《線性代數的本質》學習筆記-什麼是向量？
筆者言
回想本科讀完已過數年，近日因考教師資格證重拾《線性代數》。回放影片中老師傳授的知識，雖說溫故而知新，但滿眼仍是一套計算規則。雖能快速撿起不誤刷題，但曾經的認知迷霧卻始終無法抹去，無法理解為何如此規定，亦無法掌握其背後的精髓及與現實的聯絡。
不能理解為何向量組的極大線性無關組的數量是秩，而線性方程解的基礎解系的極大線性無關組數量又是（n－秩），這只是巧合麼？為何要花如此大力氣研究特徵向量和特徵值，它背後的意義和歷史背景是什麼？總覺得《線性代數》好像和理解多維時空、計算機底層運算邏輯有千絲萬縷的聯絡，但卻好奇心有餘而智力不足無法戳破那層白紗。
遂搜得bilibili上由
3blue1 Brown
出品的
影片《線性代數的本質》
，如獲至寶。
也許與作者產生了共鳴，常覺得目前授課形式仍重計算而輕理解，未能與人類和機器強合作的時代相融合；也許源自好奇心強烈驅使，奈何影片太快眼癮過後轉瞬即忘。
於是突發奇想將影片轉為文字,並對文字進行二次創作
。
從幾何直觀的視角重溫《線性代數》，重新理解其背後的運演算法則和邏輯，以此將其消化為自己明晰的認知。
這便是
《線性代數的本質》學習筆記
系列的創作初衷。此中引用大量《線性代數的本質》影片中的觀點，強烈建議讀者有興趣可點選連結直接學習。若此文有助於讀者的理解，實乃吾之所幸。
00 序言
《線性代數》作為目前高等教育的基礎科目之一，幾乎每位大學生都有接觸。我們在教室中學著各種計算規則（如矩陣乘法、行列式、叉積或者特徵值等），但我們不得不承認，大多時候
我們總能對矩陣的數值操作駕輕就熟，但卻也止於計算了
。我們其實並沒有真正理解為什麼矩陣乘法要如此定義，為什麼叉積與行列式有所關聯，特徵值究竟代表了什麼，更不要提其背後的幾何直觀了。
而私以為，只有理解了幾何直觀後，我們或許才能說，我好像大概理解《線性代數》的本質了
。
我們真的瞭解《線性代數》麼？
https：//www。zhihu。com/video/1408468336673583104
實際上，
《線性代數》可以從2個不同的視角進行理解：數值水平、幾何水平
，其中後者正是我們大學教育所遺漏的。此2者理解存在根本性差異，它們各有千秋，但卻相互促進。
① 幾何水平上的理解：能讓生硬的資料在你的腦海中產生直觀的
視覺化
幾何想象。這時你才發現原來《線性代數》就在自己身邊，它存在於計算機科學、工程學、統計學甚至經濟學中。或許某天當你正在解決現實問題時，發現原來可以從《線性代數》找到答案；
② 數值水平上的理解：透過手算或計算機快速進行資料運算，有助於讓你快速計算答案。
當你消化了這些內容，真正理解了幾何直觀和數值計算的關係，這門科目的細節和它在實際生活中的應用就會開始顯得合情合理。平心而論，目前很多教授確實也在努力向學生傳達幾何直觀思想。尤其在當今時代，我們已經有了計算機這樣的工具輔助我們處理計算問題，我們確實應該把自己的角色定位在概念層面的理解。
但現狀卻是在大部分課程中，學生們依然花了過多時間在數值計算。
對此，我們
嘗試將《線性代數》幾何直觀化
，從向量的基礎知識，由淺入深，直至發現組成線性代數本質的核心主題。
01 向量的3種視角理解
正式學習《線性代數》前，
我們需要了解其最基礎、最根源的組成元素——向量
。下圖所示藏著3種表示向量的辦法，你或許在計算機、數學、物理課上遇到過。
向量究竟是什麼？
從物理、計算機和數學的視角各有解讀：
① 物理視角：向量是空間中的箭頭
。物理視角認為，決定一個向量的2個要素是長度和所指的方向。只要以上2個特徵相同，你可以自由移動一個向量而保持它不變（如位移、力、速度、加速度、動量等）；
什麼是向量？（物理專業視角）
https：//www。zhihu。com/video/1408490240684781568
② 計算機視角：向量是有序的數字列表
。因為這就是計算機的語言，計算機不懂人類語言，只能用數字來表示狀態、屬性或行為，然後對這些資訊進行處理。因為數字序列是人類語言的一種翻譯，因此列表中每行數字的意義我們可以自行定義。
舉個形象易懂的例子，若你正考慮買房，於是你記錄了市場上不同在售房的屬性。你重點關注了“地理位置”、“戶型面積”和“總價”這3個因素，於是你記下了以下序列用於標識你看的不同房子：
考慮到文字不能用於運算，於是你定義“佛山市順德區”是數字1，“佛山市禪城區”是數字2，“佛山市南海區”是數字3，此時你便將實際資訊轉化為了若干組數字列表：
於是你便完成了用“3維向量（即3行數字列表）”對房價進行了建模的動作。其實，“向量”只不過是“列表”的一個花哨的說法。之所以這個向量是3維的，是因為這個列表的長度是3，即每個列表由3個因素組成，只有3個因素完全相同才能說向量相等。
什麼是向量？（計算機專視角）
https：//www。zhihu。com/video/1408491880040972289
③ 數學視角：數學家試圖概括以上兩種觀點，將其統一為同1種字母符號和同1套運演算法則，我們稱之為向量。
其中
向量符號定義
為：有方向的字母，下面是一個小寫字母，上面是一個向右的小箭頭，如下圖所示：
見符如見形，這些特定的符號既可指代物理視角中“空間中的箭頭“，也可指代計算機視角中“有序的數字列表”。這種同一事物的不同描述方法，我們用數學語言“＝“進行連線。即：
其中，當用數學語言表示“空間中的箭頭“時，我們也可利用幾何屬性，將向量符號中的小寫字母轉化為箭頭起始端和終止端的形式（如帶箭頭的OA）。
而
向量的運演算法則
，數學家將計算機視角和物理視角的抽象為了同一套的運算規則，形成了屬於向量的獨特的加減乘數等運算規則，從而實現了兩種視角的統一。其中，這套運算規則中最重要和基礎的2個運演算法則，是向量加法和向量的數乘：
i。向量加法：兩個向量相加的規則
ii。向量數乘：數字與向量相乘的規則
綜上是向量的3種不同視角的理解（如上圖）。
那麼數學家是如何把物理視角和計算機視角統一的？這就是後文需要回答的問題。
02 理解“統一“二字
前面我們提到，
“
數學家試圖概括物理視角和計算機視角的2個觀點，將其統一為同1種字母符號和同1套運演算法則
”。
因此我們首先需要解讀一下，
什麼是“統一”
？
“統一”不是說箭頭、序列和符號是完全沒有差別的，這是不可能的。就像我們無法認為一個速度向量會是一個列表，一個買房模型的數字列表會是成了一個箭頭。我們說到統一，它的前提一定是
存在一個給定的物件
。比如二維平面xy座標系中物件有點、線、面等，物理運動中的物件有速度、加速度等，生活中的物件有財產、水位等。
於是，
當我們在描述一個給定的物件時
，我們發現這個物件既可以用有向箭頭表示，也可以用一組定義了含義的數字序列表示，還可以用一個簡單的數字符號表示。
當對這個物件進行某種操作時候
，我們發現既可以把它理解為有向箭頭的某種運動，也可以理解為一組數字序列的變換、或者一組數字符號的某種加減乘除運算，他們可以抽象成並共用同一套數學規律。也即我可以隨時在幾個視角中進行切換，因為這些看待問題的視角是完全一一對應的。這便是”統一”。
這就好比我們正在電影院看一部3D電影，隨著電影的持續播放，我們不戴3D眼鏡的時候看到的是一個圖景，當我們戴上3D眼鏡的時候看到的是另一個圖景。電影本身是一個客觀存在不隨我們是否帶眼鏡而改變，但當我們切換我們看電影的方式時，我們便會看到同一個事物不同的呈現結果。電影在眼前播放，當電影播放到某分某秒時，我們戴上眼鏡看到的圖景和客觀事物嚴格一一對應，我們不戴眼鏡看到的事物也是嚴格一一對應的。
考慮到幾何是最直觀視覺化的辦法，我們不防把3個視角都放到一個
二維平面xy座標系（並且指定參考點為O點）
中進行比較。在幾何中的最常見的狀態有兩個，一個是靜止的位置狀態，一個是運動的動作狀態。我們不防從
位置和運動2個維度
理解向量3種表述方法的統一性。
03 向量在描述位置狀態時的統一
好的，讓我們從現實生活中最簡單的問題進行抽象想象。首先是位置狀態的想象。我們知道空間幾何的最小單位就是點，點成線，線成面，面成體，因此我們把研究的物件擬定為最小單位：點，我們嘗試從3個角度來理解
第1個問題：我們如何描述xy座標系中每個點的位置
。
如下圖所示，即準確描述紅點在哪裡，黃點在哪裡，綠點在哪裡，並確保不論誰都能精確無誤地找到。
i. 用物理視角-描述點的位置：
因為物理視角認為“向量是空間中的箭頭，決定向量的2個要素是長度和方向“。這時我們在xy座標系中畫1個箭頭，這個箭頭起點是原點，箭頭終點是目標位置點，然後我們便測量出了這個箭頭的準確且唯一的長度和方向。有了這個長度和方向，我們可以確信，只要按照這個方向和長度不論是誰都一定能找到準確的位置點。並且這個方法可以描述平面座標系中所有的位置點，每個位置點都有一個與之對應的唯一的一個箭頭。
ii. 用計算機視角-描述點的位置：
因為計算機視角認為“向量是有序的數字列表，它是一種計算機語言，列表中每行數字的意義是由我們自行定義的”。於是我們在xy座標系中右上角畫了1個數字列表（如下圖所示），並自定義該數字列表的意義，認為第1行的數字表示“從原點出發沿著x軸走x米遠（向右走為正，向左走為負）”，第2行的數字表示“從原點出發沿著y軸走y米遠（向上走為正，向下走為負）”。透過在平面系中進行測量，我們可以輕易得到x和y分別是多少。有了x和y，我們可以確信，只要沿著x軸走x個單位距離，再沿著y軸走y個單位距離，不論是誰都一定能找到準確的位置點。
值得一提的是，在同一個數字序列中，先執行第1行還是第2行對結果並無影響。如“先沿x軸走x個單位距離，再沿y軸走y個單位距離”、“先沿y軸走y個單位距離，再沿x軸走x軸個單位距離”，從呈現結果上是無差異的。
iii. 用數學視角-描述點的位置：
透過以上2個視角的分析，我們不難發現當我們描述同一個點的位置狀態點時（如下圖2所示），我們可以有3種不同的表示方法，其中序號①為物理視角的有向箭頭，序號②為計算機視角的有序數字列表，需要③為數學視角的符號語言。
觀察下圖2我們進一步發現，當我們採用物理視角的有向箭頭描述點的位置時，若將有向箭頭分別沿著x軸和y軸做垂線，有向箭頭在x軸和y軸的投影長度分別是 | x |和 | y |。是的，沒錯，絕對值中的x和y就是數字序列的代數值。於是，我們便建立起了圖形和數列的聯絡。
不論是以上第幾種描述方法，我們都可以發現，當點A的位置狀態固定時，有唯一一個有向箭頭、一個數字列表、一個數學符號與之對應。反之亦然，即任何一個給定的有向箭頭、數字列表和數學符號，都有且只能確定唯一的位置狀態點A。我們稱，A點的位置與有向箭頭、數字列表和數學符號是
一一對應
的。
至此我們便
從位置狀態理解了向量3種表述方法的統一性
。
如若更進一步，我們把這種特殊的對應關係用數學語言進行描述，用“=”表示描述的是同一個物件和狀態。則可表述如下：
而話說回來，其實這種數學描述上的統一併不是偶然，是因為我們數學家人為地進行了一些條件約束，從而才達到了這樣的3個視角完全統一的神奇效果。
那麼，我們具體做了哪些約束呢？①在物理視角上：如我們要求第1個有向箭頭必須從原點出發，第2個有向箭頭的起點必須是第1個有向箭頭的終點；②在計算機視角上：我們童謠要求是從原點出發，並且人為約定了每個數字序列行的意義。這就是我們數學家的厲害之處。由此才實現了真正意義的絕對一一對應。
以上是描述的是向量的位置屬性。但若將向量描述地更加準確，1個向量符號是具備雙重屬性的數學物件，這個雙重屬性分別是動作屬性和位置屬性。其中，動作屬性是過程，位置屬性是結果。以上兩個屬性是一一對應且唯一的，即一個確定的動作屬性對應唯一的位置屬性，一個確定的位置屬性對應唯一的動作屬性。① 當我們把向量視作一種位置點時，它可以表示唯一的位置狀態點；② 當我們把向量視作一個動作時，它表示一套完整的動作移動，這個動作移動的結果是使得狀態點最終停止到相對起始位置、經過某個確定的動作後、的最終位置點上。
04 向量在描述物體運動時的統一 （向量加法）
以上是靜態的位置狀態，我們感受了3種向量表述方法的統一性。那麼動態運動，3種向量表述方法的運算（或者運動）規律是否也是統一？現在我們回到前面說的向量的主要運演算法則中的“向量加法”。
當我們描述物體運動的時候，在數學上與之對應的其實就是數學運算，如加減乘除等。為了將物體的運動用更直觀視覺化的方式表示。我們同樣把3個視角放在一個
二維平面xy座標系（並且指定參考點為O點）
中，透過視覺化的方法觀察物件的位置變化，來理解3種視角運算在點運動時的統一性。
我們嘗試從3個角度來理解
第2個問題：我們如何描述一個點從O點出發到達A點，稍作休息後，又最終到達一個終點B點這個動作。
如下圖所示，是否準確地描述了這個問題，其檢驗的方法是，不論他中間如何逗留，它都須準確給出O點、A點和B點的最終位置，並確保不論誰都能精確無誤地找到。
i.用物理視角-描述向量加法：
首先，描述“從O點出發到達A點”的動作。顯然我們可以繪製1個紅色箭頭（如下圖1所示），其起點在O點，方向為沿著給定的箭頭方向，走確定的長度，到達相對於O點的確定終點A點。
其次，描述“從A點出發到達B點”的動作。同理我們緊接著繪製了1個橘色箭頭（如下圖2所示），其起點在A點（即上一個箭頭的末端），方向為沿著給定的箭頭方向，走確定的長度，到達相對於A點的確定終點B點。
我們順起來看下圖2，2個箭頭組合起來表示了2個完整的動作。第1套動作為從O點出發到達A點，第2套動作為從A點出發到達B點。當把兩個動作組合起來，就完整地表達了“從O點出發到達A點，稍作休息後，又最終到達一個終點B1點”這個動作。
我們不難發現，以上2個動作對應的2個箭頭和2個位置點是一一對應的。即如果已知A點和B點位置，且知道其運動過程為先到A後到B，那麼就有唯一確定的2個箭頭（即下圖2個紅箭頭與橘色箭頭）；如果已知這2個紅色箭頭和橘色箭頭，便能在xy座標系中找到唯一的A點和B點，並清楚地知道該2點經歷了從O點到A點，後從A點到B點這2套動作。
最終呈現的結果是，O點經過一系列動作，最後從O點移動到了B點。
現在，我們再單獨畫出第3個箭頭（綠色箭頭，如圖3所示）。它的起點是紅色箭頭的起點O，它的終點是橙色箭頭的箭頭終點B，我們得到了唯一一個有確定方向和長度的箭頭。這個箭頭可以表達2個物理意義。1個物理意義是，描述了“B點的位置”，為該向量的位置屬性；另1個物理意義是，描述了“某點從O點運動到B點的動作”，為該向量的動作屬性。
如果我們把這3個箭頭在同一個平面系中表示出來（如圖4所示），就形成了
有向箭頭的2個連續運動行為所體現出來的規律。
我們認為1號箭頭表示“從O點運動到A點”、2號箭頭表示“從A點運動到B點”、3號箭頭表示“從O點運動到B點”。然後我們發現了這3個箭頭之間的存在某種關係，將其用文字描述進行描述則為：存在一個點，先“從O點運動到A點”，“接著”，“從A點運動到B點”。我們發現這2套動作執行下來，和該點“從O點運動到B點”相比，這個點的“最終狀態一致”，都表達了一個點從O點到達了B點。
以上是用
文字描述了有向箭頭的連續運動行為所體現出來的規律
，我們覺得太過冗雜，於是我們考慮用更加簡單的數學語言（＋、＝）進行簡化。我們把①、②、③這3個箭頭分別用帶箭頭的字母v、w、z（如下圖所示）表示，用“＋”描述為“接著”，把“=”描述為“最終狀態一致”。因此這個規律被描述成了一個簡約的數學表示式，如下：
於是透過以上操作，我們成功把有向箭頭的運動所體現出來的規律，用一組數學語言（＋、＝）進行了簡化抽象化，避免了過多的文字描述，抽象出來的客觀觀律我們稱之為
向量的加法運演算法則
。
至此我們已成功完成一個創舉，即將有向箭頭的幾何直觀一一對應到了數學語言。當看待同一個運動行為時，我們既可以認為它是數學語言中加法的數學運算，也可以認為是有向箭頭運動規律描述，並且這兩種理解可以隨時進行切換。
ii.用計算機視角-描述向量加法（
和物理視角的推演類似
）：
首先描述“從O點出發到達A點”的動作。我們可以繪製1個2行的數字序列［g，h］，第1行指“沿著x軸走g米遠（向右走為正，向左走為負）“，第2行指“沿著y軸走h米遠（向上走為正，向下走為負）”。如下圖1所示，第1行和第2行分別對應序號①、②兩個動作。
然後，描述“從A點出發到達B點”的動作。我們再繪製1個2行的數字序列［i，j］，第1行指“先沿著x軸走i米遠（向右走為正，向左走為負）“，第2行指再沿著y軸走j米遠（向上走為正，向下走為負）”，如下圖2所示，第1行和第2行分別對應序號③、④兩個動作。
我們順起來看圖2，2個序列組合起來表示了2套完整的動作。第1套動作指“先沿著x軸向右走|g|米遠，再沿著y軸向上走|h|米遠“。第2套動作指“沿著x軸向右走|i|米遠，再沿著y軸向下走|j|米遠（其中j是負數）“。當把2套動作組合起來，即完整地表達了“從O點出發到達A點，稍作休息後，又最終到達一個終點B點”這個動作。
我們不難發現，以上2個數字序列和2個位置點同樣是一一對應的。即如果已知A點和B點位置，且知道其運動過程為先到A後到B，那麼就有唯一確定的2個數字序列（即［g，h］和［i，j］）；如果已知這2個數字序列，便能在xy座標系中找到唯一的A點和B點，並清楚地知道該2點經歷了從O點到A點，後從A點到B點這2套動作。
最終呈現的結果是，O點經過一系列動作，最後從O點移動到了B點。
我們透過以上①、②、③、④四步操作找到了B點位置點。因此我們便可用一個唯一確定的序列［k，l］來表示B點位置點。如下圖3所示，這個序列的第1行和第2行分別對應序號⑤、⑥兩個動作。這個序列可以表達2個費物理意義。1個物理意義是，描述了“B點的位置”，為該向量的位置屬性；另1個物理意義是，描述了“某點從O點運動到B點的動作”，為該向量的動作屬性。
如果我們把這3個序列放在一個平面系中表示出來（如下圖4所示），
就發現了用數字序列描述物體運動時，序列所體現出來的數值規律，
如圖4所示：
我們利用［g，h］和［i，j］2個數字序列背後的現實意義，將其理解為某點“沿x軸向右走g米”，然後”沿y軸向上走h米”，然後”沿x軸向上走i米”，然後”沿y軸向上走j米（其中j是負數）”；
透過常識我們知道，以上①②③④四個動作是可以換位置的。即我們先完成①和③兩個動作，合併後便是“沿x軸向右走（g＋i）米”，然後再完成②和④兩個動作，合併後便是“沿y軸向上走（h＋j）米”，透過①③②④這樣的運動順序，我們同樣也能成功找到最終B點的位置，並可以根據數字序列的定義將這個過程表達為［g＋i，h＋j］這樣的形式；
這時我們發現，［k，l］的意思是“沿x軸向右走k米，沿y軸向上走l米”，不也是表達B點的位置麼。可我們知道同一個點的序列應該是隻有一個的。那麼答案只有一個，［k，l］和［g＋i，h＋j］其實是同一個序列。即兩個數列的數字元素中，k＝g＋i， l＝h＋j。
綜上，當用數字序列描述物體運動時，序列所體現出來的數值規律為：某點經過了［g，h］運動，接著經歷［i，j］的運動，最終到達的狀態點為B點［k，l］，且在數值上k＝g＋i， l＝h＋j。
以上是用
文字描述了用數字序列描述物體運動時，序列所體現出來的數值規律，
我們覺得太過冗雜，於是我們將這個顧慮用更加簡單的數學語言（＋、＝）進行簡化。其中，序列之間的“＋”表示“接著”，兩個代數之間的“＋”即為數字運算，把“=”描述為“最終狀態一致”。因此這個規律被描述成了一個簡約的數學表示式，如下：
於是透過以上操作，我們成功把用數字序列描述物體運動時所體現出來的規律，用一組數學語言（＋、＝）進行了簡化抽象化，避免了過多的文字描述，抽象出來的客觀觀律我們同樣稱之為
向量的加法運演算法則
。
至此我們又成功完成一個創舉，即將數學語言與數字序列也一一對應了起來。
iii.用數學視角-描述向量加法：
以上分析中，我們從位置和運動2個角度，成功將有向箭頭與數學語言進行了一一對應，後來又將數字序列也與數學語言進行了一一對應。可見，3者是完全可以一一對應並相互切換的（如下圖所示）。這也證實了3種向量描述的統一性。
題外話：那麼如何表示直接從A點到達B點呢，這就是反向運算減法的內容了，方法類似。
05 向量在描述物體變化時的統一 （向量數乘）
現在我們談談，另外一個主要運算規則——
向量數乘
。同樣我們可以從描述一個具體物件入手，即向量的“拉伸”或“壓縮“。從3種不同視角看待這項運動：
i. 用物理視角-描述向量的拉伸與收縮：
物理視角是最直觀視覺化的描述。現在我們假設有一個從原點O出發的有向箭頭，長度為
（如下圖1所示）。當我們想要描述箭頭的拉伸或者壓縮到原來的k倍這個動作是，我們首先做了幾個認為約定，首先要求有向箭頭拉伸或壓縮的方向只能沿著原方向或反方向來，且箭頭的起始點不能動，有了這2個約束前提後，當我們進行拉伸和壓縮這兩個動作並指定一個固定的倍率k時，就形成了如下圖1~圖4所示的xy座標系中唯一確定的4種固定狀態。
若換一種角度思考，我們知道實數域的乘法常被定義為“k個幾相加”。進行類比後，我們發現向量的數乘亦可用k個幾這樣的表達形式，即我們可以將向量的數乘運算看成幾個完全相同有向箭頭收尾不斷連線的過程。
ii. 用計算機視角-描述向量的拉伸與收縮：
當我們進行以上描述的拉伸/壓縮行為後，我們發現原狀態對應的數字序列是［x，y］，變化後的狀態所對應的數字序列就成了［kx，ky］。對於不同的k值範圍，對應了不同的向量變化，如下圖1~圖4所示。
06 小結
至此告一段落，本次學習終於告一段落。這次花費了極大的力氣，其實只是完成了“從物理視角（幾何角度）、計算機視角（數值角度）、數學視角（符號與符號的運算）的角度，理解了向量的不必同表達形式、以及2個向量運演算法則（加法及數乘）的內涵”這幾道工作，僅此而已。
但以上工作它的意義確實無窮的。 因為當我們徹底理解了這些基礎概念後，當遇到實際問題，你們便有可能將這些實際問題抽象向量並進行運算然後得到結果。而向量化後用哪種視角來看待向量，這完全根據我們個人的喜惡來，我們可以同時從3個視角抽象化現實問題，我們可以將它視作有向箭頭，或數字序列，或看做單純的數學符號。我們甚至可以此刻將其看做一個有向箭頭，過了一段時間我們將其看做一個數字序列，又過了一陣子把它看成數學符號，並且完全不用擔心會出錯。為什麼我們有這個自信，因為在任何一個狀態下，此三者都可以隨時隨地進行切換與對應。《線性代數》最大的魅力並不在於體現在其中某個觀點上，而是更多體現在它能夠在這些觀點中隨時切換和轉化。
因此，一方面，《線性代數》為資料分析提供了一條將大量資料列表概念化、視覺化的渠道，它讓資料樣式變得非常明晰，並讓你大致瞭解特定運算的意義。而另一方面，它又給物理學家和計算機圖形程式設計師提供了一種語言，讓他們透過計算機能處理的數字來描述並操縱空間。
07 感想
這次艱難地完成了對一個只有不到15分鐘的影片進行了解讀，和二次消化。我並不確信這些長文描述是否有讀者願意往下深度，或者是否寫的過於囉嗦或者抽象有待提煉。但我確信，透過這種溫故而知新的過程，我對向量的本質已形成了自己深刻而獨到的間接。
本次長達整整一天半的提煉和總結，讓我不僅感嘆：
數學源於生活生產。如2維的平面、3維的空間，我們都可直觀地將物理、計算機思維類比和想象，形成我們的數學工具。
但數學又高於生活生產。隨著研究不斷深入，當我們把維數擴充到4維、5維甚至N維時，數學超越了我們的日常生活和幾何想像，轉而成為了抽象概念，慢慢演化為純理論數學。而這純理論數學，似乎不斷地催新著我們理論物理學家的想象力。時空是四維空間麼？我們的宇宙是一個幾維空間？興許未來有一天，它便能引領我們理解宇宙。
而與此同時，我也忍不住反思老生常談的話題。數學規律如此美妙，如同最美麗的巧合。那麼它們究竟是被我們“發明”出來的，還是僅僅只是被我們“發現”了，眼下就成了一個哲學高度的問題。
