怎麼快速畫出函式影象草圖?

老黃知識生態圈2022-10-20 13:06:22

以根號x為例，有三種作影象的方法。

第一種方法是最基礎的，運用描點法來作y=根號x的影象。可以在平面直角座標系中，分別取x=0， 1， 4， 9， 16，…，對應的y=0， 1， 2， 3， 4，…。 ，然後用平滑的曲線把這些點連起來，就可以得到y=根號x的影象了。

可以看到y=根號x的影象只經過原點和第一象限，像開口向上的二次函式左支繞頂點（原點）旋轉90度。這裡其實是有內在聯絡的，因為y=根號x就是y=x^2（x>=0）的反函式。這就得到了畫y=根號x的影象的第二種方法。

根據互為反函式的影象關於y=x對稱，我們可以先作出y=x^2（x>=0）的影象，然後再作它關於y=x的軸對稱圖形，最後得到的這個圖形就是y=根號x的影象。

最後一種方法，是作函式影象比較通用的方法，就是根據函式的性質，來作它的影象。首先我們分析函式y=根號x的單調性，奇偶性，凹凸性和週期性。可以發現它是沒有奇偶性和週期性的。

又由y=根號x的導函式y’=1/（2倍根號x）>0，可以知道它是一個嚴格單調遞增函式。又y=根號x的二階導函式y“=-1/（4倍根號（x^3））<0，可以知道，它是一個凸函式。這就對函式y=根號x的影象形狀有了一個大概的瞭解。

接下來我們找函式影象與x軸和y軸的交點，當x=0時，y=0，發現函式影象經過原點。一個點還不夠，我們再找另外一個點，當x=1時，y=1。 即函式的影象過點（1，1）。然後再求函式的漸近線。不難求得函式影象沒有垂直漸近線。

又當x趨於正無窮大時，lim（（根號x）/x）=0，可見函式最多有一條水平漸近線。又當x趨於正無窮大時lim根號x=正無窮大。可見函式連水平的漸近線都不存在。只能知道在x趨於正無窮大時，函式也趨於正無窮大。

既然這樣，我們唯有求函式在x=0和x=1的切線方程，來確定函式影象的性狀。當x=0時，y’=0，可見函式影象在x=0的切線是y軸。當x=1時， y‘=1/2， 又b=1-1/2=1/2。 所以函式在x=1的切線方程是y=x+1/2。 這樣我們就可以根據上面的資訊，得到函式y=根號x的影象如下圖：

這三種畫y=根號x的影象的方法，你更喜歡哪一種呢？