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這道極限怎麼求啊？

作者：由敗者食塵發表于攝影時間：2022-03-09

知乎使用者2022-03-09 17:36:34

tx換元之後用洛必達

freeMaths2022-03-09 18:53:07

題：

$\lim_{x \to 0}\frac {2\int_0^x\sin (t^2x^2)\mathrm dt}{x^5}.$

因

$0\leqslant t \leqslant x$

，當

$x\to 0$

時，

$t\to 0$

，於是由泰勒公式

$\sin (x^2t^2)=x^2t^2+o(t^6)$

。

於是

$\int_0^x\sin (t^2x^2)\mathrm dt=\int_0^x x^2t^2+o(t^6)\mathrm dt=\frac 13x^5+o(x^7),$

則

$\lim_{x \to 0}\frac {2\int_0^x\sin (t^2x^2)\mathrm dt}{x^5}=\lim_{x \to 0}\frac {2\left(\frac 13x^5+o(x^7)\right)}{x^5}=\frac 23.$

匿名使用者2022-03-10 00:22:42

題目：

$\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{2\int_{0}^{x}sin(xt)^2dt}{x^5}}$

令

，則

$t=\frac{u}{x}$

即原式等價於：

$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0}{\frac{2\int_{0}^{x}sin(xt)^2dt}{x^5}}&=2\frac{\int_{0}^{x^2}sin(u)^2du}{x^6}\\&\xlongequal{L$

沒意義的草稿，請自行跳過

夢想的其點2022-03-10 06:28:07

這個題目可以採用換元法做，原式等於

$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{x}2\int_{0}^{x}sin(tx)^{2}d(xt)}{x^{5}}$

令u=tx，當t=x時，u=

$x^{2}$

當t=0時，u=0

那麼上式可以寫成

$\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{2\int_{0}^{x^{2}}sinu^{2} du}{x^{6}}}$

這是一個

$\frac{0}{0}$

型的極限，

因此可以用洛必達法則去求，可以寫成

$\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{2sinu^{4}.2u}{6x^{5}}}$

=

$\frac{2}{3}$

這個題目是比較經典的，可以想想為什麼可以使用換元法？這種題目在武忠祥老師和李林老師的輔導講義上出現過，這兩位老師的書籍質量都很好，有需要的同學可以買來看看。

fighting2022-03-10 17:12:37

$\begin{align}\lim_{x\to0}\frac{2\int_0^x\sin(tx)^2\mathrm dt}{x^5}&=2\lim_{x\to0}\frac{\int_0^x(tx)^2\mathrm dt}{x^5}\\&= 2\lim_{x\to0}\frac{\int_0^xt^2\mathrm dt}{x^3}\\&=\frac23. \end{align}$

標簽：題目可以洛必達 TX 元法

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