f（x）在閉區間【a,b】上可微，那麼f'（x）在閉區間【a,b】上是否一定Lebesgue可積?

作者：由素日發表于攝影時間：2021-12-09

Zachary2021-12-09 11:25:00

答案是不一定的。

譬如這個函式：

$f(x) = \begin{cases} x^2\sin\dfrac{1}{x^2} & x \neq 0\\ 0 & x = 0 \end{cases}$

在

$\mathbb{R}$

上可微，但是其導數

$\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x} = \begin{cases} 2x\sin \dfrac{1}{x^2} - \dfrac{2}{x}\cos\dfrac{1}{x^2} & x \neq 0\\ 0 & x = 0 \end{cases}$

在包含

的任何鄰域上是無界的，不符合黎曼可積的定義。

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Uncle Drew2021-12-10 11:54:10

可以，首先要清楚可微→導函式連續可導→f’x可積分

予一人2021-12-10 13:18:25

請記住：導函式未必可積。

落·泠雨2021-12-10 14:36:59

首先，對於原問題，反例可以由這樣一個簡單的函式給出

當然我們並不滿足於此，我們可以看出上述的導函式是無界的，如果加入了假定：導函式有界，這個命題還真嗎？答案仍然是否定的。

P。S。前段時間很仔細地思考過這個問題，並最終確認了我對一個題自認為很妙的證明是個偽證=。=

reaper2021-12-11 16:27:55

不一定

標簽：函式無界可微很妙答案

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