緊緻運算元Fredholm運算元指標理論筆記1

作者：由 Yuz.Scarlet 發表于攝影時間：2019-12-17

Banach Algebra Techniques in Operator Theory第五章。

記有限軼運算元為

$\mathfrak F(\mathscr H)$

，緊緻運算元為

$\mathfrak C(\mathscr H)$

。緊緻運算元將

$\mathscr H$

的單位閉球對映為一個緊集。

命題1

，

$\mathfrak F(\mathscr H)$

是

$\mathfrak L(\mathscr H)$

的

最小雙側*理想

。

$\mathfrak F(\mathscr H)$

顯然是

雙側*理想

，只需證明極小性。假設

$\mathfrak J$

是

$\mathfrak L(\mathscr H)$

的非空理想，那麼此時存在

$f\in \mathscr H$

與

$T\in \mathfrak J$

滿足

$\|Tf\|=1$

。此時，顯然任何

rank1運算元

都可以由

與一些

rank1運算元

符合而成，這也就說明了

$\mathfrak F(\mathscr H)\subseteq \mathfrak J$

，從而

$\mathfrak F(\mathscr H)$

是最小的。

命題2

，設

$T\in \mathfrak L(\mathscr H)$

，那麼

是緊緻的當且僅當

把弱收斂的有界網對映為範數收斂網。

設

緊緻，

$\{f_j\}\to f$

弱收斂，那麼

$\{Tf_j\}\to Tf$

弱收斂，並且由緊緻運算元的定義，存在範數收斂子列。但是，範數收斂強於弱收斂，因此範數收斂子列必然收斂於

，這在緊集內也就意味著

$\{Tf_j\}\to Tf$

範數收斂（否則存在一個極限不同的收斂子列）。

反之，設

將弱收斂的有界網對映為範數收斂網，那麼對於

$\mathscr H_1$

內的網

$\{f_j\}$

，總可以從中選出弱收斂的子網，此時有

$\{Tf_j\}\to Tf$

範數收斂，這也就意味著

$T\mathscr H_1$

的網總有收斂子網，因此

$T\mathscr H_1$

是緊集。

引理3

，單位球是緊的當且僅當空間維度有限。

自明。

引理4

，緊緻運算元的像域沒有無窮維閉子空間。

設

$\mathscr M$

是

的像域內的閉子空間而

是其上的投影，那麼

是緊緻運算元，並且是

$\mathscr H\to \mathscr M$

的有界滿射，此時根據開對映定理，

是開運算元。由於

$0\in \mathscr M$

，因此存在一個閉球

$\bar B(0,\epsilon)$

被包含在

$\mathscr M$

內，由

的緊緻性，

$\bar B(0,\epsilon)$

的維度有限，這也就說明了

$\mathscr M$

的維度有限。

定理5

，

$\mathfrak C(\mathscr H)$

是

$\mathfrak F(\mathscr H)$

的範數閉包。

顯然，有限軼運算元都是緊的，而收斂的緊緻運算元網顯然收斂至緊緻運算元，因此

$\mathfrak C(\mathscr H)$

包含了

$\mathfrak F(\mathscr H)$

的閉包。需要證明的是緊緻運算元總可以用有限軼運算元逼近。考慮緊緻運算元

的極分解

，其中

是正定運算元而

是半等長運算元。根據前一章的

命題5-1

，可以將

$\mathscr H$

分解為

的可分約化子空間的直和，意即

$\mathscr H=\bigoplus_{\alpha\in A}\mathscr H_\alpha$

，記

$\mathfrak W_\alpha$

為

$P_\alpha$

生成的

W*代數

。由於

的自共軛性，我們知道

$r(P_\alpha)=\|P_\alpha\|\leq \|P\|$

，考慮

$\chi_\epsilon$

表示

$(\epsilon,\|P\|]$

的指示函式，此時

$E_\alpha^\epsilon=\chi_\epsilon(P_\alpha)$

是

$\mathscr H_\alpha$

內的投影運算元。接下來令

$\psi_\epsilon(x)=\chi_\epsilon/x$

，那麼

$\psi_\epsilon(P_\alpha)P_\alpha=E_\alpha^\epsilon$

，這也就說明

$\text{ran }\left(\bigoplus_{\alpha \in A}E_{\alpha}^\epsilon\right)=\text{ran }P\left(\bigoplus_{\alpha\in A}\psi_\epsilon(P_\alpha)\right)\subseteq \text{ran }K$

。由於

是緊的，因此

$\bigoplus_{\alpha \in A}E_\alpha^\epsilon$

是有限軼運算元，從而

$P_\epsilon=P\left(\bigoplus_{\alpha \in A}E_\alpha^\epsilon \right)$

是有限軼運算元，因此

$K=\lim _{\epsilon\to 0}P_\epsilon V$

可以由有限軼運算元逼近。

推論6

，運算元

是緊緻的當且僅當像域不包含無窮維閉子空間。

注意到定理5只使用了

$\text{ran }K$

不包含無窮維閉子空間這一事實，因此對於滿足條件的

我們可以用同樣的方法用有限軼運算元對其逼近，從而

是緊的。

推論7

，

$\mathfrak C(\mathscr H)$

是

最小閉雙側*理想

；如果

$\mathscr H$

的維度是可數無窮，那麼

$\mathfrak C(\mathscr H)$

是唯一的

真閉雙側理想

。

由於

$\mathfrak C(\mathscr H)=\mathbf{clos}[\mathfrak F(\mathscr H)]$

而

$\mathfrak F(\mathscr H)$

是

最小雙側*理想

，因此

$\mathfrak C(\mathscr H)$

的最小性得證。對於後者，設

不是緊運算元，那麼

$\text{ran }T$

包含無窮維閉子空間

$\mathscr M$

，如果我們能證明

$\mathscr M$

上的投影

被含

理想包含，那麼由於

$\mathscr H$

同構於

$\mathscr M$

，單位元必然被含

理想所包含。首先可以任意選取一組線性無關向量

$\{f_j\}$

使得它們分別被

對映為

$\{e_j\}$

而後者張成

$\mathscr M$

。考慮前者張成的空間

$\mathscr N$

，顯然

$T:\mathscr N\to \mathscr M$

是連續的雙射，因此是同構，從而

$T\circ T^{-1}=P$

。

我們稱

$\mathfrak L(\mathscr H)/\mathfrak L\mathfrak C(\mathscr H)$

為

Calkin代數

，這是一個

C*代數

。當

$\pi(T)$

在商空間內可逆時，我們稱

是一個

Fredholm運算元

，所有

Fredholm運算元

記為

$\mathscr F(\mathscr H)$

。

命題8

，

$\mathscr F(\mathscr H)$

是自共軛的開集，對乘法封閉，並且對

緊緻攝動

不變。

最後一句話的含義是，

$\mathfrak C(\mathscr H)+\mathscr F(\mathscr H)=\mathscr F(\mathscr H)$

。

自共軛性顯見。首先我們知道，

$\mathfrak L(\mathscr H)/\mathfrak C(\mathscr H)$

的可逆元集合

$\Delta$

是一個開集，因此

$\pi^{-1}(\Delta)$

自然也是開集。之後，由於

$\pi(T)\pi(P)=\pi(TP)$

，所以當

$\pi(T)$

與

$\pi(P)$

分別可逆時自然有

$\pi(TP)$

可逆。最後，由於

$\mathfrak C(\mathscr H)$

是商核，當然是緊緻攝動不變的。

引理9

，如果

$\mathscr M$

是閉子空間，

$\mathscr N$

是有限維子空間，那麼

$\mathscr M+\mathscr N$

是閉子空間。

考慮

$\mathscr H\to \mathscr H/\mathscr M$

的同態

$\pi$

，由於

$\pi(\mathscr N)$

是有限維空間所以是閉的，因此

$\mathscr M+\mathscr N=\pi^{-1}\pi(\mathscr N)$

是閉的。

定理10(Atkinson)

，

是

Fredholm運算元

當且僅當

$\text{ran }T$

是閉集並且

$\text {ker } T$

和

$\text{ker }T^*$

是有窮維空間。

對於

Fredholm運算元

，根據定義存在

與緊的

使得

，而

$\ker T\subseteq \ker {} AT=\ker (1+K)\subseteq \text{ran } K$

，因此

$\text{ker }T$

是有限維空間，同樣地

$\ker T^*$

也是有限維空間。接下來證明

$\text{ran }T$

的閉性。首先取有限軼運算元

滿足

$\|K-F\|<1/2$

，此時取

$f\in \ker F$

則有

$\|Tf\|\geq \|f\|/2\|A\|$

，因此

在

$\ker F$

內下有界，從而

$T(\ker F)$

是閉集。另一方面

$(\ker F)^\bot$

是有窮維空間，因此

$\text{ran }T=T(\ker F)+T(\ker F)^\bot$

是閉空間。

反之，考慮

在

$(\ker T)^\bot$

上的限制

，那麼顯然

是雙射，因此根據開對映定理是同構。將

$T_0^{-1}$

擴張為

$\mathscr H$

上的運算元

，則

而

，其中

分別是

$\ker T,\ker T^*$

上的投影，從而是緊的，因此

是

Fredholm運算元

。

標簽：運算元緊緻收斂範數有限

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