為什麼電容公式裡會有圓周率？

qfzklm2021-12-31 07:07:29

《普通高中課程標準實驗教科書 物理 選修3-1》指出電容

其中

是正對面積

是極板距離

為靜電力常量

是相對介電常數

2017-10-06 18:46:48

q大習慣性不寫完整……先膜q大，後答題。

就是q大說的那個單位制的問題。本質來源是庫侖定律係數和高斯定理係數之間差一個立體角4π。

國際單位制SI裡面用的是高斯定理來表示介電常量的，所以寫成庫侖定律的時候就出一個4π。類似的，如果用的是靜電力常量k，那麼寫高斯定理的時候就有一個4πk。

類似的還有畢奧薩伐爾和安培環路之間的關係，基本同上。

其實還是gamma函數出π更鬼畜hhhh

2017-10-08 00:52:21

在理論推導時，對於無限大平面的積分等效於一個球面積分

理論推導時，把電容板看成無限大平面。以各種通量的演算法，兩塊板個吃掉一半球面的電場線

2017-10-16 19:39:19

假設已經推匯出平行板電容公式：

其中

是電容，

是介電常數，

是電容板面積，

是板間距。 考慮到：

其中

是庫侖力公式中的比例係數，

是真空介電常數，

是相對介電常數， 可以得到：

由此可見，

與真空介電常數

的關係式

。 問題是這個關係式是怎麼來的？

設想真空中有一個點電荷

。 設以

為參考點的任意位置

處電場強度為

。 我們知道， 真空中的點電荷產生的電場是球對稱的， 且任意位置電場方向與點電荷到該處的連線相同或相反， 因此

可寫作：

其中

是距離

的函式，

是從點電荷指向探測點的單位向量。

現考察以點電荷

為球心。、半徑為

的一個假想球面

。 根據高斯定理：

（積分符號最好寫成雙重的。 這裡我寫成單個的是因為不太會編輯 Tex 公式， 見諒）

可得：

為了簡便令

。

由此可見

的出現來源於閉曲面積分。