在量子場論中，量子力學的哪些公理還能使用？

missyou2022-04-20 16:15:18

“我發覺好像與物理學的其他分支不同，量子場論好像沒有一個公理化的體系。”

量子場論如何公理化構造到目前為止仍然是一個open problem。其中比較著名的結果包括

，

以及

的

。除此之外，

說明如果給定了滿足

中相應條件的測度就可以構造出滿足

的量子場論，同時可以證明在滿足一些額外的弱條件成立的情況下，

與

是等價的。同時就實際而言的話，採用公理化體系嚴格的構造量子場論也是很困難的，據我所知的只有2d massive with polynomial interactions， 3d massive with /phi^4 interactions，Massive Thirring model以及Segal-Atiyah approach定義的Virasoro conformal field theroy以及隨後Atiyah的topological quantum field theory axioms和extend TQFT（可能還有一些可以嚴格求解的量子場論可以嚴格定義）。所以從實用角度來說，公理化場論是一條的很不方便/划算的途徑。所以說更適合的應該是“我應該要求定義出的量子場論滿足怎樣的性質？這些性質是基於怎樣的實驗線索提出來呢？”這一點，Alain Connes的大厚書裡面有簡單的提到：一個（理論邏輯和實驗分析上同時）合理有效的量子場論在內容上至少應當滿足以下兩點：

1。給出可觀測量的定義及其動力學2。對真空態進行構造並分類

除此之外還應當具有三個基本性質：1。因果性2。正能性3。酉性

我覺得按照這樣的思路出發要好理解的多，同時我個人覺得正是在不滿足這些基本條件的理論裡面發掘新性質推動了對於量子場論的理解（不管是物理上的理解還是數學上的理解）

在讀peskin的前幾章時感覺與其說是先有公理再推導不如說一直處於一個邊創造公理邊推導的過程。

既然要創造相對論量子力學那麼薛定諤方程應當就不能再作為公理了（那個是非相對論量子力學）。

既然如此基於薛定諤方程的Heisenberg equation of motion以及［公式］應當都不能使用了（

我記得這個是薛定諤方程推出來的）然而他這裡好像還是照用。

具備“相對論性”的對稱性並不是量子力學與量子場論之間的區別所在，即便是對於薛定諤方程我們也可以採用場論的辦法對它做二次量子化，得到“非相對論性”的量子場論，同時另外一方面量子力學本身可以被當成是一種特殊的量子場論，它可以理解成0+1維的量子場論，所以說不同物理理論之間的構造，性質並不能簡簡單單的就用集合的交併補來做可遷移地思考。（也許範疇論可以來探討這一問題，但這不是這個問題的重點）比如說在很多很多的

裡面我可以給它的拉式量新增上一些項，但是這些項一方面既不會改變動力學方程（拉格朗日方程）也不會給態空間造成影響，但是對新增項以後的模型做量子化你會得到一些

的荷，為原先的理論添加了一些非動力學因素的限制，那麼可以說這個新的理論和原來的理論是兩個不一樣的理論嗎？但是另外一方面，又存在一些具體例子中兩個理論完全具有完全不同的拉式量，不同的態空間和關聯函式但是卻又可以建立起一個彼此之間的對映來把其中一方理論的內容對映到另外一個理論中，比如

和

那麼我們可以說這兩個理論是一樣的嗎？

然後bra和ket取內積是否還有probability amplitude的含義呢？

我們知道K-G方程是無法定義合理的機率interpretation的，那這時取內積到底是一個什麼含義呢？

二次量子化有時候會給人們造成誤解就是量子力學的波函式對應於量子場論的場，然而這個是錯誤的。和場對應的概念其實是粒子的座標，那麼量子力學裡面粒子座標這個理論基本自由度變成了算符，所以相應的量子場論中場也就變成了算符，所以你擷取的那個“內積”實際是算符的期望值，或者說2點關聯函式（那如果你要問關聯函式的意義是啥那推薦正樹最新的文章裡面解釋的內容）而不是量子力學裡面的機率，也就不存在“內積-機率”詮釋了。量子力學裡面“機率”的對應物實際上就是後面算費曼圖和各種躍遷振幅去了。而“波函式”在量子場論中的對應物就是關於場算符的一些泛函，你要願意的話也可以把這些泛函寫成一大堆形式冪級數。通常情況下量子場論是不採用量子力學裡面那種“波函式”的正規化來討論問題的，這是因為一方面它們一般來說都沒有精確表示式，另外一方面它們也遠不如直接在粒子態空間上討論問題來的直觀

最後來一些私貨，初學不建議康peskin。我個人其實推薦David Tong的講義，把一些思想講的很到位，如果需要技術性細節可以去看施瓦茲或者我見過不能再算的更詳細的顧萊納。我甚至覺得一些中文書寫的都比peskin更適合初學者，比如段一士先生的量子場論，不過那本書缺點在於notion有些過時了

genius2022-04-20 17:58:41

把量子力學原理用於無窮自由度系統，就是量子場論。也就是說量子力學的公理在量子場論中全部正確。

另外，在相對論量子場論中還要引入洛倫茲不變性原理。

胡竭末2022-04-21 00:14:24

已經有很好的答案回答了題主的問題。

我想說得是其實題主的疑問也是初接觸量子場論，包括我自己在內的很多人的感覺。我最開始翻量子場論書的時候，前面的推導都能理解，但是看了幾章我完全不知道它到底在做什麼。給個拉式量我可以理解，對拉式量裡的場“算符化”我可以接受，求場的期望我也勉強可以跟下來，但是但是，做這些是為了什麼，物理影象又是什麼，我都一概不知。

我曾經覺得是量子場論的書普遍寫得不好，但如今入門了qft後發現的確也想不出更好的寫法了。說起來我真正開始理解量子場論還是讀了很多遍溫伯格第一卷前五章，看過溫伯格場論的人都知道溫伯格是從結合洛倫茲對稱性，量子力學，因果要求，局域性等出發構造出量子場論的框架的。而其他主流的量子場論書則通常是直接量子化場。但是不是溫伯格這種方法就更好呢？我覺得也不是。溫伯格的出發點有很好的物理影象，但這套方法不夠強大，在後續學習和實際研究中幾乎不會用到。（或許對散射矩陣，bootstrap會有比較好的幫助？）而直接量子化場對初學的理解會有個gap，但又的的確確是後續學習的出發點。總之，無論你打算怎麼教量子場論你都會發現有這樣那樣的問題。我認為造成這樣的原因主要有兩個，第一個也是最重要的原因是其實人們對究竟什麼是量子場論還沒有足夠清晰的認識，當然這是好事，正是有很多還不清楚的東西所以才值得研究。第二就是由於第一個原因，所以量子場論很多東西你得先想辦法算出值然後再賦予它意義，這無疑加大了學習時的理解難度。

我個人認為，學量子場論最好還是有人帶著，然後你有不懂的地方就趕緊問一下。場論裡的有些東西是屬於得之於手應於心，而口不能言的（或許這也是它還不成熟的體現？），有的時候學習時就要囫圇吞棗，先別管什麼意思，用多了就有感覺了。

yang2022-04-22 19:15:50

量子力學、量子場論沒學過，克高方程與薛定諤波方程我倒是知道。

我們現在有兩種觀察視角，一個是光速c運動視角，一個是靜止視角，但另人尷尬的是人們無法做到真正的靜止、也無法達到光速。

光速c視角下的克高方程與靜止視角下的薛定諤波方程談不上誰更出色，依據間隔對等原則我們可以實現兩者之間的轉換。

光速c視角：2ke^2/r=mc^2、E=2ke^2/r+mc^2=2mc^2或=2*2ke^2/r。

將這個代入克高方程、時間降次即可得到薛定諤波方程，同時也會得到另一個方程式，這個式子看上去沒有多少美感：

用-hc*r/4π替換波方程中的-（h/2π）^2/2m，

至於靜止與光速c視角之間的相對運動速度視角還是交給數學家去做為好。

至於什麼是間隔對等原則，看圖片。這是回想起以前學物理學的太雜、歲數大了又記不住，只好寫個總結免的忘光。