追更第五章Hahn-Banach定理；幾個關鍵性定理的證明和個人理解；

之後會出機率論的學習總結。

各位看官，很多定理基本上卡住了，寫不出來什麼內容，只能複製PDF了，文中錯誤不妥之處，還望批評指正

標簽： TH def 空間運算元收斂

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