來解題吧 | 加權費馬點

在解這型別題目之前，首先複習一下基本的費馬點知識（

幾何模型 | 費馬點

），費馬點型別解題的本質是透過旋轉將三條線段轉化到一條直線上，由“兩點間線段最短來進行解題”。

常規的費馬點型別的題目，三條線段的比例關係是1：1：1，所以透過旋轉60°，中間得到一個等邊三角形，將其中一條邊進行轉化，從而轉變到一條直線上。

那麼今天我們來看下幾道與眾不同的題目：

分析：P點可以看成是△QBC的費馬點，只是現在要等到根號2倍的BP，所以將△BPC旋轉90°即可。

解這道題分3步走：

第一步，將△BPC繞點B順時針旋轉90°；

第二步，連線PP‘，則PP’=√2BP，當Q、P、P‘、C’四點共線時，得到最小值；

第三步，解三角形，求出最小值；

分析：P點可以看成是△QBC的費馬點，只是現在需要解決兩個問題，一是要等到根號2倍的BP，所以將△BPC旋轉90°即可，二是Q是動點，最後轉化成垂線段最短問題。

解這道題分3步走：

第一步，將△BPC繞點B順時針旋轉90°；

第二步，連線PP‘，當QPP’C‘四點共線時，線段最短；

第三步，因為Q是動點，當QC’垂直AD時，取得最小值；

此時Q與A重合，費馬點P恰好在點B上。

第四步，解三角形；

此時最小值就等於2AB=8；

分析：P點可以看成是△ABC的費馬點，只是現在需要解決兩個問題，一是要等到2倍的BP，二是得到根號5倍的PC，如何解決？

解這道題分4步走：

第一步，將△BPC繞著點C逆時針旋轉90°；

第二步，將△B‘P’C以C為位似中心，放大2倍；

第三步，連線PP‘’，則PP‘’=根號5倍CP，B‘’P‘’=2BP；當A、P、P‘’、B‘’四點共線時，取得最小值；

第四步，解三角形；

分析：P點可以看成是△ABC的費馬點，只是現在需要解決兩個問題，一是要等到根號3倍的BP，二是得到2倍的PC，如何解決？

解這道題分4步走：

第一步，將△BPC繞著點C逆時針旋轉90°；

第二步，將△B‘P’C以C為位似中心，放大根號3倍；

第三步，連線PP‘’，則PP‘’=2CP，B‘’P‘’=根號3倍BP；當A、P、P‘’、B‘’四點共線時，取得最小值；

第四步，解三角形；

總結：

1、根據線段的比例關係，一般都是滿足勾股定理；

2、係數為1的線段不動，找準旋轉中心，將係數處於中間長度的線段進行旋轉90°；這是一個重點，需要透過上面兩個例題發現規律；

3、找準位似中心，並且進行相應的位似變化；可以得到對應的加權線段關係；

4、求解三角形，求出最小值；