倉位管理：超越凱利公式，夢迴華爾街！

來自：quantfiction

編譯：1+1=6

正文

愛因斯坦曾說過：“複利是世界第八大奇蹟”。

世界上最強大的力量，不是原子彈，而是複利+時間

複利投資的關鍵除了本金與年化收益率，便是

時間

的神奇“魔力”。

我們來看看複利計算公式：

FV=PV*(1+i)^n

其中

FV：Final Value終值

PV：Present Value現值

i：收益率

n：投資期數

舉個簡單的例子，如果你有1萬元資金，投資時間為5年，年化收益率為10%。五年後，你一共能拿回多少呢？按照上面的公式，結果就是：

FV=10000*(1+10%)^5=16105.1元

這是交易者需要理解的最重要的一個概念。

為了在金融市場上獲得真正的財富，人們必須隨著賬戶的增長擴大頭寸規模。那麼，我們應該在每個交易機會中承擔多少比例的資本風險？今天的推文帶你揭開這個答案。

案例1：拋硬幣

讓我們從一個簡單的例子開始。假設在一個賭場，你和韓梅梅玩拋硬幣的遊戲，並根據結果下賭注。如果硬幣是正面，你下注多少，韓梅梅就double你的注數；如果硬幣是反面，你將輸掉了整個賭注。那麼，問題是，

你應該拿自己的多少本金來玩這個遊戲

？直觀地說，它應該低於100％。如果第一次拋硬幣反面朝上，你就輸的光溜溜了！

在回答這個問題之前，我們將討論

期望

的概念，其表示為所有可能結果的平均值：

其中

X：所有可能結果的隨機變數

n：結果總數

x：每個結果的值

我們把這個值稱為算術平均值。不過，我們更感興趣的是幾何期望值，也就是每次投注的預期資本回報率。這個數字越大，我們的財富累積速度就越快，最終資本價值也就越大。我們將其稱為geometric holding period return（縮寫為GHPR）。這個值的公式如下：

在拋硬幣的例子中，這個等於（3*0）^（1/2）-1=-1。這告訴我們，如果一個人在每次拋硬幣時都將其資本的100%用於風險投資，那麼他的預期回報率是-100%；也就是說他失去了所有的錢。

程式碼如下：

Expected Value （Arithmetic）： 50。0%

Expected Value （Geometric）： -100。0%

分散賭注

如果我們每次都用1%的資金進行風險投資，潛在的結果將是2%的收益或1%的損失。讓我們來看看在這個場景下的期望值：

Expected Value （Arithmetic）： 0。5%

Expected Value （Geometric）： 0。489%

由於每次投資的風險只佔我們資金的一小部分，GHPR現在是正值。還要注意幾何期望值小於算術值。其實，5%也只是一個猜測值！肯定有一個數字在1%到100%之間，可以在不破產的情況下使我們的資本增長最大化，凱利公式來啦！

凱利公式

在機率論中，凱利公式（也稱凱利方程式）是一個用以使特定賭局中，擁有正期望值之重複行為長期增長率最大化的公式，由約翰·拉里·凱利於1956 年在《貝爾系統技術期刊》中發表，可以計算出每次遊戲中應投注的資金比例。

其中

f：每次投注資本的最優比例

W：盈利機率

1-W：虧損機率

R：賠率

我們來看看基於凱利公式的結果是：

Kelly f： 0。25

Expected Value （Arithmetic）： 12。5%

Expected Value （Geometric）： 6。06602%

最優f

我們可以透過遍歷所有可能的結果並評估每個GHPR值來檢視是否存在一個最佳的持股比例點。這將生成一條曲線，該曲線的峰值代表下注的最佳比例。Ralph Vince把這個值稱為最優f。

程式碼如下：

Optimal f： 0。25

Expected Value （Arithmetic）： 12。5%

Expected Value （Geometric）： 6。066%

我們可以看到，這種方法返回的結果與凱利公式相同。我們很快就會發現這種方法可以將值插入公式中。同樣重要的是，要從圖表中注意到投資風險過大的影響。即使這個遊戲的預期收益非常高。事實上，在你的賬戶中投資超過f的最優比例實際上會對複合增長產生負面影響。應該清楚的是betting big to win big的想法只在一定程度上是正確的。

案例二：擲骰子

下一個場景是擲骰子。現在讓你下注。如果骰子出現偶數，韓梅梅付給你雙倍的賭注。如果結果是奇數，你付給韓梅梅相同的倍數。我們看到這個遊戲的算術期望是對你有利的。然而，為了評估這個遊戲的幾何平均收益，我們首先需要約束收益。如果你輸五次，你付給韓梅梅5倍的賭注，你的賭資應該是你本金的1/5。

Expected Value （Arithmetic）： 10。0%

Expected Value （Geometric）： -100。0%

我們再次看到，如果你冒太大的風險，一開始看起來不錯的賭注最終會讓你破產。我們可以使用凱利公式來嘗試確定每次下注的最佳投放量。

讓我們透過評估曲線的峰值將其與最佳f值進行比較。

實際案例：市場收益

歷史證明，股票市場是透過複利增長資本的可靠途徑。讓我們來看看為了獲得最大的收益，我們應該在市場上投入多少資本！

在接下來的研究中，我們的資料基於標準普爾500指數ETF的日收益率：

讓我們將凱利公式建議的分數與最優f進行比較：

凱利公式建議的分數實際上遠不是最優的。在這種情況下，我們實際上應該投入更多的資本。為此，我們必須使用槓桿，要麼透過借錢增加投注規模，要麼利用期權或期貨等帶有槓桿的交易工具進行交易。

回撤

到目前為止，我們只專注於最大化我們的資本收益。如果投資於最優f，賬戶價值將是初始價值的60倍以上。然而，作為一個投資者，我們可能也同樣關心我們所承擔的風險。

程式碼：

為了實現最大收益，SPY自成立以來使用超過3倍的槓桿買入。這將產生最大的複合收益率，但會導致：

最大回撤：97.23%

在具有隨機結果和正的數學期望的情況下，在每個事件上都有有限資金的最優部分。我們已經研究了兩種確定這個最優比例的方法，凱利公式和最優f。我們還看到，

風險超過這個最優比例並不會給賭徒/交易員帶來任何額外的收益

。

回撤曲線

上面的例子表明，在最優f上投資SPY會導致一些極端的不適。讓我們來看看如何構造一條類似於GHPR最大跌幅的曲線，透過增加頭寸規模來增加最大回撤。另外還提供一個衡量指標：Ulcer Index，程式碼如下：

從圖中可以看出，隨著頭寸規模趨近於最優f，收益率和最大回撤都在增加，降額在最優f處超過90%。隨著我們進一步擴大規模，縮減繼續接近100％。然而，收益開始下降。這強化了這樣一個事實：

透過增加規模來增加利潤超過最優f是徒勞的。這樣做只會帶來更多的痛苦。

然而，許多投資者的承受力遠遠低於97%。大多數人都有一個心理極限，如果超過這個極限，他們就會把錢從桌子上拿走。各位：

回測和實盤真的不一樣

如果一個人不能承擔風險，那麼回報就無關緊要了。出於這個原因，我們要努力下調超過我們極限點的限制曲線。新的有界曲線的峰值出現在實際的最優比例處。使用這部分資金將帶來最大的收益，同時保護我們免受最大回撤的心理痛苦。

例如，假設我們希望在SPY中最大化我們的收益，而不讓我們的虧損超過25％。

程式碼：

為了避免25%的回測，我們需要將槓桿從最優f值降低近9倍！

回撤讓你清醒

對於從業人員來說，回撤是一個很好的風險指標，因為它最直接影響了他們的情緒。實際上，很少有交易員根據收益率的標準差或類似的波動性指標來決定是否遵循制定的策略。看著自己的賬戶餘額從100萬元虧到60萬元，這是一種深刻的心靈體驗！然而，使用回撤作為風險度量也存在許多限制。

收益順序

與複合收益不同，最大回撤取決於實現收益的順序。我們將在下面透過打亂標準普爾收益的順序並研究由此產生的股票曲線來說明這一點。

我們看到，無論每日收益的順序如何，每條曲線的GHPR都是相同的。使用傳統定義的最優f不會區分這些曲線。然而，最大和最小的回撤的差異超過了20%！這是在只生成了10條曲線之後；我們將在下面看到，可能的值可以有很大的變化。

最大回撤：78.479%

最大回撤從不到30％到超過70％不等！這個範圍比較廣泛。如果我們想使用回撤作為風險度量，我們需要處理其固有的不確定性。我們無法完全限制預期回撤結果，因為最大回撤值可能會出現在很大範圍內。然而，我們可以相當有信心地說，所經歷的最大回撤不會超過我們的閾值。為了做到這一點，我們計算了可能超過我們的風險閾值的最大回撤情況的百分比。如果這個百分比太大，我們必須使用較小的倉位（頭寸）。

時間範圍

回撤的第二個重要特徵是它依賴於時間範圍。事實上，

可以證明最大回撤與時間的平方根成正比

（大家可以自己證明一下）。直觀地說，一個賬戶下個月的最大回撤將低於下一年的最大回撤。為了準確地設定最大回撤的閾值，我們需要定義時間範圍。

例如，我們可能會指定在明年（約250個交易日）內回撤不得超過25％。基於我們之前的研究，我們想以一定程度的確定性或信心來陳述這個約束條件。統計顯著性的一般為5%。我們希望有95%的把握，在未來的一年裡，回撤將少於25%。

為了確定在這些條件下的理想情況，對於0和1之間的每一個f值，我們將採用以下步驟：

生成許多可能的權益曲線（類似於蒙特卡羅）。

根據我們期望的時間範圍，從收益分佈中隨機抽取一些收益作為樣本。

通常選擇>1000來獲得一個精確的回撤分佈圖。

計算每條曲線的GHPR和最大回撤。

確定在我們指定的置信水平上的回撤水平。

記錄GHPR值的中值（可以選擇百分位數）。

如果在我們指定的置信水平上的回撤值低於我們的風險閾值，則將中值GHPR指定為該f的GHPR值。

如果不是，則設定GHPR = 0。以這樣的倉位交易風險太大了。

在這個新的f曲線中找到一個點，使GHPR的期望值最大化。

我們稱這個點為“理想的f”。

使用這種方法，我們看到曲線更加參差不齊。這是由於使用蒙特卡羅模擬時所涉及的固有隨機性。然而，我們觀察到GHPR和回撤之間的一般關係與以前相同。有趣的是，這種方法建議使用的槓桿是之前確定性方法的2倍多。這有兩個原因。

首先，我們大大縮短了時間範圍。雖然第一次嘗試使用了SPY的整個價格歷史（近25年），而第二種方法模擬了未來一年的曲線。時間越短，我們預期的回撤就越少。其次，指數

收益率等金融時間序列往往同時表現出波動性聚類和自相關性

。這意味著單個收益並不完全獨立於以往收益，這是我們在建模過程中使用的假設。為了解決這個問題，用於將結果輸入到頭寸調整演算法的策略應該在做出買入/賣出決策時就應該考慮這些因素。

在這些計算中使用的收益必須代表預期未來收益。理想的情況是使用實際收益或paper trading的結果。如果必須使用回測的結果，建議

儘可能使用樣本外的結果

。將過度最佳化的樣本內結果代入這些公式，會低估風險，高估收益。如果你的策略在回測中夏普比率為8，但在實時交易中夏普比率接近0。5，那麼你的槓桿將會很高，並很快超過你的風險承受能力。

現在，我們有了一種方法來確定我們理想的頭寸規模佔我們總賬戶淨值的百分比。

但是，此方法只適用於單票收益。作為投資者，我們希望將多種資產和多策略組合到一個投資組合中去。

兩枚硬幣

在開始，我們研究了頭寸大小對拋硬幣遊戲的影響。這次，我們要用兩個硬幣。為了顯示不同程度的相關性所產生的影響，我們將嘗試三種不同的場景：兩種不相關的硬幣、兩種正相關的硬幣和兩種負相關的硬幣。

頭兩場的結果和之前一樣正面翻倍，反面輸掉100%在第一個（非相關）場景中，潛在的結果如下：

因為兩枚硬幣都是同時拋的，所以我們必須在拋硬幣之前下注。我們可以獨立地對每一枚硬幣下注，並以可能導致全部破產的金額為界限。在這種情況下，如果兩個下注大小的總和>=100％，那麼當場景4發生時，我們將保證損失所有的錢。根據這些投注規模計算出每個結果k的加權收益率R，計算公式如下：

其中

N：投注的獨立結果總數

f：每個結果上的資金比例

x：每個結果的返回值

一旦我們有了這組加權收益，我們就可以像前面一樣計算GHPR了。

現在的目標是透過找出資金在每個結果上的最優比例來最大化兩個賭注組合的GHPR。我們可以透過迭代每個下注大小的組合，計算每個組合的GHPR值，然後檢視峰值在哪裡來實現這一點。

Output：

coin 1 0。230000

coin 2 0。230000

ghpr 0。119119

從上面的結果中我們可以看出，為了使我們的資金長期增長最大化，最優策略是將23%的資金投入到每一種結果上，並將賭注押在正面。。這意味著我們的總風險是每個事件帳戶的46％（兩次拋擲）。該策略的預期GHPR為11。9％。

在最開始的例子中，在相同的機率下，單次拋硬幣的最佳比例是25%，預期GHPR為6。07%。使用兩個不相關的硬幣，風險和潛在收益都幾乎翻了一番。在這一點上，你可能會想，“你為什麼不把兩倍的錢押在一枚硬幣上呢？”下面的場景將說明為什麼多樣化對我們有利。

相關硬幣

讓我們來看看拋兩枚完全相關的硬幣的情況，也就是說，如果一個正面朝上，另一個正面朝上，反之亦然。這個遊戲只有兩種可能的場景：

我們可以用第一個方法來檢驗這個博弈的最優策略。

Output：

Coin 1 0。00000

Coin 2 0。25000

ghpr 0。06066

在這種情況下，最優策略遵循完全相同的策略，就好像他們只能押一枚硬幣一樣。事實上，就像在一枚硬幣的情況下一樣，完全忽略第二個賭注，在第一個賭注上押上你賬戶的25%。

負相關

我們將研究與第一枚硬幣負相關第二枚硬幣的情況。但問題是：第二枚硬幣的期望值實際上是負的。

第二枚硬幣的收益如下：反面，你仍然輸掉100%的賭注。然而，如果出現正面，你只贏了60%的賭注。

乍一看，人們可能會想，你為什麼要把自己的資本配置給第二枚硬幣。這種遊戲的算術期望值是每次輸掉20%的賭注；這比賭場裡的每場比賽都要糟糕！但是如果我們同時對這兩個負相關結果下注，我們來看看結果：

Output：

Coin 1 0。790000

Coin 2 0。990000

ghpr 0。130646

對於這個結果，首先，最大GHPR實際上從11。9％增加到13。1％。其次，我們建議在每一個可打賭的事件上（需要使用借來的錢或槓桿）押注資金總額的近180%。最後，我們應該把更大的賭注分配給一枚硬幣，隨著時間的推移，它肯定會賠錢。這些似乎都與直覺相悖。

這個例子是人為設計的，只是為了說明，所以我們不會深入研究它。我們可以透過對這兩種結果都下注來保證利潤。沒有哪家賭場會向你提供這樣的場景，市場可能會套利任何類似的機會。然而，它證明了負相關的力量，以及為什麼我們應該儘可能地尋找它。同樣的效果也可以在不完全負相關的情況下看到同樣的效果，但這會讓這個例子變得過於混亂。

減少約束

在前面的論述中，我們討論了為什麼“最優f”並不完全是最優的，即由於在最大槓桿水平上遇到的極端下降。

修改後的程式碼：

對於本例，我們將使用一些實際的市場資料。從2005年到2015年：標普500指數（SPY）和長期國債（TLT）ETF的每日OHLC資料。這個視窗是任意選擇的，但10年似乎是一個不錯的時間視窗，這段時間包含了牛市、熊市、高波動性和低波動性。一旦我們有了價格資料，我們就可以計算每天的收益率，用於我們的頭寸規模最佳化。

接下來，我們將遍歷所有分配權重的組合，以在給定風險容忍度的情況下找到最優值。以95%的置信度強制設定20%的最大回撤。

關於上面的圖表，首先要注意的是，搜尋空間中只有一小塊區域分配了非零GHPR值。在該地區之外，我們缺乏信心，即我們的縮編限制將得到滿足。

最佳化後的結果表明，我們應該將大約36%的資金用於SPY，64%的資金用於TLT。這些權重之和為100%的事實只是一個巧合，而不是模型的特徵/約束。這種配置策略的GHPR中值預測為每日0。034%（年化8。9%），其中95%生成的權益曲線的最大回撤<= 18。7%。

多策略

這種方法對兩種回報流都很好，但多樣化的真正好處來自於擁有許多不相關的策略。不幸的是，在二維返回空間外匯出現一些問題。首先，視覺化變得非常困難。更重要的是，搜尋投資組合權重組合所需的時間呈指數級增長。

用了將近兩分鐘的時間找到了只有兩個回報序列的最優解。為了實現多樣化，我們希望跨市場、跨風格和跨時間框架組合策略。這可能導致一個投資組合包含數十個單獨的收益流。當你考慮到，對於每一個權重組合，我們都要生成數千條權益曲線來評估收益和虧損，這是一個非常耗時的過程。幸運的是，我們有一些節省時間的妙招。

結果表明，

夏普比率與我們的度量指標有很強的相關性，且不依賴於時間

。我們不尋找最大GHPR，而是最佳化每個加權收益序列的最大夏普比率。這樣，我們就不需要生成數千條潛在的權益曲線來評估權重的最佳組合是什麼。這樣做可以節省大量的時間。

從根本上減少尋找最優投資組合配置所需時間的第二種方法是

放棄可能組合的強力迭代，而採用非線性最佳化。

我們將使用

cma

包來實現這一點。具體演算法見：

http：//

cma。gforge。inria。fr/cma

es_sourcecode_page。html

給定一個適應度函式和一系列輸入，與嘗試所有可能的輸入組合相比，該演算法將在更短的時間內找到一個區域性（並且希望是全域性）最小值。

但是，使用這種方法只能產生相對的權重組合；槓桿作用沒有考慮在內。因此，我們將最佳化程式分為兩部分：

1、找出使投資組合夏普比率最大化的相對配置權重。

2、在考慮給定的風險/回撤限制的前提下，確定適用於最大化GHPR的投資組合的槓桿率。

為了證明這種方法，我們將在兩個ETF上建立三種“虛擬”策略：兩種中長期趨勢跟蹤策略和一種短期均值迴歸策略。作為趨勢的代表，我們將使用滾動z-score，定義如下：

這是我們用來衡量交易決策的訊號。對於趨勢跟蹤系統，我們將增加與訊號成比例的位置大小；均值迴歸要乘以-1。為了得到每個策略的收益，我們把策略訊號乘以正向回報（假設我們在訊號之後進入open並在此之後退出）。

首先，我們將計算SPY和TLT的5、50和100天lookback週期的策略訊號。從這些訊號中，我們得到了這些策略收益。

接下來，我們將使用常規最佳化來找到使我們的投資組合夏普比率最大化的權重。

這一最佳化的結果表明，理想的策略應該是將我們的大部分資金配置給短期均值迴歸策略，並限制在長期趨勢跟蹤策略中。

第一步完成了。我們已經確定了適用於每種策略的相對權重，以便使夏普比率最大化，但按照計算方法應用它們可能會導致風險過高或收益過低。為了解決這個問題，我們可以使用最佳化程式的的結果獲得加權投資組合的收益。然後，可以應用最初的“理想f”來確定風險目標的適當槓桿率。

我們計算出在這個投資組合中投資的理想比例是32%。最後一步是將非槓桿投資組合權重乘以這個值，得到最終的投資組合配置：

最後，視覺化此投資組合的表現：

警告

與交易策略領域的任何“最優”解決方案一樣，你認為完美的回測，卻在實盤中表現的平淡無奇或產生了災難性的後果。在實現上面討論的方法時，你要正視這個問題！

首先，

多策略沒有考慮到交易成本

。如果你的投資組合中的策略經常在市場中進進出出，那麼這些策略很快就會變得很重要，並且必須加以考慮。接下來，

用於最佳化的策略收益必須是樣本外的。實盤收益率值最好的，paper trading次之，如果沒有實際收益率，可以使用樣本外回測收益率。

假設未來策略之間的關係與過去相似。如果這些關係消失，投資組合可能會處於非常糟糕。如上所述，槓桿計算中使用的最大回撤是基於加權收益的。一種策略的損失可以補償同一時期另一種策略的收益。

為了解決所有策略同時對你產生不利的情況，你可以將每種策略歷史上的最大回撤與投資組合權重相乘。

最後，我們

必須假設未來不會像過去那麼美好。Alpha衰減將影響大多數策略，即使有最嚴格的回測，在實際交易中結果通常也不會很好。我們還應該假設，最大回撤就在我們面前，因為從數學上講，交易時間越長，大幅回撤的可能性就越大。我們最大的損失也是如此。為了減輕這種情況，我們可以應用安全係數來擴大歷史上最大回撤，從而減少所用的槓桿數量。我們還可以設定一個比我們認為必要時更低的最大回撤門檻；這也有助於有效降低最佳槓桿率。

結論

如果一個人能夠提高經風險調整後的收益，那麼提高絕對收益所需要的一切，就是提高槓杆以適應他們的風險偏好。

—End—

量化投資與機器學習微信公眾號，是業內垂直於

Quant

、

MFE

、

CST、AI

等專業的

主流量化自媒體

。公眾號擁有來自

公募、私募、券商、銀行、海外

等眾多圈內

10W+

關注者。每日釋出行業前沿研究成果和最新量化資訊。